江立輝, 陳華友, 馬成蕓

(1.合肥學院 人工智能與大數據學院,安徽 合肥 230601; 2.安徽大學 數學科學學院,安徽 合肥 230039)

0 引言

實際生活中存在著大量不確定信息所表述的問題，模糊集理論作為解決這類問題的有效工具得到了廣泛的關注，尤其是在與軟集理論結合后，關于模糊軟集的研究產生了大量的成果。Hu等人在直覺模糊軟集基礎上提出了一種新的相似度來確定專家權重，同時利用直覺模糊軟集Bonferroni平均算子對評價信息進行集成，建立了一種用于醫(yī)學診斷的群體決策模型[1]。Chen等人依據決策者認知有限的特點，利用Bonferroni平均算子進行信息集結，提出了一種基于模糊軟集的群決策方法[2]。Murat等人將畢達哥拉斯模糊集和軟集相結合，提出了畢達哥拉斯模糊軟集的概念[3]。Zhang和Shu將軟集與對偶猶豫模糊集相融合，提出了對偶猶豫模糊軟集的概念，并研究其運算及性質[4]?？紤]到專家在進行決策時，對于不同屬性會有不同偏好，Majumdar等人對傳統(tǒng)軟集進行了拓展，補充了屬性偏好這一參數，提出了廣義模糊軟集的概念，并將其應用于疾病診斷問題中[5]。相關系數作為衡量變量間相關程度的指標常被用于決策判斷，在模糊集和軟集中都有大量的研究[6～9]。Ye[6]和Tyagi[7]在猶豫模糊集相關系數基礎上提出了對偶猶豫模糊集的相關系數。Das等人提出了猶豫模糊軟集和區(qū)間值猶豫模糊軟集的相關系數[8]。湯靜提出了對偶猶豫模糊集加權相關系數的概念[9]。

基于上述分析，考慮到人們在實際決策過程中，往往會注意到不同屬性間的差異，為其賦予不同的權重。同時我們還注意到，對偶猶豫模糊集因為增加了非隸屬猶豫函數，能夠更加準確的表達實際問題中的數據信息。因此，本文將廣義模糊軟集和對偶猶豫模糊集相結合，提出了廣義對偶猶豫模糊軟集的概念，研究其相關運算及性質。此外，本文還提出了廣義對偶猶豫模糊軟集相關系數的概念，給出了基于廣義對偶猶豫模糊軟集的多屬性決策方法，同時結合醫(yī)療衛(wèi)生資源優(yōu)化配置問題對其進行了實證分析。

1 基本概念

定義1設U是一個初始論域，E是一個參數集，P(U)表示U的冪集，A?E，定義映射F:A→P(U)，則稱序對(F,A)是軟論域(U,E)上的軟集。

定義2[5]設U是一個初始論域，E是一個參數集，P(U)表示U的冪集，F:A→P(U)是一個映射，μλ是E的模糊子集，即μλ:A→[0,1]。定義映射Fλ:A→P(U)×[0,1]，對?e∈A，有Fλ(e)=(F(e),μλ(e))。其中F(e)∈P,μλ(e)∈[0,1]，則稱Fλ是軟論域(U,E)上的廣義模糊軟集。

定義3[11]設X是一個非空集合，X上的對偶猶豫模糊集(Dual Hesitant Fuzzy Set，簡記為DHFS)定義為:D={|x∈X}。

其中hD(x)?[0,1]是x的隸屬度可能值的集合，g(x)?[0,1]是x的非隸屬度可能值的集合。為方便書寫，將對偶猶豫模糊元(h(xi),g(xi))記為d(xi)。

定義4[11]設X是一個非空集合，定義空值對偶猶豫模糊集、滿值對偶猶豫模糊集、完全未知集和無意義集如下：

空值對偶猶豫模糊集：D={<0,1>}；

滿值對偶猶豫模糊集：D={<1,0>}；

完全未知集(所有可能集)：D=[0,1]；

無意義集：D=φ(h=φ,g=φ)。

通常情況下不同對偶猶豫模糊集的對偶猶豫模糊元的值是不同的，也是無序的。記X是非空集合,D1={|x∈X}和D2{|x∈X}是兩個對偶有猶豫模糊集。令l(hD1(x))、hD1(x))、l(hD2(x))和l(gD2(x))分別表示hD1(x)、gD1(x)、hD2(x)和gD2(x)中元素的個數，Ye[6]和Chen[12]給出了如下假設：

(2) 對于對偶猶豫模糊集D1和D2，當l(hD1(x))≠l(hD2(x)),l(gD1(x))≠l(gD2(x))時，可以通個增加對偶猶豫模糊元中元素的個數來使得D1和D2達到同樣的長度。依據樂觀原則，增加元素中的最大值，即l(hD1(x))

定義5[11]設X是一個非空集合，D，D1，D2是對偶猶豫模糊集，定義對偶猶豫模糊集的交、并、補運算，如下：

定義6[6]設D是初始論域X={x1,x2,…,xn}上的對偶猶豫模糊集，D={xi,hD(xi),gD(x)>|x∈X}，則D的信息能量為:

其中ki=k(hD(xi))和li=l(gD(xi))分別表示hD(xi)和gD(xi)中元素的個數。

定義7[6]設D1、D2是初始論域X={x1,x2,…,xn}上兩個不同的對偶猶豫模糊集，D1={|x∈X},D2={|x∈X}，則D1、D2之間的相關性為：

對?xi∈X有ki=max{k(hD1(xi)),k(hD2(xi))},li=max{l(gD1(xi)),l(gD2(xi))},其中k(hD1(xi))、k(hD2(xi))分別表示hD1(xi)和hD2(xi)中元素的個數，l(gD1(xi))、l(gD2(xi))分別代表gD1(xi)和gD2(xi)中元素的個數。

易得:(1)CDHFS(D,D)=EDHFS(D)；

(2)CDHFS(D1,D2)=CHDFS(D2,D1)。

定義8[6]設D1、D2是初始論域X={x1,x2,…,xn}上兩個不同的對偶猶豫模糊集，D1={|xi∈X},D2={|xi∈X}，則D1、D2的相關系數定義為：

2 廣義對偶猶豫模糊軟集

u3/<{0.6,0.8},{0.1,0.2}>},<0.5,0.4>))

u3/<{0.6,0.8},{0.1,0.2}>},<0.7,0.2>)

u3/<{0.4,0.5},{0.1,0.3,0.5}>},<0.6,0.3>)

(1)A?B；

u3/<{0.6,0.7},{0.1,0.3}>},<0.4,0.6>)

u3/<{0.6,0.7},{0.1,0.3}>},<0.5,0.4>)

3 廣義對偶猶豫模糊軟集的相關系數

(1)

(2)

(3)

(1)ρGDHFSS1(α,β)=ρGDHFSS1(β,α)

(2)0≤ρGDHFSS1(α,β)≤1

(3)若α=β，則ρGDHFSS1(α,β)=1。

此外，還可以給出相關系數的另一個定義。

(4)

其具有定理7同樣的性質。

4 基于廣義對偶猶豫模糊軟集的多屬性決策方法及實證分析

步驟1根據實際情形，將理想方案α和備選方案βk用廣義對偶猶豫模糊軟集表示；

步驟2利用公式(3)或(4)計算每個方案與理想方案之間的相關系數；

步驟3根據相關系數的大小排序，選擇最優(yōu)方案。

表1 比照樣本A*的評估結果

表2 醫(yī)院A1的評估結果

表3 醫(yī)院A2的評估結果

表4 醫(yī)院A3的評估結果

表5 醫(yī)院A4的評估結果

步驟1如表1所示，專家給出的比照樣本；

步驟2根據表2～5，利用公式(3)計算其與比照樣本之間的相關系數分別為

ρGDHFSS1(A*,A1)=0.8523
ρGDHFSS1(A*,A2)=0.8156
ρGDHFSS1(A*,A3)=0.9947
ρGDHFSS1(A*,A4)=0.5925

步驟3對結果進行排序得A3?A1?A2?A4。

根據排序結果，我們發(fā)現醫(yī)院A3在優(yōu)化資源配置和加強資源投入與產出收益之間的平衡方面所采取的措施最為有效。

5 小結

軟集和模糊集都是用來處理不確定性問題的數學工具，近年來這兩種理論的融合引起越來越多學者的關注。廣義模糊軟集由于考慮了不同參數對決策對象的影響，相比于傳統(tǒng)的模糊軟集更加符合實際情況。對偶猶豫模糊集由于兼顧了猶豫性以及模糊信息表述時的隸屬度和非隸屬，在實際問題中能夠更加準確的表示數據信息。因此，本文將對偶猶豫模糊集引入軟集理論，定義了廣義對偶猶豫模糊軟集的概念，拓展了軟集理論。模糊集理論內容多、范圍廣，包括直覺模糊集、概率模糊集、二型模糊集、粗糙模糊集、Vague集、區(qū)間值模糊集等多種類別。具體到本文涉及的猶豫模糊集，則包括區(qū)間直覺猶豫模糊集、對偶猶豫模糊集、區(qū)間值猶豫模糊集、畢達哥拉斯猶豫模糊集、灰色猶豫模糊集等多種形式。因此我們可以在猶豫模糊集與廣義模糊軟集的融合問題上進一步開展研究，例如，考慮區(qū)間數與對偶猶豫模糊數的結合，并將其引入到軟集理論中，構建廣義區(qū)間數對偶猶豫模糊軟集，延拓軟集理論，為實際應用奠定理論基礎。

此外，本文在決策模型構建上僅考慮了相關系數這一個指標，后繼可以進一步研究廣義對偶猶豫模糊軟集的距離測度、相似度量等相關性指標，構建基于這些指標的多屬性決策模型，結合醫(yī)療衛(wèi)生資源配置、水資源調度、教育資源分配、供應商評價等實際問題開展應用研究。