段春青，陳曉楠，許新勇，靳燕國

(1.北京市水務(wù)局 政務(wù)服務(wù)中心，北京 100071;2.中國南水北調(diào)集團中線有限公司，北京 100038;3.華北水利水電大學(xué) 水利學(xué)院，河南 鄭州 450045）

旱澇是全球最常見的經(jīng)濟損失最嚴(yán)重的自然災(zāi)害。據(jù)統(tǒng)計,每年旱澇災(zāi)害導(dǎo)致的經(jīng)濟損失占全球各類自然災(zāi)害造成損失的43%[1-2］。我國旱澇頻繁發(fā)生,且范圍廣、持續(xù)時間長,給生產(chǎn)、生活特別是農(nóng)業(yè)生產(chǎn)造成巨大損失。

旱澇災(zāi)害的時空演化特征分析是當(dāng)前災(zāi)害學(xué)領(lǐng)域研究熱點,國內(nèi)外學(xué)者已取得較豐富的成果,并建立了一些科學(xué)實用的旱澇程度的量化評估指標(biāo),目前常見的有降水距平指標(biāo)[3］、降水溫度均一化指標(biāo)[4］、帕爾默干旱指數(shù)(palmer drought severity index,PDSI)[5］、標(biāo)準(zhǔn)化降雨指數(shù)(standard precipitation index,SPI)[6］、標(biāo)準(zhǔn)化降水蒸散指數(shù)(standard precipitation evapotranspiration index,SPEI)[7-8］等。

SPEI是Vicente-Serrano等于2010年提出的。該指數(shù)在SPI的基礎(chǔ)上,結(jié)合了SPI和PDSI的優(yōu)點,加入潛在蒸散因素,具備計算簡單和多時間尺度的特點。SPEI一般只需月平均氣溫和降水資料即可計算區(qū)域蒸散量和水分盈虧量,并以標(biāo)準(zhǔn)化指數(shù)呈現(xiàn),可用于不同時間、不同區(qū)域的旱澇變化特征比較。近些年,我國學(xué)者基于SPEI指數(shù)進行了大量的旱澇評價和規(guī)律分析,取得了豐碩成果,同時驗證了該指數(shù)在國內(nèi)具有很好的適用性[9-11］。

在旱澇時空分布特征和演變規(guī)律研究中,常見的分析方法有Mann-Kendall(M-K)趨勢檢驗[12］、滑動平均模型[13］、logistic函數(shù)[14］、多項式回歸[15］等。這些方法一般需要較多的樣本數(shù)據(jù)作為支撐,而實際應(yīng)用中所獲得的數(shù)據(jù)不多,一般只有幾十年資料,如何在較少樣本條件下得到較好的非線性回歸結(jié)果是重點研究問題之一。信息擴散技術(shù)是近些年興起的針對不完備樣本的一種有效處理手段,是利用適當(dāng)?shù)臄U散函數(shù)實現(xiàn)對小樣本數(shù)據(jù)的集值化模糊數(shù)學(xué)方法,通過把單值樣本點擴散到各個控制點上來獲取更多的信息[16-17］。此外,隨著混沌理論及相關(guān)時間序列分析技術(shù)的不斷發(fā)展,許多研究表明水文、氣象等系統(tǒng)具有一定的混沌特征,通過對時間序列重構(gòu)相空間,可挖掘其中豐富的動力學(xué)信息[18-19］。傳統(tǒng)的各種混沌時間序列預(yù)測方法需基于大量數(shù)據(jù),對于樣本數(shù)據(jù)量較少情況,鑒于信息擴散技術(shù)處理小樣本數(shù)據(jù)的優(yōu)勢,可考慮在回歸中采用信息擴散技術(shù)進行數(shù)據(jù)處理,建立新的基于信息擴散近似推理的混沌時間序列分析法。

1 研究方法

1.1 信息擴散技術(shù)

1.1.1 信息擴散頻率分布

信息擴散頻率是在小樣本條件下,通過構(gòu)建離散論域的控制點,利用信息擴散函數(shù)將樣本點攜帶的信息分配到控制點上,得到模糊集合,在此基礎(chǔ)上分析頻率的分布,主要步驟如下[17］。

(1)設(shè)樣本序列為X＝(x1,x2,…,xl),l為樣本數(shù)量。根據(jù)樣本序列中的最大值和最小值,構(gòu)建離散論域U＝｛u1,u2…,uc｝,c為論域U的離散點數(shù)量,對每個樣本點xi通過下面的信息擴散函數(shù),將其信息分配到論域中的每個控制點上:

h為信息擴散系數(shù),可根據(jù)樣本長度l和樣本中的a、b來計算。

式中:a、b分別為樣本中的最小值、最大值。

(2)對樣本點xi的信息分配結(jié)果進行歸一化處理:

(3)針對控制點uj,根據(jù)所有樣本點在其上的信息分配,計算分配的信息總量:

(4)計算每個控制點的頻率值:

(5)計算各控制點的超越頻率值:

通過計算兩個控制點的超越頻率的差,即可計算出控制點區(qū)間內(nèi)的頻率分布。

1.1.2 信息擴散回歸分析

信息擴散回歸分析通過信息擴散技術(shù)建立變量間的模糊關(guān)系,能較好地直觀反映出函數(shù)的變化趨勢,得到光滑的函數(shù)曲線,主要步驟如下[18］。

(1)設(shè)自變量和因變量組成的樣本序列為[(x1,y1),(x2,y2),…,(xl,yl)］,分別根據(jù)輸入和對應(yīng)輸出樣本的數(shù)據(jù)分布情況,確定輸入、輸出的離散論域U＝｛u1,u2,…,us｝,V＝｛v1,v2,…,vr｝,并通過信息擴散將樣本(xi,yi)轉(zhuǎn)換為模糊集合:

式中:hx、hy分別為輸入樣本和輸出樣本的信息擴散系數(shù),根據(jù)式(2)來計算。

(2)對每組樣本(xi,yi)得到的模糊集Ai和Bi建立模糊關(guān)系Ri:

(3)對給定的輸入數(shù)據(jù)x0,通過信息擴散回歸模型估算輸出數(shù)據(jù)y0。首先,將輸入數(shù)據(jù)進行集值化處理:

式中:d＝｜u1-u2｜。

然后,根據(jù)得到的模糊集和模糊關(guān)系進行模糊推理計算:

假設(shè)v′滿足

則v′是由第i組樣本(xi,yi)推算得出y0的一個估計值,記 作y＾i,并將其對應(yīng)的隸屬度看作估計值的權(quán)重wi。

(4)按照上述步驟,分別利用每組樣本進行計算,將得到l個y0的估計值和相應(yīng)的權(quán)重,加權(quán)平均得到最終的估計值:

1.2 信息擴散混沌時間序列分析

混沌是確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)貌似隨機的現(xiàn)象,在自然界中普遍存在?；煦缣匦允菍Τ跏贾档拿舾行?雖長期不可預(yù)測,但短期預(yù)測可行。目前,混沌時間序列的分析已經(jīng)廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域中,主要預(yù)測方法有全域法、局域法、加權(quán)零階局域法、加權(quán)一階局域法等。其中,加權(quán)一階局域法最為常見,在對時間序列數(shù)據(jù)重構(gòu)相空間后,采用線性局部擬合相空間中的樣本,一般需要較多的數(shù)據(jù)。當(dāng)時間序列樣本較少時,重構(gòu)相空間后高維向量樣本更少,可考慮采用擅長小樣本處理的信息擴散回歸技術(shù)進行處理,建立信息擴散加權(quán)一階局域法,主要步驟如下[19］。

(1)設(shè)時間序列(xn｜n＝1,2,…,N),對其進行快速傅里葉變換,計算平均軌道周期P。

(2)采用C-C方法[21］計算時間序列嵌入維數(shù)m和時間延遲τ,重構(gòu)相空間得到高維樣本序列Yi＝(xi,xi＋τ,…,xi＋(m-1)τ)(i＝1,2,…,M,其中M＝N-(m-1))。

(3)按照限制短暫分離的原則,要求｜i-j｜＞P。對每個點Yi尋找最鄰近點Yj,設(shè)最鄰近的“點對”初始距離為di(0)。

(4)對相空間中的每個最鄰近的“點對”,進行k步演進后,兩者之間的距離為di(k)。

(5)對于每個k,計算所有的ln[di(k)］的平均值y(k),由下式計算:

式中:y(k)為計算得到的序列；g為非0的di(k)的數(shù)量；T為采樣周期,本文取T＝1；K為實際中最多演進的步長。

(6)對序列y(k)進行一元線性回歸,直線的斜率即為最大李雅普諾夫(Lyapunov)指數(shù)λ1。當(dāng)λ1＞0時,認(rèn)為系統(tǒng)具有混沌特征,λ1越大混沌特征越明顯。若時間序列具有混沌特性,采用信息擴散加權(quán)一階局域法進行預(yù)測。

(7)尋找鄰近點。計算YM的q個最鄰近點Yk(k＝a1,a2,…,aq)。設(shè)Yk到Y(jié)M的距離為di(i＝1,2,…,q),dm是di中的最小值。定義Yk的權(quán)重Wk為:

(8)信息擴散加權(quán)預(yù)測。利用信息擴散回歸法根據(jù)YM中分量xN估算xN＋1,計算過程中將式(14)得到的權(quán)重Wk與式(12)權(quán)重相乘,并進行歸一化處理后作為最終信息擴散回歸中權(quán)重系數(shù),推算xN＋1的估計值。

1.3 標(biāo)準(zhǔn)化降水蒸散指數(shù)

根據(jù)區(qū)域的降水和氣溫數(shù)據(jù)量化計算標(biāo)準(zhǔn)化降水蒸散指數(shù)(SPEI),計算主要步驟如下[2］。

(1)根據(jù)氣溫數(shù)據(jù)及研究區(qū)位置,應(yīng)用Thornthwaite法計算月潛在騰發(fā)量ETi:

其中:

式中:ETi為月潛在騰發(fā)量；Ti為月平均氣溫；K為由區(qū)域緯度得出的平均晝長修正系數(shù)；I為年熱量指數(shù)；m為指數(shù),由I計算得出。

(2)根據(jù)降水和計算的潛在騰發(fā)量分析水分盈虧量:

式中,Di為月水分盈虧量,正值意味著水分盈余,負(fù)值則表示水分虧缺,0代表水分恰好平衡；Pi為月降水量。

(3)基于log-logistic概率分布計算SPEI:

式中:Γ()為Gamma函數(shù)；N為序列數(shù)；s＝0,1,2。

設(shè)P＝1-F(x),當(dāng)P≤0.5時:

當(dāng)P＞0.5時:

其中,c0＝2.5155,c1＝0.8029,c2＝0.0103；d1＝1.4328,d2＝0.1893,d3＝0.0013。

SPEI的旱澇分級標(biāo)準(zhǔn)為:特旱(-∞,-2］,重旱(-2,-1.5］,中旱(-1.5,-1］,輕旱(-1,-0.5］,正常(-0.5,0.5］,輕澇(0.5,1］,中澇(1,1.5］,重澇(1.5,2］,特澇(2,∞］。

1.4 信息擴散和混沌理論的旱澇分析

根據(jù)研究區(qū)域月尺度下的月均降水量和月均氣溫歷史數(shù)據(jù),利用SPEI指數(shù)計算得出月旱澇程度；利用旱澇時間序列數(shù)據(jù),基于信息擴散頻率分布模型,得出不同旱澇程度分布規(guī)律；對旱澇時間序列進行信息擴散回歸分析,得出旱澇變化趨勢曲線,研究其隨時間交替演變的特征；應(yīng)用信息擴散加權(quán)一階局域法預(yù)測旱澇變化趨勢,驗證模型的有效性。

2 應(yīng)用實例

以陜西省西安市為典型研究區(qū),分析旱澇演變規(guī)律。西安市是陜西省的政治、經(jīng)濟、文化中心,地處渭河流域中部,位于北緯33°39′—34°44′、東經(jīng)107°40′—109°49′。西安四季分明,屬于溫帶半干旱、半濕潤大陸性季風(fēng)氣候區(qū),多年年均降水量約740 mm,年內(nèi)分布不均,年際變化大；多年平均氣溫約13℃；主要農(nóng)作物為冬小麥、夏玉米等。本研究選擇9月份為計算分析時段,該時段為玉米的成熟期,旱澇影響較大。研究區(qū)1951—2015年的月均降水量和月均氣溫數(shù)據(jù)通過中國氣象數(shù)據(jù)網(wǎng)獲得。

2.1 旱澇等級頻率分布分析

根據(jù)SPEI指數(shù)計算西安市1951—2015年每年9月份的旱澇程度序列見圖1。

圖1 SPEI旱澇程度序列

以圖1中SPEI旱澇程度序列為基礎(chǔ),利用信息擴散技術(shù)分析不同等級頻率分布。本文針對樣本數(shù)據(jù)的實際分布,選取離散論域控制點101個,控制點旱澇程度最小值u1＝-2.026、最大值u101＝2.122,控制點等距離0.04148；其范圍包含全部樣本點。計算得出每個控制點上的超越頻率,并根據(jù)SPEI等級的劃分標(biāo)準(zhǔn)計算出不同旱澇等級分布頻率(見圖2)。

圖2 旱澇等級分布頻率

西安市9月份旱澇程度分布規(guī)律為:正常情況的頻率最大,為39.6%；特旱和特澇的頻率相對最小,分別為0.9%和1.0%；輕旱至輕澇的頻率達到63.0%；中旱及以上程度的干旱頻率為19.5%；中澇及以上程度的漬澇頻率為17.5%。

與傳統(tǒng)頻率計算方法進行對比。利用傳統(tǒng)頻率計算方法計算得出不同旱澇等級分布頻率為:特旱1.5%、重旱6.2%、中旱13.8%、輕旱9.2%、正常40.0%、輕澇10.8%、中澇7.7%、重澇9.2%、特澇1.5%。信息擴散計算結(jié)果與傳統(tǒng)方法整體上相差不大。但是,假設(shè)增加1個旱澇程度為-2(特旱等級)的年份,數(shù)據(jù)樣本增加66組,則用傳統(tǒng)方法計算得出特旱等級的頻率為3.0%,相比原65組樣本計算結(jié)果增大了1倍。而利用信息擴散方法計算結(jié)果為1.7%,是因為樣本數(shù)量較少,當(dāng)發(fā)生個別變化時,傳統(tǒng)方法計算結(jié)果很不穩(wěn)定,但信息擴散技術(shù)可充分利用每個樣本位置信息,得出較穩(wěn)定的結(jié)果,體現(xiàn)出小樣本條件下信息擴散技術(shù)分析頻率的優(yōu)越性。

2.2 旱澇演化趨勢分析

利用信息擴散回歸分析方法對旱澇程度數(shù)據(jù)進行處理。將年份序號作為自變量,相應(yīng)的計算時段旱澇程度作為因變量,進行關(guān)系擬合。在計算中,兩個變量所在論域的控制點個數(shù)均選取101個,且等間隔分布,最大控制點和最小控制點均分別選取樣本的最大值、最小值外延0.001。信息擴散近似推理完成擬合后,處理前后對比情況如圖3所示。圖3中原旱澇程度序列呈現(xiàn)鋸齒狀,逐年變化波動大,不易直接看出演變規(guī)律。經(jīng)過信息處理后得到光滑曲線,能夠較為清晰地反映出演變的趨勢和波動起伏的特征。

圖3 信息擴散旱澇趨勢

由圖3可以看出,旱澇呈現(xiàn)交替變化規(guī)律:1951—1962年呈偏旱趨勢,1963—1986年呈現(xiàn)偏澇趨勢,1987—2002年又呈現(xiàn)偏旱趨勢,2003年后再次呈現(xiàn)偏澇趨勢。1951—2015年的整體趨勢線基本處于水平狀態(tài),旱澇圍繞正常狀態(tài)上下波動,趨勢線未有明顯的上升或下降趨勢。

2.3 旱澇趨勢信息擴散混沌預(yù)測

利用上述信息擴散回歸得到的旱澇程度趨勢序列數(shù)據(jù),計算時間序列的Lyapunov指數(shù)最大值為0.1492、大于0,表明序列具有一定的混沌特性。利用本文提出的信息擴散加權(quán)一階局域法對旱澇趨勢進行預(yù)測分析,結(jié)果如圖4所示。

圖4 旱澇趨勢混沌預(yù)測

以1951—1984年實際趨勢數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)預(yù)測1985年旱澇程度,之后再以1951—1985年實際趨勢數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)預(yù)測1986年旱澇程度,以此遞推。對比1985—2015年實際趨勢數(shù)據(jù)和逐年預(yù)測的情況,可以看到利用信息擴散混沌預(yù)測的結(jié)果與實際的旱澇變化過程吻合較好,預(yù)測曲線與實訓(xùn)曲線比較接近,曲線轉(zhuǎn)折點也較好地吻合,表明利用信息擴散混沌分析方法對旱澇的趨勢預(yù)測可獲得較好效果,在實際防災(zāi)、減災(zāi)中能提供一定的參考。

利用信息擴散一階加權(quán)法預(yù)測平均誤差為0.0863,而傳統(tǒng)線性回歸一階加權(quán)局域法預(yù)測平均誤差為0.1063,改進后的方法預(yù)測的精度更高。

3 結(jié)論

根據(jù)西安市歷年9月份的氣象資料,采用SPEI指數(shù)對旱澇程度進行量化計算。在此基礎(chǔ)上,利用小樣本數(shù)據(jù)分析的信息擴散技術(shù)對旱澇等級的分布頻率進行計算,得出不同旱澇等級對應(yīng)的發(fā)生頻率。利用信息擴散回歸方法對旱澇程度序列進行擬合,得到光滑的趨勢曲線,較清晰地反映出旱澇交替變化規(guī)律及整體變化趨勢。結(jié)合信息擴散和傳統(tǒng)局域混沌時間序列分析方法,建立了信息擴散加權(quán)一階局域法預(yù)測新模型,利用信息擴散近似推理實現(xiàn)相空間里的高維向量擬合,并對旱澇趨勢進行預(yù)測,取得了較好的效果。研究表明,借助SPEI指數(shù)對旱澇量化評估,以及信息擴散技術(shù)和混沌分析技術(shù)能夠較好地實現(xiàn)區(qū)域旱澇演變規(guī)律的分析,為當(dāng)?shù)胤罎晨购堤峁┘夹g(shù)支撐。