四川成都市第三中學(xué)（610017）邵星峰 王欣

四川電影電視學(xué)院實驗中學(xué)（611331）王昌林

對于高考數(shù)學(xué)試題，既需要橫向的多角度研究，又需要縱向的多層次研究；既需要著眼于宏觀層面的研究，又需要著眼于微觀層面的研究。高考數(shù)學(xué)試題的主要研究內(nèi)容有試題的分析、評價與賞析，試題的“一題多解”與“多題一解”，試題的推廣與深化，試題的創(chuàng)作與改編，試題的答題技巧與應(yīng)考對策等。

一、試題呈現(xiàn)

（2021 年新高考全國Ⅰ卷第22 題）已知函數(shù)f(x)=x(1 -lnx)。

（1）討論f(x)的單調(diào)性；

（2）設(shè)a，b為兩個不相等的正數(shù)，且blna-alnb=a-b，證明：2 ＜＜e。

簡評：文理科共用同一套數(shù)學(xué)試卷是新高考數(shù)學(xué)試卷的特點。此題是2021 年新高考全國Ⅰ卷的壓軸題。第（1）問較為簡單，考生只要會函數(shù)求導(dǎo)和解不等式，基本上就能得到函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減。第（1）問為第（2）問的求解奠定了基礎(chǔ)。第（2）問具有一定的難度，關(guān)鍵點在于對blna-alnb=a-b的處理，考生需認(rèn)真考慮如何建立條件與所證結(jié)論之間的關(guān)系。此題知識考查的重點是求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)證明雙變量不等式；能力考查的重點是分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸、推理論證、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等方面的能力。

二、試題溯源

溯源1：模擬試題背景

（2017 年四川聯(lián)考模擬）設(shè)a，b是不相等的兩個正數(shù)，且blna-alnb=a-b，給出下列結(jié)論：①a+b-ab＞1；②a+b＞2；③＞2，其中所有正確結(jié)論的序號是______。

溯源2：高考試題背景

（2018年高考新課標(biāo)Ⅰ卷）已知函數(shù)f(x)=-x+alnx。

（1）討論f(x)的單調(diào)性；

（2）若f(x) 存在兩個極值點x1，x2。證明：＜a-2。

溯源3：高等數(shù)學(xué)背景

泰勒定理：若函數(shù)f(x)在[ ]a,b上存在直至n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在(a,b)上存在n+1 階導(dǎo)函數(shù)，則對任意給定的x，x0∈[ ]a,b至少存在一點ξ∈(a,b)，使得f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+(xx0)2+…

由此可知，當(dāng)n=2 時，記m=，在區(qū)間內(nèi)將f(x1)和f(x2)分別在x=m處用泰勒定理展開，可得結(jié)論：已知函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)只有一個極值點x0，且存在三階導(dǎo)函數(shù)，f(x)在(a,b)內(nèi)存在兩個零點x1，x2，且x1＜x2。若f?(x) ＞0，則有極大值點向左偏移，極小值點向右偏移；若f?(x) ＜0，則有極大值點向右偏移，極小值點向左偏移；若f?(x)=0，則無極值點偏移。

三、試題解答

視角1：函數(shù)構(gòu)造

視角3：同構(gòu)與放縮

視角4：泰勒定理

四、試題變式

變式是指教師通過采用科學(xué)合理的手段，有目的、有計劃地對命題進行轉(zhuǎn)換。通過不斷變換問題中的非本質(zhì)條件，保留本質(zhì)因素，從而使學(xué)生能夠掌握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性。陳景潤先生指出：“題有千變，貴在有根?！边@揭示了試題變式的內(nèi)核。下面針對例題的本質(zhì)——極值點偏移以及解答例題的方法進行以下變式。

變式1：當(dāng)0 ＜a＜b＜e時，證明：alnb-blna＞a-b成立。

五、研究意義

（一）基于高考數(shù)學(xué)試題研究開展教學(xué)與復(fù)習(xí)具有重要價值

基于高考數(shù)學(xué)試題研究開展的數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)，其價值不僅體現(xiàn)在能為教師的日常教學(xué)導(dǎo)向，還對于教師的能力及讓學(xué)生養(yǎng)成研究高考數(shù)學(xué)試題的習(xí)慣有著促進作用。教師行為習(xí)慣對學(xué)生的行為習(xí)慣養(yǎng)成有著不可忽視的作用。若教師都不進行高考數(shù)學(xué)試題研究或者不善于對高考數(shù)學(xué)試題進行研究，那么學(xué)生也不會有研究高考數(shù)學(xué)試題的意識。事實上，數(shù)學(xué)活動是一種文化傳承，教師熱愛數(shù)學(xué)、鉆研數(shù)學(xué)、善于分析、勇于探究、積極合作與創(chuàng)新，其品質(zhì)和精神必然能潛移默化地感染學(xué)生。

（二）有效推進教師開展高考數(shù)學(xué)試題研究

數(shù)學(xué)教師的專業(yè)水平想要得到有效提升，研究高考數(shù)學(xué)試題是一種有效的路徑。試題研究是教師的基本功，可以幫助教師對知識與考點進行精準(zhǔn)“把脈”。大多數(shù)數(shù)學(xué)教師都有在研究高考數(shù)學(xué)試題，但是有部分教師對高考數(shù)學(xué)試題的研究僅僅停留在表面，比如只做本地區(qū)的高考數(shù)學(xué)試題，“刷”一遍全國高考數(shù)學(xué)試題或瀏覽一遍全國各地的高考數(shù)學(xué)試題。只有對高考數(shù)學(xué)試題進行分析、評價，研究“一題多解”與“多題一解”，并對高考數(shù)學(xué)試題進行推廣與深化、創(chuàng)作與改編，思考高考數(shù)學(xué)試題的答題技巧與應(yīng)考對策等，才能充分體現(xiàn)研究高考數(shù)學(xué)試題的價值。

（三）積極組織學(xué)生開展高考數(shù)學(xué)試題研究

由于受自身知識和條件的限制，學(xué)生自己對高考數(shù)學(xué)試題進行研究，效果往往不盡如人意。那么，教師應(yīng)如何組織學(xué)生有效開展高考數(shù)學(xué)試題的研究呢？教師可以給學(xué)生一些與試題相關(guān)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生分析試題蘊含的知識點、考點及其呈現(xiàn)形式、解題方法及評價方式等。學(xué)生學(xué)會研究高考數(shù)學(xué)試題，那么其解題能力必將能得到有效提升，同時可以更好地自查知識漏洞、合理評價及認(rèn)識自我。當(dāng)然，要讓學(xué)生學(xué)會研究高考數(shù)學(xué)試題并非一朝一夕就能實現(xiàn)，教師應(yīng)該給予學(xué)生充裕的時間，提供查閱同類試題的條件及必要的鼓勵。