唐 果，高永毅，舒 慧，龔 帥

（1.湖南軟件職業(yè)技術(shù)大學 人文素質(zhì)教學部，湖南 湘潭 411201；2.湖南科技大學 物理與電子科學學院，湖南 湘潭 411201；3.中國電信股份有限公司懷化分公司，湖南 懷化 418000；4.岳陽宇翔科技有限公司，湖南 岳陽 414012）

梁的振動問題是學者們廣泛關(guān)注的問題，其線性振動理論，目前已比較成熟[1]。但是，隨著科學技術(shù)的發(fā)展，工程機械系統(tǒng)和精密儀器的精度、復雜程度及防振要求越來越高；同時高強度新型材料不斷使用等原因使得梁的非線性振動問題越來越受到廣大科技工作者的重視。許多學者對梁的非線性振動問題做了大量的研究工作，張登博等[2]對非齊次邊界條件下軸向運動梁的非線性振動問題進行了研究。Evensen[3]對不同邊界條件下簡支梁的幾何非線性振動進行了求解。Chen 等[4]研究了軸向運動黏彈性梁的高維非線性動。Pillai 等[5]利用諧振子假設(shè)得到了時域解、伽遼金解和諧波平衡解。Sahoo 等[6]分析了軸向運動梁的動態(tài)穩(wěn)定性、分叉及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。本文作者等[7-9]對考慮撓度微分方程中高階項所引起的幾何非線性和材料阻尼引起的阻尼非線性的梁進行了分析，并對等截面梁純彎曲振動時產(chǎn)生混沌的參數(shù)條件進行了研究。本文將對等截面梁純彎曲振動時幾何非線性忽略條件進行研究。

1 非線性因素忽略的條件

高永毅等[7]對如圖1 所示的理想彈性體，勻質(zhì)等截面，作用有均布載荷q=q0cosωt，微幅振動的梁，依據(jù)梁撓度y（x，t）用基礎(chǔ)振型函數(shù)φ（x）近似表示，即y（x，t）=φ（x）a（t）的方法和拉格郎日方程得出了非線性運動方程：

圖1 建立的坐標，X 軸沿梁的軸線。其中：“·”表示對時間t 的導數(shù)式中：是梁的單位長度質(zhì)量）（“，”表示對x 的導數(shù)，E 是彈性模量，I 是截面慣量矩）是粘滯阻尼系數(shù)）。

圖1 梁的撓度分析圖

高永毅等[7]和許本文等[10]在式（1）和其穩(wěn)態(tài)近似解a（t）=Bcos（ωt+φ）的基礎(chǔ)上，依據(jù)諧波平衡法導出的頻率響應(yīng)方程為

由（3）式得隱形函數(shù)：

利用隱形函數(shù)（4）式，將B 對ω 求導得：

令式（5）的分子部分為零，則幅值B 對頻率ω 的導數(shù)為零，求出的頻率ω 所對應(yīng)的幅值Bm為極大值，其頻率ω0為等截面梁的固有頻率。因此得：

由上式得：

由式（1）和式（2）可知只有h 或b 十分小的情況下，梁純彎曲振動時非線性因素才能忽略。由此，通過式（7）可得梁純彎曲振動時非線性因素忽略的條件為

將式（2）代入式（8）中得：

當式（9）成立時，h 或b 為小值，此時才能忽略梁純彎曲振動時的非線性因素的影響。所以式（9）是梁純彎曲振動時非線性因素忽略的條件。將式（9）中的不等號用等號代替，得梁純彎曲振動時非線性因素忽略的分界線方程。利用MATLAB 軟件，在以頻率ω 為橫坐標，以幅值B 極大值為縱坐標的坐標平面上，對分界線方程畫曲線，得梁純彎曲振動時非線性因素忽略的參數(shù)分界線。

由于不同類型等截面梁的基礎(chǔ)振型函數(shù)φ（x）不同，由式（9）可知不同類型和不同材料做成的等截面梁純彎曲振動時非線性因素忽略的條件是不同的。下面以簡支和懸臂梁為例，利用式（9）研究不同類型等截面梁純彎曲振動時非線性因素忽略條件。

2 簡支梁純彎曲振動時非線性因素忽略條件

2.1 主振動的非線性因素忽略條件

韓強等[11]給出了各階主振動對應(yīng)的振型函數(shù)φ（x）為

由于是勻質(zhì)等截面梁則ρ、EI 為常數(shù)。將振型函數(shù)φi（x）代入式（9）中得各階主振動非線性因素忽略的條件：

將非線性因素忽略條件（12）式中的不等號用等號代替得非線性因素忽略的分界線方程。

取唐果等[9]中給出的參數(shù)：ρ=15.3×103kg/m，I=0.8 m4，l=100 m，E=2.15×1011N/m2，η=0.02。在以Bm為縱坐標，ω 為橫坐標的坐標平面內(nèi)，利用MATLAB 軟件和式（11）對分界線方程畫曲線，得出勻質(zhì)等截面簡支梁純彎曲振動時，不同階主振動非線性因素忽略的參數(shù)分界線如圖2 所示。

圖2 中的3 條曲線分別是i 取2、8、14 和βi取2×0.01×π，8×0.01×π，14×0.01×π 所對應(yīng)的不同3 階主振動的非線性因素忽略的參數(shù)分界線。每條曲線左邊是非線性因素可以忽略的區(qū)域；右邊是考慮非線性因素的區(qū)域。

圖2 勻質(zhì)等截面簡支梁純彎曲振動時，不同3 階主振動對應(yīng)的非線性因素忽略的參數(shù)分界線

由圖2 知，固有頻率在分界線與橫坐標的交點到坐標原點之間取值的時候不要考慮非線性因素；并且非線性因素忽略的分界線隨主振動的階數(shù)增大向右移動，說明不要考慮非線性因素的區(qū)域增大；等間距的增大主振動的階數(shù)，其區(qū)域的增大是越來越大。

2.2 一般初始條件下的非線性因素忽略條件

因為其自由振動為各階主振動的疊加[10]，所以當振型參數(shù)βi及勻質(zhì)等截面梁參數(shù)ρ、EI、η、l 不滿足式（12）時，所對應(yīng)的主振動都要考慮非線性因素。由于不要考慮非線性因素的區(qū)域隨主振動階數(shù)的增大而增大，因此第1 階主振動不要考慮非線性因素的區(qū)域最小，所以在一般初始條件下勻質(zhì)等截面簡支梁純彎曲振動時，非線性因素忽略的條件是式（12）給出的第1階，即i 取1 和βi取1×0.01×π 對應(yīng)的不等式，即：

將非線性因素忽略條件式（13）中不等號用等號代替得一般初始條件下勻質(zhì)等截面簡支梁純彎曲振動時，非線性因素忽略的分界線方程。

在以Bm為縱坐標，ω 為橫坐標的坐標平面內(nèi)，利用MATLAB 軟件對分界線方程畫曲線，得出一般初始條件下勻質(zhì)等截面簡支梁純彎曲振動時，非線性因素忽略的參數(shù)分界線如圖3 所示。分界線的左邊是非線性因素可以忽略的區(qū)域；右邊是必須考慮非線性因素的區(qū)域。

由圖3 可知，在一般初始條件下，勻質(zhì)等截面簡支梁的固有頻率在分界線與橫坐標的交點到原點之間取值進行純彎曲振動時不要考慮非線性因素；在大于分界線與橫坐標的交點取值進行純彎曲振動時，如果各個參數(shù)滿足式（13）則可以不考慮非線性因素的影響，否則就不能忽略非線性因素。

圖3 一般初始條件下勻質(zhì)等截面簡支梁純彎曲振動時，非線性因素忽略的參數(shù)分界線

3 懸臂梁純彎曲振動時非線性因素忽略條件

3.1 主振動的非線性因素忽略條件

韓強等[11]給出了懸臂梁純彎曲振動時，各階主振動的振型函數(shù)φ（x）為

其中：β1l＝1.875 1，β2l＝4.694 1，β3l＝7.854 8，

將振型函數(shù)φi（x）代入式（9）中得懸臂梁純彎曲振動時各階主振動非線性因素忽略的條件。

取2.1 節(jié)中唐果等[9]所給的參數(shù)，利用MATLAB軟件和式（15）計算第1、9、18 階振型函數(shù)φ（x）對應(yīng)的積分得：

將式（16）和式（17）代入式（9）中得懸臂梁純彎曲振動時第1 階主振動非線性因素忽略的條件：

將第1、9、18 階主振動非線性因素忽略的條件式（18）、式（19）和式（20）中的不等號用等號代替得第1、9、18階主振動非線性因素忽略的分界線方程。在以Bm為縱坐標，ω 為橫坐標的坐標平面內(nèi)，利用MATLAB 軟件對分界線方程畫曲線，得勻質(zhì)等截面懸臂梁純彎曲振動時，第1、9、18 階主振動非線性因素忽略的參數(shù)分界線如圖4 所示。圖4 中的3 條曲線分別是i 取1、9、18 和βi取0.018 751，π×0.01×17/2，π×0.01×35/2 所對應(yīng)的不同3 階主振動非線性因素忽略的參數(shù)分界線。每條曲線左邊是非線性因素可以忽略的區(qū)域；右邊是考慮非線性因素的區(qū)域。由圖4 可知懸臂梁純彎曲振動時，主振動非線性因素忽略的參數(shù)分界線變化規(guī)律和簡支梁相似。

圖4 勻質(zhì)等截面懸臂梁純彎曲振動時，不同3 階主振動對應(yīng)的非線性因素忽略的參數(shù)分界線

3.2 一般初始條件下的非線性因素忽略條件

由于不要考慮非線性因素的區(qū)域隨主振動階數(shù)的增大而增大，因此第1 階主振動不要考慮非線性因素的區(qū)域最小，所以在一般初始條件下勻質(zhì)等截面懸臂梁純彎曲振動時，非線性因素忽略的條件是式（18）。將非線性因素忽略條件式（18）中的不等號用等號代替得一般初始條件下，非線性因素忽略的分界線方程。利用MATLAB 軟件對分界線方程畫曲線，得出一般初始條件下勻質(zhì)等截面懸臂梁純彎曲振動時，非線性因素忽略的參數(shù)分界線如圖5 所示。分界線的左邊是非線性因素可以忽略的區(qū)域；右邊是必須考慮非線性因素的區(qū)域。由圖5 可知一般初始條件下，勻質(zhì)等截面懸臂梁純彎曲振動時，非線性因素忽略的參數(shù)分界線變化規(guī)律和簡支梁的類似。

圖5 一般初始條件下勻質(zhì)等截面懸臂梁純彎曲振動時，非線性因素忽略的參數(shù)分界線

4 結(jié)論

由以上討論可以得出以下幾點結(jié)論。

（1）由于不同材料制造的勻質(zhì)等截面梁的固有頻率是不同的，所以在制造均質(zhì)等截面梁時可以根據(jù)非線性因素忽略條件和工程需要選擇材料。

（2）不同類型和不同材料制造的均質(zhì)等截面梁純彎曲振動時非線性因素忽略的條件是不同的。

（3）不同類型勻質(zhì)等截面梁純彎曲振動時，各階主振動都有一個固有頻率點，各階固有頻率取小于這個點的值時，不要考慮非線性因素；取大于這個點的值時，要根據(jù)式（9）分析是否考慮非線性因素。

（4）同一類型勻質(zhì)等截面梁純彎曲振動時，主振動不考慮非線性因素的區(qū)域隨主振動階數(shù)增大而增大；增大的速度隨主振動階數(shù)增大而增大；說明高階主振動更容易避開非線性因素的影響。

（5）不同類型勻質(zhì)等截面簡支梁，在一般初始條件下純彎曲振動時，非線性因素忽略的條件為第1 階主振動忽略的條件。說明一般初始條件下純彎曲振動比各階主振動更難避開非線性因素的影響。