李文漢, 鐘 盈, 呂桂穩(wěn)

(1,河北地質(zhì)大學(xué) 數(shù)理教學(xué)部,河北 石家莊 050031; 2.石家莊鐵道大學(xué) 數(shù)理系,河北 石家莊 050043)

0 引言

隨著經(jīng)濟(jì)全球化的發(fā)展，在國與國之間的經(jīng)濟(jì)、金融貿(mào)易中，外匯匯率扮演著越來越重要的角色。由于匯率具有隨機(jī)波動性，因此風(fēng)險常常存在。作為金融衍生品的重要組成部分，匯率期權(quán)常用來進(jìn)行套期保值，規(guī)避匯率風(fēng)險，如何給出匯率的外匯期權(quán)的價格逐漸成為一個熱點問題。

在外匯期權(quán)定價研究中， German和Kolhage[1]基于Black-Scholes模型，首次給出了外匯期權(quán)的G-K模型，并得到了歐式外匯匯率期權(quán)的定價公式。他們假定外幣的收益率和波動率二者不是隨機(jī)的，而是給定的常數(shù)。隨后， Niklas等[2]對 G-K模型進(jìn)行了推廣，提出了一個修正的方法，深入研究了外匯期權(quán)的定價問題。薄立軍等[3]、Swishchuket等[4]在馬爾科夫機(jī)制轉(zhuǎn)換(Markov-modulated)條件下，研究了具有跳-擴(kuò)散過程的外匯期權(quán)的定價問題?？紤]到實證分析，鄭振龍等[5]基于匯率的歷史數(shù)據(jù)，采用全樣本和分區(qū)樣本的實證分析，研究了有關(guān)外匯期權(quán)的隱含波動率報價問題，并提取了相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)行了跨國資產(chǎn)配置方面的研究。胡瀟予[6]通過設(shè)定案例，利用外匯期權(quán)實現(xiàn)風(fēng)險對沖，穩(wěn)定外貿(mào)交易成本，提出了解決方案。

亞式期權(quán)又稱為平均期權(quán)，一般而言此類期權(quán)價格相對便宜，有利于套期保值，已經(jīng)成為金融衍生品市場比較活躍的金融產(chǎn)品之一。從理論上講，可以分成算術(shù)平均亞式期權(quán)和幾何平均亞式期權(quán)。但是，算術(shù)平均亞式期權(quán)沒有明確的表達(dá)式，而幾何平均亞式期權(quán)具有明確的解析表達(dá)式。同時，按照執(zhí)行價格可以分為固定執(zhí)行價格和浮動執(zhí)行價格。在此，本文主要討論按照固定執(zhí)行價格執(zhí)行的外匯匯率的幾何平均亞式期權(quán)的定價問題。

在實證分析中，選取了美元/人民幣真實的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，研究了本文給出的外匯冪期權(quán)、外匯幾何平均亞式期權(quán)的定價問題，并討論這些期權(quán)的一些性質(zhì)。

1 模型假設(shè)與期權(quán)定價

1.1 模型假設(shè)

假設(shè)Ft表示t時刻以國內(nèi)貨幣計價的一單位外幣，即為t時刻的即期匯率，滿足如下的隨機(jī)微分方程:

(1)

(2)

解式(2)得

(3)

1.2 基于外匯匯率的冪期權(quán)定價

假定α，K3，K0和K4是常數(shù)，并且在期權(quán)的到期日T，基于外匯匯率的冪期權(quán)的收益函數(shù)為:

(4)

其中K0>0,K4≥K3>0,I{·}表示示性函數(shù)。

性質(zhì)若外匯匯率的冪期權(quán)的收益函數(shù)滿足式(4)，則

(1)若K0>K4，則C3(T)=0；

下面給出外匯匯率的冪期權(quán)定價公式。

定理 1如果外匯匯率的微分方程為式(2)，且其冪期權(quán)的在執(zhí)行時刻T收益函數(shù)滿足式(4)。在目前時刻t，若外匯匯率的期權(quán)價格表示為C1(t,T),則:

(i)若K0>K4，則C1(t,T)=0;

(ii)若K3≤K0≤K4，則

(5)

其中

Φ(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。

(iii)若K0≤K3，則

(6)

其中

注:結(jié)合定理1中式 (5)，可知：

(I)若K3≤K0,K4=∞和α=1，則式(5)是Black-Scholes(簡記“BS”)模型定價公式。

(II)若K3≤K0，K4=∞和α≠1，則式(5)是基于BS模型的冪期權(quán)(表示為 “PBS”)定價公式。

1.3 基于外匯匯率的幾何平均亞式期權(quán)定價

(7)

在期權(quán)的到期日T，假定按照固定執(zhí)行價格執(zhí)行的外匯匯率的幾何平均亞式期權(quán)的收益函數(shù)為

(8)

其中K1是執(zhí)行價格。

定理2如果外匯匯率的微分方程為式(2)，按照固定執(zhí)行價格執(zhí)行的外匯匯率的幾何平均亞式期權(quán)在時刻T收益函數(shù)滿足式 (8)。在目前時刻t，若外匯匯率的期權(quán)價格表示為C2(t,T)，則:

(9)

2 實證分析

2.1 期權(quán)價格過程

本部分重點討論期權(quán)定價問題。在本小節(jié)中，假定定理1 中的基于外匯匯率的冪期權(quán)(取α=1，簡記為：FP)、定理2中的外匯匯率的幾何平均亞式期權(quán)(簡記為:AS)以及Black-Scholes 外匯期權(quán)定價模型(簡記為： BS)的執(zhí)行價格均為相同的值，經(jīng)過編寫程序進(jìn)行運(yùn)算，分別得到了三類期權(quán)的價格，期權(quán)價格見表1。

表1 期權(quán)的價格

由表1可知，在同等條件下，盡管定理1中外匯匯率冪期權(quán)的收益函數(shù)限定了匯率的范圍，可是外匯匯率的幾何平均亞式期權(quán)價格還是最低，BS模型下期權(quán)價格最高。這個結(jié)論說明，在冪期權(quán)的收益函數(shù)中，設(shè)定匯率在某一范圍變化后，所求期權(quán)價格介于以上二者期權(quán)價格之間，因此，構(gòu)造給定示性函數(shù)的外匯冪期權(quán)具有一定的實際意義。

在外匯市場，匯率一般是在一定的范圍內(nèi)波動，否則，會給本國經(jīng)濟(jì)帶來嚴(yán)重的不良后果?；诖耍趯嶋H生活中，任何國家不會放任本幣的匯率過大或者過小，那么對以匯率為標(biāo)的資產(chǎn)的金融衍生品進(jìn)行相關(guān)理論研究時，特別對外匯期權(quán)進(jìn)行定價時，把匯率設(shè)定在某一執(zhí)行區(qū)間更加合理。同時，構(gòu)造匯率的冪函數(shù)的形式來研究冪期權(quán)，投資風(fēng)險會隨著冪指數(shù)的增大而增強(qiáng)，因此可以通過選取不同的冪指數(shù)來調(diào)節(jié)投資風(fēng)險。當(dāng)然，當(dāng)冪指數(shù)為1，并且沒有增加執(zhí)行區(qū)間時，就是BS模型下期權(quán)價格，顯然表1中FP模型下的期權(quán)價格較低。另外，研究匯率的幾何平均亞式期權(quán)定價過程中，通過構(gòu)造外匯匯率的幾何平均表達(dá)式可以看出，其波動率變小了?？傊?，相比以上兩類期權(quán)(α=1)的價格，幾何平均亞式期權(quán)的價格較低，事實也是如此。

2.2隱含波動率(Implied Volatility)是把所求期權(quán)的價格代入期權(quán)定價模型中反算出來的，反映的是對標(biāo)的資產(chǎn)價格波動率的預(yù)期。事實上，在金融衍生品市場上期權(quán)的隱含波動率是與期權(quán)的執(zhí)行價格和到期時間密切相關(guān)的。對于相同的到期時間，隱含波動率隨著期權(quán)的執(zhí)行價格而變動。隱含波動率越大，說明存在的風(fēng)險也越大。

本部分主要討論外匯匯率冪期權(quán)關(guān)于冪指數(shù)α的隱含波動率。由以上假定K4=7.3，分別取α=1.1,1.2,1.3，通過編寫程序，得到了有關(guān)的隱含波動率圖像(見圖2)。在圖2中，隱含波動率隨著執(zhí)行價格的增加而減小，并且標(biāo)的資產(chǎn)(匯率)的冪指數(shù)α值越大，波動率變化越大，反應(yīng)了風(fēng)險越大，這個結(jié)論與實際相一致。

3 結(jié)論

本文給出具有連續(xù)擴(kuò)散過程的外匯匯率的微分方程，在此基礎(chǔ)上得到了一類新形式下具有外匯匯率的示性函數(shù)的冪期權(quán)和幾何平均亞式期權(quán)的價格顯示解，并對美元/人民幣匯率的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計分析。在此基礎(chǔ)上，討論了基于美元/人民幣匯率的兩類期權(quán)價格過程，分析了隱含波動率。本文只是研究了具有連續(xù)性擴(kuò)散過程外匯匯率的期權(quán)定價問題，模型還可以進(jìn)一步擴(kuò)展到具有跳擴(kuò)散過程情形的微分方程，以及利率和波動率具有隨機(jī)性的外匯匯率微分方程形式。