曾柏云 辜鵬宇 胡強(qiáng) 賈欣燕 樊代和

(西南交通大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,成都 610031)

量子非局域關(guān)聯(lián)現(xiàn)象是量子理論區(qū)別于經(jīng)典理論的重要特征之一.“X”態(tài)作為一種典型的量子混合態(tài),基于其進(jìn)行的量子非局域關(guān)聯(lián)的檢驗(yàn)研究,不論對(duì)驗(yàn)證量子理論的正確性,還是在量子信息論的應(yīng)用領(lǐng)域研究,都具有重要的意義.本文在基于傳統(tǒng)Clauser-Horne-Shimony-Holt (CHSH)不等式進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上,提出了一種基于“X”態(tài)幾何解釋的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)策略.利用“X”態(tài)的幾何解釋策略,可使物理圖像更為直觀地研究檢驗(yàn)時(shí)最優(yōu)化測(cè)量基選取,以及可獲得的最大CHSH 不等式檢驗(yàn)值等.最后給出了基于CHSH 不等式幾何解釋策略,“X”態(tài)成功進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)的參數(shù)范圍.

1 引言

量子非局域關(guān)聯(lián)現(xiàn)象最早于1935 年由Einstein等[1]引入(即所謂的EPR 佯謬現(xiàn)象的提出),其揭示了量子理論和經(jīng)典局域?qū)嵲谡撝g的尖銳矛盾.隨著量子非局域關(guān)聯(lián)現(xiàn)象在量子信息學(xué)中的深入研究和應(yīng)用,諸如量子通信[2]和量子計(jì)算[3]等方案應(yīng)運(yùn)而生.可以說,量子非局域關(guān)聯(lián)性是量子理論最基本的特性,也是量子信息學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵[4].

為了檢驗(yàn)量子非局域關(guān)聯(lián)的存在,1964 年,Bell[5]提出了著名的Bell 不等式.在Bell 不等式的基礎(chǔ)之上,1969 年,Clauser 等[6]發(fā)展出了一種更適于實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的不等式,即CHSH 不等式.CHSH不等式的經(jīng)典上限為Sc-max=2,而對(duì)于量子理論,其上限可達(dá)到.因此,通過檢驗(yàn)CHSH不等式的上限值,即可檢驗(yàn)量子非局域關(guān)聯(lián)的存在.在CHSH 不等式提出之后,相關(guān)量子非局域關(guān)聯(lián)的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)也相 繼展開.如1972 年,Freedman和Clauser[7]報(bào)道了對(duì)CHSH 不等式6 倍標(biāo)準(zhǔn)差違背的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.Aspect 等[8]在1982年利用時(shí)變分析儀檢驗(yàn)了CHSH 不等式,結(jié)果與量子力學(xué)預(yù)測(cè)一致.盡管在CHSH 不等式提出之后,CGLMP不等式[9]、Inn22不等式[10]、MABK 不等式[11-13]等量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)方案被相繼提出,并且一些無(wú)不等式的方法,如GHZ定理[14]和Hardy 定理[15]也相繼問世,但CHSH不等式仍然是用來證明量子非局域關(guān)聯(lián)存在的強(qiáng)有力工具.在如今量子信息學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域,如量子通信、量子密鑰分發(fā)和量子隱態(tài)傳輸?shù)纫膊环肅HSH 不等式檢驗(yàn)量子非局域性的身影[16-18].

然而,無(wú)論是基于不等式的方法還是基于無(wú)不等式的方法,它們?cè)谶M(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)時(shí),均存在物理圖像不直觀的問題.這種不直觀性體現(xiàn)在,人們難以尋找最佳的測(cè)量基,并且進(jìn)一步加大了量子非局域檢驗(yàn)的計(jì)算量.針對(duì)這一問題,2021 年,Seiler 等[19]提出了一種基于CHSH 不等式的非最大糾纏態(tài)的幾何解釋方案.該方案使用兩個(gè)Bloch 球和一個(gè)關(guān)聯(lián)矩陣的組合,通過直觀的圖像分析,可以較為方便地找出最優(yōu)的測(cè)量基策略,最終使利用CHSH 不等式的檢驗(yàn)過程的物理圖像更加直觀.并且,這種圖像解釋不僅適用于糾纏純態(tài),還適用于糾纏混合態(tài).

眾所周知,由于實(shí)驗(yàn)過程中存在各種噪聲,以及環(huán)境退相干效應(yīng)對(duì)量子態(tài)制備的影響,使得實(shí)驗(yàn)制備的量子態(tài)通常為一混合態(tài),所以基于混合態(tài)的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)就變得尤為重要.1989 年,Werner[20]構(gòu)造了一種典型的混合態(tài)(即Werner態(tài)).2002 年,Zhang 等[21]利用光子的自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換和受控退相干成功制備了Werner 態(tài),這為實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)基于混合態(tài)的量子非局域關(guān)聯(lián)提供了可能.實(shí)際上,在量子理論中,還存在一種典型的混合態(tài),由于該混合態(tài)密度矩陣的對(duì)角線和反對(duì)角線中非零元組成了一個(gè)“X”的形狀,且在常見的噪聲影響下,其演化過程仍能使密度矩陣保持為“X”型[22],因此也被稱為“X”態(tài).

事實(shí)上,這種“X”態(tài)并不罕見,它可以在各種物理環(huán)境中產(chǎn)生.目前,“X”態(tài)在量子信息領(lǐng)域中被越來越多地利用.如 Shi 等[23]利用“X”態(tài)研究了量子比特與局域退相干信道相互作用時(shí)多體糾纏的動(dòng)力學(xué)演化.Namitha 和Satyanarayana[24]構(gòu)造了單光子相干態(tài)和雙光子相干態(tài)這兩類“X”態(tài),并將它們作為初始態(tài)來研究馬爾可夫近似下的糾纏動(dòng)力學(xué)等.2022 年,Mishra 等[25]研究了“X”態(tài)在馬爾可夫和非馬爾可夫信道中的相干性.Guo 等[26]研究了任意兩比特“X”態(tài)的局域量子不確定性和幾何結(jié)構(gòu)的突變性等.

但是,到目前為止,一種能夠較為直觀或基于圖形化的、基于“X”態(tài)的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)方案還未見報(bào)道.盡管我們課題組在2020 年利用Hardy 定理對(duì)“X”態(tài)進(jìn)行了量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)研究,給出了任意“X”態(tài)能夠進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)的條件和范圍[27],但是,該檢驗(yàn)方案依然存在檢驗(yàn)中物理圖像不直觀的問題.

基于上述原因,在文獻(xiàn)[19]的啟發(fā)下,本文從CHSH 不等式的Bloch 球描述出發(fā),首先給出基于幾何解釋的策略,然后利用上述方法對(duì) “X”態(tài)進(jìn)行了基于圖形化的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)研究.并對(duì)得到的圖像進(jìn)行詳細(xì)分析,給出最優(yōu)化檢驗(yàn)策略.最終給出了“X”態(tài)在不同糾纏度和不同保真度下,成功進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)的條件和范圍.

2 基于“X”態(tài)的CHSH 不等式幾何解釋方法

考慮一 “X”態(tài)作為研究對(duì)象,其密度矩陣可以寫為[22]

對(duì)(1)式所示的“X”態(tài)進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)時(shí),關(guān)于CHSH 幾何解釋的最優(yōu)化測(cè)量基問題,可歸為研究一個(gè)橢球與一個(gè)截面相交的橢圓內(nèi)接平行四邊形的周長(zhǎng)問題.如對(duì)“X”態(tài)的兩個(gè)子系統(tǒng),可分別進(jìn)行兩種測(cè)量: 在A(B)系統(tǒng)中,可用Q=q·σA(P=p·σB),J=j·σA(T=t·σB)兩個(gè)算符來表示相應(yīng)的測(cè)量.其中,q(p)和j(t)分別表示A(B)系統(tǒng)中的兩個(gè)測(cè)量向量,表示A(B)系統(tǒng)中兩個(gè)測(cè)量基的選取方向.σA(σB)表示泡利算符,可以是σx,σy,σz中的任意一個(gè).

根據(jù)CHSH 不等式[6],可以將(2)式所示的S期望值的大小與經(jīng)典理論上限Sc-max=2 做比較,當(dāng)S＞Sc-max時(shí),即可說明“X”態(tài)能夠被成功用于基于CHSH 不等式的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn).

將上述對(duì)A,B 系統(tǒng)的測(cè)量算符分別代入到(2)式,通過計(jì)算可進(jìn)一步得到CHSH 不等式中的S表達(dá)式為

實(shí)際上,上述理論分析可用圖1 所示的兩個(gè)Bloch 球來進(jìn)行幾何分析.即可用A,B 系統(tǒng)的兩個(gè)Bloch 球中,選取4 個(gè)測(cè)量方向(即j,q,p和t)和它們的關(guān)聯(lián)矩陣K來描述(3)式所示的期望值S.

圖1 基 于CHSH 不等式 的Bloch 球表示 圖.左右兩 個(gè)Bloch 球分別代表A 和B 兩個(gè)系統(tǒng),它們之間的關(guān)系由一個(gè)關(guān)聯(lián)矩陣K 進(jìn)行描述. j 和 q 表示A 系統(tǒng)中的兩個(gè)測(cè)量方向,p 和 t 表示B 系統(tǒng)中的兩個(gè)測(cè)量方向Fig.1.Diagram of Bloch ball representation based on CHSH inequality.The left and right Bloch sphere represents the two sub-system A and B,respectively.The relationship between them is described by a correlation matrix K.j and q represents the two measurement directions in system A,p and t represents the two measurement directions in system B.

根據(jù)泡利算符的具體表達(dá)式,并將(1)式代入kmn的表達(dá)式中,即可計(jì)算得到“X”態(tài)A,B 兩個(gè)子系統(tǒng)之間的關(guān)聯(lián)矩陣K的矩陣元素為

在考慮上述等效操作后,(3)式可以進(jìn)一步寫為

為了能夠獲得最大的S值,接下來用幾何方法,對(duì)(5)式的結(jié)果做進(jìn)一步分析.在實(shí)際的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)過程中,由于A,B 兩個(gè)子系統(tǒng)中的4 個(gè)向量(即j和q,p和t,分別表示了選取的測(cè)量基)可任意選取,因此可以通過選取最優(yōu)化的向量方向來獲取(5)式的最大值.如考慮到向量q和j分別是子系統(tǒng)A 中的單位向量,因此可以選取向量pK -tK(pK+tK)和向量q(j)的方向相同,即可將(5)式中的向量點(diǎn)乘關(guān)系,最大化地約化到僅與向量模大小運(yùn)算相關(guān)的表達(dá)式:

為了能夠進(jìn)一步得到 (6)式的最大值,可以將圖2 所示的Bloch 球進(jìn)一步簡(jiǎn)化到一個(gè)橢圓平面進(jìn)行研究.如圖2 中,選取過B 系統(tǒng)橢球的球心O,且包含向量pK和tK構(gòu)成的平面,與Bloch 橢球相交,得到一個(gè)新橢圓平面.并以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立新的二維坐標(biāo)系x′-y′,如圖3(a)所示.其中x′軸處于橢圓短軸方向,y′軸處于橢圓的長(zhǎng)軸方向.

圖2 將關(guān)聯(lián)矩陣K 作用于B 系統(tǒng)后的Bloch 球表 示圖.其中A 系統(tǒng)的Bloch 球保持不變,B 系統(tǒng)的Bloch 球受關(guān)聯(lián)矩陣K 的影響而發(fā)生改變.兩系統(tǒng)間的關(guān)聯(lián)由單位矩陣I 來描述Fig.2.The Bloch sphere representation diagram by applying the correlation matrix K to system B.The Bloch sphere of system A keep constant.The Bloch sphere of system B is changed.The correlation between two systems is described by the unit matrix I.

圖3 B 系統(tǒng)Bloch 球退變?yōu)橐粰E圓平面時(shí)的表示圖 (a)向量 p K 在橢圓上的交點(diǎn) 為 B 1,向 量 t K 在橢圓上 的交點(diǎn) 是B2,紅色虛線表示向量 p K +tK,橙色點(diǎn)劃線表示向量pK -tK ;(b) 向量 p K 在橢圓上的 交點(diǎn)是 C 2,向 量 t K 在橢圓上的交點(diǎn)是 C 3,橙色點(diǎn)劃線表示最大期望值SmaxFig.3.Diagram of elliptic plane when the Bloch sphere of system B is changed: (a) The intersection of vector p K on the ellipse is B 1,the intersection of vector t K on the ellipse is B 2 .The red dashed line indicates vector p K+tK,and the orange dotted line indicates vector p K -tK .(b) The intersection of vector p K on the ellipse is C 2,and the intersection of vector t K on the ellipse is C 3 .The orange dotted line indicates the maximum expectation value of Smax .

此時(shí),在圖3(a)中,通過將向量pK -tK和pK+tK分別平移到的B3B4和B2B3位置,即可在橢圓平面內(nèi)構(gòu)成一平行四邊形B1B2B3B4.在這種情況下,B1B2的長(zhǎng)度 將等于向量|pK -tK|,且B1B4的長(zhǎng)度將等于|pK+tK|.而最大量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)結(jié)果的研究,將變?yōu)槿绾瓮ㄟ^選取最優(yōu)化的向量pK,tK,使平行四邊形B1B2B3B4周長(zhǎng)實(shí)現(xiàn)最大化的幾何問題.

結(jié)合上述分析得到的圖2 中B 系統(tǒng)Bloch 球x,y,z軸長(zhǎng)度不同的特點(diǎn),再結(jié)合幾何關(guān)系分析[29]可以得出,當(dāng)tK選取為沿x軸方向,pK選取為沿z軸方向時(shí),平行四邊形B1B2B3B4將變?yōu)閳D3(b)所示的菱形C1C2C3C4,此時(shí),將獲得|pK -tK|+|pK+tK|的最大值,也即獲得CHSH不等式S的最大值.

根據(jù)圖3(b)的幾何圖形關(guān)系,就可以非常方便地計(jì)算得到“X”態(tài)基于CHSH 不等式的最大化量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)的結(jié)果為

此時(shí),只需判斷Smax＞2 是否成立,即可說明 “X”態(tài)能否進(jìn)行基于CHSH 不等式的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)研究.同時(shí),進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)時(shí)的最優(yōu)化測(cè)量基的選取方式也可以確定: 即選取B 系統(tǒng)的兩個(gè)測(cè)量方向p和t分別沿著Bloch 球的z軸方向和x軸方向,且進(jìn)一步選取A 系統(tǒng)中的兩個(gè)測(cè)量方 向q和j,分別滿 足即可.

3 “X”態(tài)量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)結(jié)果分析

利用幾何分析方法得到的最大CHSH 不等式檢驗(yàn)結(jié)果(7)式(即選取最優(yōu)化的測(cè)量基時(shí)),選取3 個(gè) 特定的保真度值(即f=0.78,f=0.90 以及f=1),可以得到如(1)式所示的“X”態(tài),進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)時(shí),Smax隨r的變化關(guān)系曲線如圖4 所示.

圖4 在不同保真度f(wàn) 下,S max 隨r 的變化關(guān)系圖Fig.4.Plot of S max vs. r under different values of fidelity f.

從圖4 可以看出,當(dāng)f=1 (圖中紅色圓點(diǎn)表示,此時(shí)“X”態(tài)約化為一偏振糾纏純態(tài))且取最優(yōu)化測(cè)量基的情況下,只要r＞0,“X”態(tài)均可進(jìn)行基于CHSH 不等式的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)(即Smax＞2 ).且隨著r值的增大,Smax的值也非線性地增大.特別地,當(dāng)r=1時(shí)(最大糾纏態(tài)),可獲得該結(jié)果與Clauser 等[6]的研究結(jié)果完全一致,證明了本文得到的基于幾何解釋的正確性.

當(dāng)f=0.78 (圖4 中黑色實(shí)心框表示)且取最優(yōu)化測(cè)量基的情況下,無(wú)論r為何值,均將得到Smax≤2,說明此時(shí)的“X”態(tài)不能進(jìn)行基于CHSH不等式的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn).而當(dāng)保真度的取值位于 0.78＜f ＜1 時(shí),僅有部分“X”態(tài)可成功用于基于CHSH 不等式的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)研究.

同理,圖5 給出了在3 個(gè)特定r值(即r=0,r=0.50 以及r=1)下,且選取最優(yōu)化測(cè)量基時(shí),Smax隨保真度f(wàn)的變化關(guān)系曲線.

圖5 在不同r 下,S max 隨保真度f(wàn) 的變化關(guān)系圖Fig.5.Plot of S max vs. fidelity f under different values of r.

從圖5 可以看出,不論r取何值,隨著保真度f(wàn)的增大,Smax均將線性地增大.并且隨著r值的增大,可用于成功檢驗(yàn)量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)(即Smax＞2)的f值的范圍也將增大.為了能夠清晰地表示在不同r取值范圍下,“X”態(tài)能夠成功進(jìn)行基于CHSH 不等式的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)的保真度范圍,給出了fmin隨r的變化關(guān)系曲線,如圖6 所示.

從圖6 可以看出,隨著r的增大,fmin的值將非線性地減小,這也意味著可用于進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)的“X”態(tài)的范圍將非線性地增大.特別地,當(dāng)(1)式所示的“X”態(tài)中|ψ〉為一最大偏振糾纏態(tài)時(shí)(即r=1),可用于進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)的“X”態(tài)的范圍最大,即只要保真度f(wàn)＞0.781 即可.

圖6 f min 隨r 的變化關(guān)系圖Fig.6.Plot of f min vs. r.

為了更加全面地描述“X”態(tài)在不同保真度f(wàn)以及r取值時(shí)的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)情況,圖7 給出了(1)式所示的“X”態(tài)進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)時(shí)的最大期望值Smax隨f和r的變化關(guān)系.從圖7 可以看出,Smax的值隨f和r值的增大均呈現(xiàn)出連續(xù)變化的現(xiàn)象.只有在滿足一定條件時(shí),“X”態(tài)才能夠成功地(即Smax＞2)進(jìn)行基于CHSH 不等式的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)研究.進(jìn)一步,從圖7 可以看出,不論r取何值,Smax隨保真度f(wàn)值的變化,基本呈現(xiàn)線性變化關(guān)系;而不論保真度f(wàn)取何值,Smax隨r值的變化均呈現(xiàn)出非線性變化關(guān)系.

圖7 S max 隨保真度f(wàn) 和r 的變化關(guān)系圖Fig.7.Plot of S max vs. fidelity f and r.

4 總結(jié)

在傳統(tǒng)基于CHSH 不等式進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)研究的基礎(chǔ)之上,本文提出了一種以量子“X”態(tài)作為研究對(duì)象的幾何解釋策略.從“X”態(tài)的Bloch 球分析研究出發(fā),利用幾何解釋的方法,分別給出了“X”態(tài)進(jìn)行基于CHSH 不等式的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)研究時(shí),最優(yōu)化測(cè)量基的選取策略,以及可獲得的最大CHSH 不等式檢驗(yàn)值.這種幾何解釋的方法,可進(jìn)一步降低進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)時(shí)的理論計(jì)算量,同時(shí)也可使量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)的物理圖像更為直觀.

通過幾何解釋研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)“X”態(tài)的保真度f(wàn)=1時(shí),由于“X”態(tài)將直接約化到一偏振糾纏純態(tài),對(duì)其進(jìn)行的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)結(jié)果與傳統(tǒng)的基于CHSH 不等式進(jìn)行檢驗(yàn)的結(jié)果完全一致(最大CHSH不等式值為),證明了本文提出的幾何解釋方案的正確性.而當(dāng)f＜1 時(shí),僅有部分“X”態(tài)(即r值存在一定范圍)可成功用于量子非局域關(guān)聯(lián)的檢驗(yàn)研究.同時(shí),研究還發(fā)現(xiàn),隨著r值的增大,可進(jìn)一步擴(kuò)大可成功進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)的保真度f(wàn)值的范圍.特別地,當(dāng)r=1時(shí),保真度f(wàn)取值范圍最大,即只要滿足f＞0.781,該“X”態(tài)即可成功用于基于CHSH 不等式的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)研究.

實(shí)際上,本文的研究結(jié)果在基于“X”態(tài)進(jìn)行的量子非局域關(guān)聯(lián)實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)方面也具有一定的指導(dǎo)價(jià)值.如可通過密度矩陣的重構(gòu)操作,首先得出制備的“X”態(tài)的密度矩陣具體表達(dá)式,并進(jìn)一步分析得到該“X”態(tài)的保真度f(wàn)以及r參數(shù)值.而本文的研究結(jié)果,已經(jīng)較為清晰地給出了在特定f和r值的情況下,該“X”態(tài)能否成功進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)研究.如能夠滿足檢驗(yàn)要求,則可進(jìn)一步選取本文基于幾何解釋得出的最優(yōu)化測(cè)量基,進(jìn)行實(shí)際的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn).

本文提出的幾何解釋方案,實(shí)際上為量子態(tài)進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)的研究提供了一個(gè)物理圖像較為直觀的研究策略.相信本文的研究將對(duì)后續(xù)開展基于其他方案的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)研究提供參考.