◎劉 燕

(克拉瑪依職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，新疆 克拉瑪依 834000)

一、引 言

在高職高專的高等數(shù)學(xué)上冊(cè)中，一元微積分是由函數(shù)、極限與連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與微分、微分學(xué)的應(yīng)用、不定積分、定積分及其應(yīng)用、微分方程七個(gè)教學(xué)模塊構(gòu)成，其中連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和定積分是微積分中非常重要的三個(gè)數(shù)學(xué)概念，而這三個(gè)數(shù)學(xué)概念都是用極限刻畫的，因此，熟練掌握極限的求解方法對(duì)學(xué)好一元微積分是至關(guān)重要的.

二、函數(shù)極限的求解方法

1.利用觀察法求極限(觀察型)

在極限概念的章節(jié)中，有許多節(jié)要求觀察在自變量的某種變化過(guò)程中函數(shù)的變化趨勢(shì).這種類型的題目就是典型的利用觀察法求極限，它的求解方法是先作圖或列表，然后觀察當(dāng)自變量在指定的變化過(guò)程中函數(shù)的變化趨勢(shì).

圖1

2.利用無(wú)窮小的性質(zhì)求極限(無(wú)窮小型)

無(wú)窮小的性質(zhì)有三條：

(1)有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍為無(wú)窮??；

(2)有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮?。?/p>

(3)有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小.

當(dāng)遇到無(wú)窮小量相加、相減、相乘時(shí)，一般情況下可以判定此時(shí)極限為無(wú)窮小型，我們常常利用無(wú)窮小的性質(zhì)求極限.針對(duì)性質(zhì)(3)要牢記，常見(jiàn)的有界函數(shù)有七個(gè)，它們分別是常數(shù)、正弦、余弦、反正弦、反余弦，反正切和反余切，只要函數(shù)中含有有界函數(shù)，就要認(rèn)真分析剩余的部分是否無(wú)窮小.

3.利用無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系求極限(無(wú)窮大型)

通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在極限條件下是無(wú)窮大時(shí)，可以判斷該極限屬于無(wú)窮大型，可以利用無(wú)窮大與無(wú)窮小在同一條件下互倒的關(guān)系解題.

該定理表明，在計(jì)算兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，可將分子或分母的乘積因子代換為與其等價(jià)的無(wú)窮小量，進(jìn)而簡(jiǎn)化極限求解的計(jì)算過(guò)程.

當(dāng)→0時(shí)，sin～，ln(1+)～，

=1.

注意：在利用等價(jià)無(wú)窮小代換定理時(shí)，對(duì)于代數(shù)運(yùn)算中各無(wú)窮小不能分別替換，必須整體代換.

5.利用極限運(yùn)算法則求極限(公式型)

通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，只要符合極限的四則運(yùn)算法則的條件都可以利用法則解題.

6求下列極限：

通過(guò)分析發(fā)現(xiàn),分子、分母在某種極限條件下極限都為0，且分子或者分母含有根式函數(shù)，這時(shí)常常利用平方差公式對(duì)分子或分母進(jìn)行有理化，從而求解極限.

有些極限用一般的方法無(wú)法求解，但借助變量代換法求極限卻能順利解決.

設(shè)e-1=，則=ln(+1)，當(dāng)→0時(shí)有→0，故

夾逼準(zhǔn)則又稱兩邊夾準(zhǔn)則.在極限求解過(guò)程中，常常把函數(shù)或數(shù)列通過(guò)放大和縮小，使兩邊的新函數(shù)或新數(shù)列極限相同，進(jìn)而利用夾逼準(zhǔn)則求原函數(shù)或原數(shù)列的極限.

圖2

12.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限(代入型)

由于初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，所以求極限時(shí)我們常常觀察一下函數(shù)是否在該點(diǎn)有定義，若有，即可利用函數(shù)的連續(xù)性求極限，若無(wú)，改用其他方法.

因?yàn)楹瘮?shù)()=esin 是初等函數(shù)，并且它在=0處有定義且連續(xù),

13.利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限(湊導(dǎo)型)

∵′(0)=1，

=2′(0)-3′(0)=-1.

14.利用L′hospital法則求極限(未定型)

有些極限可以通過(guò)巧妙地構(gòu)建函數(shù)，使其在某區(qū)間上符合Lagrange中值定理的條件，從而利用Lagrange中值定理求極限.

三、結(jié)束語(yǔ)

在高職高專教材中，一般情況下有這十五種求極限的方法，在極限求解計(jì)算中到底運(yùn)用哪一種方法，還需要具體問(wèn)題具體分析，請(qǐng)讀者在計(jì)算中認(rèn)真分析，找準(zhǔn)類型，靈活運(yùn)用求極限方法.一個(gè)求極限的題目，有時(shí)所用到的方法也不止一個(gè)，大家在能夠融會(huì)貫通的情況下，選擇出適當(dāng)?shù)姆椒?，這樣不僅準(zhǔn)確率高，而且會(huì)省去許多不必要的麻煩，起到事半功倍的效果.