◎任芳國 王甜甜

(陜西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，陜西 西安 710119)

一、引 言

Jordan矩陣是一種具有良好性質(zhì)的特殊形狀的重要矩陣，通過高等代數(shù)的學習，我們知道復數(shù)域上任何一個階方陣都與一個Jordan矩陣相似，且這個Jordan矩陣除去其中Jordan塊的排列順序外由方陣唯一決定.Jordan矩陣是矩陣相似關(guān)系中一種形式比較簡單的相似標準形，矩陣理論中相當一部分內(nèi)容都能看作Jordan標準形的應用，因此Jordan矩陣是高等代數(shù)教學及矩陣理論的核心內(nèi)容之一.求矩陣Jordan標準形也是高等代數(shù)教學的重點與難點，同時是數(shù)學專業(yè)碩士研究生入學考試命題的熱點問題之一.本文在高等代數(shù)教學的基礎(chǔ)上，主要討論Jordan矩陣的性質(zhì)及應用，并研究了利用矩陣的秩計算矩陣Jordan標準形的理論基礎(chǔ)及方法，深化了矩陣Jordan標準形的計算，旨在加深學生對矩陣相似關(guān)系及Jordan矩陣的理解和掌握，提高學生學習高等代數(shù)的能力并能以Jordan矩陣為工具討論矩陣中的其他問題.

為了敘述方便，我們對文中符號進行約定：×表示所有×階復矩陣組成的集合；,()分別表示矩陣的轉(zhuǎn)置和的秩；表示階單位矩陣；表示第(,)位置元素為1其余位置元素全為0的階方陣，并約定=0,>或=0,>；∈(=1,…,)表示基本單位向量，即是第個分量為1其余分量為0的維列向量.其他未做說明的符號及概念參見文獻.

為了本文討論更方便需要引入以下定義和引理.

2 設(shè)∈×，()=+…++，∈，=0，1,…，，≠0，稱矩陣+…++為矩陣關(guān)于多項式()的矩陣多項式，記為().

3 設(shè)∈×，稱關(guān)于的多項式det(-)為的特征多項式，記作()；稱以為根的次數(shù)最低的首項系數(shù)為1的多項式稱為矩陣的最小多項式，記作().

5 設(shè)是階方陣，是的一個特征值，是一個正整數(shù)，約定(-)=，(,)=(-)-1-(-)，稱(,)為矩陣關(guān)于特征值的Weyr特征.

1 設(shè)∈×，任意一個復方陣都與一個Jordan矩陣相似.

2 設(shè)∈×，則的最小多項式()等于的第個不變因子().

二、主要定理

先介紹一個Jordan塊的性質(zhì)及其與反序矩陣之間的關(guān)系.

1設(shè)∈×,()∈[].

(1) 如果=(0)，則()=-，其中1≤≤且=0(≥).

(5)(0)=(0).

(6)(0),(0)都是對稱矩陣.

(7)()=().

(8)(),()都是對稱矩陣.

只有當+1=時，,+1,+1=,+1.

(2)由于-1=(-1)()，由(1)知，=0，則有-=(-)()，所以()=-

(3)將()在處展開，于是由Taylor多項式公式知，

其中=?(())并約定()=()，

則由(1)知，()-=(0)=0≥，

(4)由于Jordan矩陣是分塊對角矩陣，則由矩陣多項式的定義及(3)可知(4)成立.

(7)由(5)知，()=(+(0))=()·+(0)=+(0)=().

(8)由于()=(+(0))=+(0)，()=(+(0))=+(0)及(0),(0),都是對稱矩陣知，(),()都是對稱矩陣.

綜上，定理得證.

1設(shè)是階方陣.

(1)方陣與相似.

(2)()=(+1).

(2) 如果方陣可逆, 顯然()=(+1)；如果方陣不可逆，則階方陣以0為特征值且的Jordan標準形中以0為主對角線元素的Jordan塊階數(shù)不會超過，則由定理1(1)知()=(+1).

綜上，推論得證.

下面討論說明任意一個階方陣都與一個復對稱矩陣相似.

2任意一個階方陣都與一個階復對稱矩陣相似.

最后由于任意一個階矩陣都與Jordan矩陣相似，又由上面證明可知，任意一個Jordan塊都與一個對稱矩陣相似，從而任意一個階矩陣都與復對稱矩陣的直和相似，故任意一個階矩陣都與一個復對稱矩陣相似.

綜上，定理得證.

在線性代數(shù)課程中已經(jīng)學習過利用初等變換求矩陣的Jordan分解，現(xiàn)在討論利用矩陣的秩計算矩陣的Jordan標準形.

3設(shè)是階方陣，是的一個特征值且作為最小多項式()根的重數(shù)為

(1)在的Jordan標準形中特征值對應的最大Jordan塊的階數(shù)等于

(2)特征值在的Jordan標準形中對應的Jordan塊的個數(shù)等于的幾何重數(shù)，即(,)=-(-).

(3)(-)=(-)(≥).

(4)dim{|(-)=0}等于特征值的代數(shù)重數(shù).

(5)(,)等于的Jordan標準形中特征值為且階數(shù)至少為的Jordan塊的個數(shù).

(6)(,)-+1(,)等于的以特征值為主對角線元素且階數(shù)為的Jordan的個數(shù)，其中?∈.

(7)(,)是的以特征值為主對角線元素且階數(shù)為的Jordan塊的個數(shù)，且當>時，(,)=0.

(1) 由于矩陣的最小多項式()是矩陣的第個不變因子，即矩陣的所有不同特征值對應的同一個一次因式方冪中次數(shù)最高的初等因子的乘積，而矩陣的初等因子與矩陣的Jordan標準形中的Jordan塊有一一對應關(guān)系，那么初等因子的次數(shù)就是Jordan標準形中對應塊的階數(shù)，所以特征值對應的最大Jordan塊的階數(shù)等于作為最小多項式()根的重數(shù).

即是(-)階方陣，特征值的代數(shù)重數(shù)為，以特征值為主對角線元素的Jordan塊有個.

(2) 由與相似知，-與-相似，那么

(-)=(-)

=(()-)+(--)

(3)由于-=(()-)⊕…⊕(()-)⊕(-)=(0)⊕…⊕(0)⊕(--).

(4)由于dim{|(-)=0}=-(-)，再由(3)知(-)=(--)=-，

故dim{|(-)=0}=-(-)=，即為特征值的代數(shù)重數(shù)

(5) 由于

-=(()-)⊕…⊕(()-)⊕(-)=(0)⊕…⊕(0)⊕(--),

(6) 由(5)可知(6)成立.

(7) 由(1)可知的Jordan標準形以特征值為主對角線元素的最大Jordan塊的階數(shù)為，則當>時，(-)=(-)-1，所以(,)=0，再由(5)可知(,)是以特征值為主對角線元素且階數(shù)為的Jordan塊的個數(shù).

綜上，定理得證.

現(xiàn)在根據(jù)定理3可得到利用矩陣的秩計算矩陣Jordan標準形的步驟.

2設(shè)為階方陣，利用矩陣的秩計算的Jordan標準形四個步驟：

(1)利用特征多項式()，求階方陣的所有不同的特征值,=1,…,

(2)對每個相異的特征值,=1,…,，及每個=1,…,，分別求出(,).

在計算中首次出現(xiàn)，使得(,)=+1(,)終止計算，即為在Jordan標準形中對應的最大Jordan塊的階數(shù). 當某個特征值的代數(shù)重數(shù)為1時，它在Jordan標準形中所對應的Jordan塊只有一個一階Jordan塊，不需要計算(,).

(3)對每個特征值分別求出對應的各級Jordan的階數(shù)與個數(shù).

()=(,)-(,)=-2(,)+(,),

()=(,)-+1(,)=-1(,)-2(,)++1(,),=1,…,,

其中()為Jordan標準形中以特征值為主對角線元素的階Jordan塊()的個數(shù).

(4)寫出方陣的Jordan標準形.

方陣的Jordan標準形由的每個特征值所對應的()個以為主對角線元素的階Jordan塊按照某一確定的次序產(chǎn)生的直和所構(gòu)成.

三、結(jié)束語

Jordan矩陣是一種具有良好性質(zhì)的形狀特殊的重要矩陣，本文利用矩陣運算、反序矩陣、矩陣相似關(guān)系及矩陣的秩，深化了Jordan矩陣的性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上給出了任意階方陣與對稱矩陣相似的構(gòu)造性證明及利用矩陣的秩計算矩陣Jordan標準形的理論基礎(chǔ)，最后總結(jié)了利用矩陣秩計算矩陣Jordan標準形的步驟，并通過例題加深了Jordan標準形的計算，促進學生提高學習高等代數(shù)的能力，以上研究進一步說明了Jordan矩陣在高等代數(shù)教學及矩陣理論中的重要性.