◎王馨禹

(吉林師范大學(xué)，吉林 長春 130012)

一、引 言

我們通常借助二次型研究其對(duì)應(yīng)二次曲線的性質(zhì).通過對(duì)二次型的學(xué)習(xí)，我們認(rèn)識(shí)到，二次型中有一種特殊的形式，這種形式的二次型只有平方項(xiàng)，即二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.二次型的標(biāo)準(zhǔn)形具有許多優(yōu)良的性質(zhì)，研究起來非常方便，并且由所學(xué)的知識(shí)我們知道，任何一種二次型都可以化成標(biāo)準(zhǔn)形，所以，我們在研究二次型時(shí)總是將二次型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形來解決問題.

通過進(jìn)一步的學(xué)習(xí)我們了解到，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形是高等代數(shù)這門課程的重點(diǎn)之一，也是難點(diǎn)之一，更是困惑大學(xué)生的一大難題，而且二次型在與數(shù)學(xué)有關(guān)的其他領(lǐng)域也有著非常重要的應(yīng)用，借助二次型，很多的數(shù)學(xué)問題將會(huì)得到很好的解答，因此，掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法對(duì)于當(dāng)代大學(xué)生來說十分重要，總結(jié)并研究化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法也非常有意義.

二、概念界定

1.二次型理論來源于解析幾何中化二次曲線和二次曲面方程為標(biāo)準(zhǔn)方程的問題，對(duì)二次型理論的研究始于18世紀(jì).直至今日，二次型的研究一直在進(jìn)行著，人們對(duì)二次型理論的研究有近三百年之久，之所以研究二次型，是因?yàn)槎涡蛯?duì)于我們研究一些數(shù)學(xué)問題仍然有著關(guān)鍵的作用，在其他領(lǐng)域也有非常重要的應(yīng)用，有關(guān)二次型的相關(guān)理論仍然需要后人來繼續(xù)探索.

設(shè)是一數(shù)域，一個(gè)系數(shù)在數(shù)域中的,,…,的二次齊次多項(xiàng)式

為數(shù)域上的一個(gè)元二次型.

又由定理可知數(shù)域上的任意一個(gè)二次型都可經(jīng)過非線性替換化成平方和形式，并且我們把二次型(,,…,)經(jīng)過非退化線性替換所變成的平方和稱為(,,…,)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形，也就是說任意一個(gè)二次型都有其標(biāo)準(zhǔn)形.因此掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法十分重要.

三、二次型化標(biāo)準(zhǔn)形的方法

雅可比方法：

反之也同樣成立.這說明在一組固定的基底下，通過矩陣二次型和對(duì)稱雙線性函數(shù)(,)=是可以互相唯一確定的.

再設(shè),…,是的另外一組基底，然后令=()×是(,)關(guān)于這組基底的度量矩陣，又設(shè)=()×是由基,…,到基,…,的過渡矩陣，那么有=，也就是說一個(gè)對(duì)稱雙線性函數(shù)關(guān)于的兩組基底的兩個(gè)矩陣是合同的.

(,)==+…+，

我們先從基,…,出發(fā)，討論是否能構(gòu)造基,…,：

使得,=0，≠

顯然可以用施密特法來構(gòu)造正交基,…,：首先有

=(,)=(,)==Δ；=(,)=(+,)=(,)+(,)，

=(,)=(,+)

按照此方法一直做下去，我們能夠得到,=1,…,由于=(,)=(,)=0，<，所以能夠得到線性方程組：

=(,)=(,)

=(,1+2+…+-1,-1+)

=11+22+…+-1,,-1+

1用雅可比法將下面給出的二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的非退化線性替換.

根據(jù)已知可以寫出該二次型的矩陣

判斷其順序主子式Δ=1，Δ=1，Δ=-7都不等于零，故可以用雅可比方法.

則有=,=,+=(,)+(,)=+1=0，

又由方程組

2將下面給出的二次型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的非退化線性替換.

根據(jù)已知可以寫出該二次型的矩陣

雅可比方法是借助對(duì)稱雙線性函數(shù)將二次型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形，雖然學(xué)生在學(xué)習(xí)高等代數(shù)時(shí)對(duì)雙線性函數(shù)部分的內(nèi)容掌握得不是特別熟練，但該方法理解起來比較容易.在用雅可比方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，首先要判斷元二次型的矩陣的前(-1)階順序主子式是否等于零，如果都不等于零，則可以用雅可比法.雅可比法是通過求矩陣的各階順序主子式來化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，可以比較快速直接地寫出二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，并且計(jì)算起來比較簡單，在求線性替換的過程中不涉及矩陣的變換，也不涉及求矩陣的特征值和特征向量，只是求解方程及方程組，是一種比較好的化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法.

四、結(jié)束語

二次型不僅在高等代數(shù)這門科目中十分重要，在數(shù)學(xué)的許多分支中也頻繁出現(xiàn)，如概率論、運(yùn)籌學(xué)等.二次型在物理等其他學(xué)科方向也有很重要的應(yīng)用.本文給出了雅可比法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并配以例題來幫助讀者更加清晰地了解該方法的具體解題步驟，還給出了該方法的適用情況和優(yōu)缺點(diǎn)，為讀者在解題時(shí)提供了最優(yōu)選擇.