◎任芳國 和嘉琪

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，陜西 西安 710119)

一、引 言

冪等矩陣是一類常見的較特殊的矩陣，在矩陣?yán)碚撝芯哂兄匾牡匚缓妥饔?，它的很多?yōu)良的性質(zhì)對解決矩陣問題大有益處.它不但在高等代數(shù)中有著重要的應(yīng)用，在其他課程里，如計量經(jīng)濟(jì)學(xué)、統(tǒng)計學(xué)課程中也有重要應(yīng)用.冪等矩陣及其相關(guān)性質(zhì)具有鮮明的背景、豐富的理論，但是在通常的高等代數(shù)的教材中關(guān)于冪等矩陣的討論是比較少的，因此，本文在前人已有的研究基礎(chǔ)上對冪等矩陣的性質(zhì)做了一些有益的補充和推廣，就冪等矩陣的性質(zhì)給予系統(tǒng)的歸納、分析和證明.

為了本文討論更方便需要以下定義和引理.

1設(shè)∈×，的行向量組的秩或列向量組的秩稱為矩陣的秩或者矩陣的非零子式的最高階數(shù)稱為矩陣的秩，記作()，并規(guī)定零矩陣的秩為0.

2設(shè)∈×，集合{|?∈}稱為的值域，記作()；集合{∈|=0}稱為的核，記作().

3設(shè)∈×，如果的秩等于它的列(或行)數(shù)，稱是列(行)滿秩矩陣，特別地，可逆矩陣也稱為滿秩矩陣.

4設(shè)∈×且()=，如果存在列滿秩矩陣∈×及行滿秩矩陣∈×，使得=，稱矩陣具有滿秩分解.

5設(shè)∈×.

(1)如果=，稱是冪等矩陣.

(2)如果=，稱是對合矩陣.

1(Douglas引理)

設(shè)∈×,∈×，則()?()?存在∈×，使得=

由()=(,…,),()=(,…,)，其中,分別是與的第個列向量，如果()?()，則向量組,…,可由向量組,…,線性表示，那么存在∈×，使得(,…,)= (,…,)，即=；反之結(jié)論成立.

2設(shè),是階方陣,則()=.(證明略)

3設(shè)∈×，(),()∈[]，如果((),())=1，則(())+(())=+(()()).

故由等價矩陣的秩不變可知，

4 設(shè)∈×,∈×,∈×.如果是列滿秩矩陣，是行滿秩矩陣，則()=()=()=().

5

(滿秩分解)每一個非零矩陣都有滿秩分解.

二、主要定理

1設(shè)∈×是冪等矩陣，則:

(2)可逆當(dāng)且僅當(dāng)是單位矩陣.

(3)()=(-).

(4)?∈()，有=

(5)()⊕()=.

(7)()=().

(8)的特征值是0或1.

(9)+是可逆矩陣，其中是不等于0,1的任意數(shù).

(10)的最小多項式是或-1或(-1).

(11)能表示成兩個對稱矩陣的乘積.

(12) 設(shè)∈×，則=?()?().

(13) 設(shè)∈×，則=?()?().

(14)的經(jīng)典伴隨是冪等矩陣.

()==()=()=；

()=()=.

(2)若是單位矩陣，顯然可逆；反之，若可逆，由是冪等矩陣知，==()===.

(3)?∈()，有(-)=-=-0=∈(-)，則()?(-)；?∈，由((-))=(-)=(-)=0=0知，(-)?()，所以()=(-).

(4)?∈()，存在∈，使得=，則=()===

(5)?∈，由=+(-)=+(-)及()=(-)可知，=()+()；?∈()∩()，即∈()且=0，于是由(4)知，==0，那么()∩()=0，所以()⊕()=.

(6)由于是冪等矩陣，由dim()=,dim()=-，取()中的一組基,…,，取()中的一組基+1,…,，那么由(5)知，,…,,+1,…,就是中的一組基.

令=(,…,,+1,…,)，則階方陣可逆，進(jìn)而由(4)知，

=(,…,,+1,…,)

=(,…,,0,…,0)

(7)由相似矩陣有相同的跡，并結(jié)合(6)知，()=().

(8)由相似矩陣有相同特征值，并結(jié)合(6)可知，的特征值是0或1.

(10)由于相似矩陣的最小多項式相同及分塊對角矩陣的最小多項式是主對角線上每個子塊的最小多項式的最小公倍式，則由(6)知，的最小多項式是或-1或(-1).

(12)充分性：?∈，由冪等矩陣值域性質(zhì)(4)及()?()知()=()=，所以=；

必要性：若=，由Douglas引理知，()?().

(13)充分性：?∈，由冪等矩陣核性質(zhì)(3)及()?()知，0=((-)) =(-)，即=()，所以=；

必要性：若=，顯然()?().

(14)由引理2知，=()=()==()，即是冪等矩陣.

綜上，定理1得證.

由定理1(12)、(13)易得如下推論.

設(shè),∈×是冪等矩陣，則

(1)=?()?().

(2)=?()?().

2設(shè)∈×，=()且=是的滿秩分解，則下列條件等價.

(1)是冪等矩陣.

(2)()+(-)=

(3)=.

(4)若=≠0，其中,∈，則是冪等矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)=1.

(5)2-是對合矩陣.

(7)設(shè)∈×，則是冪等矩陣,當(dāng)且僅當(dāng)存在∈×，使得=，其中=

(1)?(2)

取()=,()=-1，顯然有()=，()=-，()與()互素，于是由引理3知，()+(-)=(())+(())=+(()())=+((-))，因此()+(-)=，當(dāng)且僅當(dāng)((-))=0，當(dāng)且僅當(dāng)(-)=0，即=

(1)?(3)

必要性：由引理4知，(-)=(-)=((-))=(-)，于是=，當(dāng)且僅當(dāng)(-)=0，當(dāng)且僅當(dāng)(-)=0，當(dāng)且僅當(dāng)=.

(1)?(4)

由于≠0，則,都是非零維列向量，那么=是的滿秩分解矩陣，于是由(1)與(3)等價知，是冪等矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)=1.

(1)?(5)

由于(2-)=4-4+，則2-是對合矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)4-4+=，當(dāng)且僅當(dāng)4-4=0，當(dāng)且僅當(dāng)=

(1)?(6)

(1)?(7)

充分性：如果=，則由=知，===

必要性：由()=()及Douglas引理知，存在∈×使得=，則有()=()=().設(shè)=是的滿秩分解，由()=()，即()=()，則由引理4知，()=()，那么是行滿秩，再由=，即=及引理4知，

0=(-)=((-))=((-))=((-))=((-))=((-))，即=

綜上，定理2得證.

3設(shè),∈×是冪等矩陣.

(1)冪等矩陣是相似不變量.

(2)冪等矩陣具有直和不變性.

(3),∈相似，當(dāng)且僅當(dāng)它們跡相同.

(4)按照相似分類，所有的階冪等矩陣可以分為(+1)類.

(5)-是冪等矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)==

(6)+是冪等矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)==0.

(7)如果=，則是冪等矩陣.

(8)若存在兩個非零復(fù)數(shù),且+≠0使得+可逆，則對所有滿足+≠0的非零復(fù)數(shù),，線性組合+都是可逆的.

(9)-是可逆矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)-,+-都可逆.

(10)+是可逆矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)+,+-都可逆.

(1)設(shè)∈×是任意給定的可逆矩陣，令=，則=()===，所以冪等矩陣是相似不變量.

(3)相似矩陣具有相同的跡，又由冪等矩陣的跡等于它的秩，由定理2(6)冪等矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形及相似關(guān)系是等價關(guān)系知，兩個冪等矩陣,相似當(dāng)且僅當(dāng)它們跡相同.

(4)由定理2(6)可知，兩個階冪等矩陣相似，當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的秩，對階冪等矩陣其秩有(+1)種選擇，即=0,1,…,，所以，所有的階冪等矩陣可以分為(+1)類.

(5)必要性：由(-)=--+=--+=-，即

2=+

(3.1)

將上式分別右乘和左乘，則有2=+，2=+，

所以=，再由(3.1)知，==

充分性：因為==，則(-)=--+=-2+=-

(6)必要性：由(+)=+++=+++=+，即

+=0.

(3.2)

將上式分別左乘和右乘，則有+=0,+=0，

所以=，再由(3.2)知，==0.

充分性：因為+=0，則(+)=+++=+=+

(7)由于=，則()====

(8)由?∈(+)，有(+)=0，即有=-①

將①式兩邊分別左乘,可得=-,=-②

則由①②可得，=,=③

將=,=代入上式可得

由于+可逆，將上式兩邊左乘(+)-1得(+)=(+)=+④

將④左乘，得+=+，即=，

將它代入②中的=-可得(+)=0?=0=，

再由③式有=0，因此由④式可得(+)=0，

但+≠0，所以=0，

因此(+) ={0}，從而+是可逆的.

(9)由于,是冪等矩陣，有-=(-)(+-)，所以-是可逆矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)-,+-都可逆.

(10)由于,是冪等矩陣，有+=(+)(+-)，所以+是可逆矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)+,+-都可逆.

綜上，定理3得證.

三、結(jié)束語

冪等矩陣是高等(線性)代數(shù)教與學(xué)的重點內(nèi)容之一，研究冪等矩陣可以加強對高等(線性)代數(shù)的學(xué)習(xí)和研究.本文主要在高等(線性)代數(shù)教學(xué)的基礎(chǔ)上，總結(jié)并深化了關(guān)于冪等矩陣的重要性質(zhì)及一些應(yīng)用.首先對冪等矩陣的基本的重要的性質(zhì)進(jìn)行了歸納總結(jié)，并給出冪等矩陣的等價刻畫，接著討論了矩陣普通加法與數(shù)乘對冪等矩陣的影響，并進(jìn)一步獲得了冪等矩陣的運算性質(zhì)，最后討論了冪等矩陣的分解形式.