蘇振宇

（廈門大學(xué) 航空航天學(xué)院，福建 廈門 361000）

0 引言

隨著電子、軍事、宇航、機(jī)電工業(yè)的發(fā)展，人們對(duì)產(chǎn)品、系統(tǒng)和元件的要求越來越高，逐漸提出了產(chǎn)品結(jié)構(gòu)可靠性這一指標(biāo)?？煽啃灾府a(chǎn)品、系統(tǒng)在規(guī)定的條件下，規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，完成規(guī)定功能的能力。在生產(chǎn)實(shí)際中，可靠性作為產(chǎn)品的一個(gè)重要質(zhì)量參數(shù)，綜合反映著產(chǎn)品的性能優(yōu)劣。從上世紀(jì)四十年代開始，科學(xué)家就開始了可靠性的研究。可靠性工程的起源本質(zhì)上是因?yàn)槿藗儗?duì)自然規(guī)律的認(rèn)識(shí)和把握還不夠，對(duì)確定性規(guī)律的未知，促使研究者轉(zhuǎn)而采用隨機(jī)統(tǒng)計(jì)規(guī)律來進(jìn)行認(rèn)識(shí)[1-3]。

可靠性工程綜合性較強(qiáng)，其貫穿于產(chǎn)品的規(guī)劃設(shè)計(jì)、工藝材料、生產(chǎn)制造、使用等各個(gè)環(huán)節(jié)，并在實(shí)際應(yīng)用中改進(jìn)各個(gè)環(huán)節(jié)，把相關(guān)產(chǎn)品的可靠性提高到一個(gè)新的水平[4-5]。在可靠性分析的助力下，工程技術(shù)人員可以及時(shí)或者提前將機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié)，危險(xiǎn)源等排除，優(yōu)化以往的常規(guī)設(shè)計(jì)，將結(jié)構(gòu)的合理性提升到新的高度，這樣能夠使結(jié)構(gòu)更穩(wěn)定，結(jié)構(gòu)日常使用中的損耗大大降低，減小固定投資，工業(yè)生產(chǎn)的效率也能大大提升[6-8]。

可靠度的獲得可以依賴于對(duì)產(chǎn)品的逐個(gè)測(cè)試，通過對(duì)大量單個(gè)產(chǎn)品的測(cè)試，根據(jù)失效個(gè)數(shù)與總的測(cè)試樣本數(shù)的比值獲得。但這只適用于一些簡單的產(chǎn)品以及元器件，當(dāng)面對(duì)大量的實(shí)際工程時(shí)，該方式可用性較小，會(huì)造成大量的浪費(fèi)，因此逐漸發(fā)展出了可靠性的數(shù)值解析法。當(dāng)前可靠性分析已經(jīng)發(fā)展出很多種方法，如劉鵬[11]將拉丁超立方抽樣引入，提出了一種改進(jìn)拉丁超立方重要抽樣方法；周泓等針對(duì)稀有事件提出了基于期望的重要抽樣方法；李金武[9]等人提出了一種基于區(qū)間過程模型的時(shí)變可靠性分析方法；針對(duì)非線性功能函數(shù)和不確定性變量，王林軍[10]等人提出了一種基于改進(jìn)一次二階矩法的混合可靠性分析方法。這些方法雖各有優(yōu)勢(shì)和側(cè)重，但按照原理進(jìn)行分類，則可分為基于矩的解析方法和抽樣方法等。其中，矩方法包括一階可靠度法（FORM）、二階可靠度法（SORM）、改進(jìn)一次二階矩法（AFORM）等，抽樣方法有蒙特卡羅法（MCS）、重要抽樣（IS）等。本研究選取了其中的改進(jìn)一階可靠度法（FORM）、蒙特卡羅法（MCS）、重要抽樣（IS）進(jìn)行比較研究，在對(duì)這三類典型方法進(jìn)行簡要介紹的基礎(chǔ)上結(jié)合實(shí)例，比較了它們計(jì)算精度和效率等方面的優(yōu)缺點(diǎn)，并指出結(jié)構(gòu)可靠性分析的下一步研究方向。

1 概念

1.1 基本變量（basic variables）和響應(yīng)量（response variables）

基本變量x= {x1，x2，…，xn}具有不確定性，決定系統(tǒng)響應(yīng)量值。幾何外形、材料選用，載荷變化等都可以成為基本變量。響應(yīng)量是基本變量的函數(shù)，用來描述系統(tǒng)行為特性，應(yīng)變、振幅等都可被標(biāo)記為響應(yīng)量，記為r= {r1，r2，…，rm}，響應(yīng)量和基本變量之間有其客觀規(guī)律?？煽啃苑治龅谋举|(zhì)就是獲得響應(yīng)量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

1.2 極限狀態(tài)函數(shù)和極限狀態(tài)方程

1.3 失效域F （failure domain）和安全域S（safe domain）

當(dāng)系統(tǒng)失效時(shí)，稱其處于失效域F內(nèi)，反之則處于安全域S內(nèi)。安全域S和失效域F互為補(bǔ)集，當(dāng)F={s|g（x）≤0}為失效域時(shí)，與之對(duì)應(yīng)的S= {x|g（x）＞0}即為系統(tǒng)安全域。

1.4 失 效 概 率（failure probability） 和 可 靠 度（reliability）

系統(tǒng)失效的概率Pf，也即極限狀態(tài)函數(shù)gx≤0的概率，可表達(dá)為：

2 一次二階矩法

可靠性分析本質(zhì)上是通過直接或間接的手段獲得響應(yīng)量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。直接方法就是直接抽樣測(cè)試，比如蒙特卡洛采樣，間接方法以一次二階矩法為例，根據(jù)基本變量和響應(yīng)量之間的函數(shù)傳遞關(guān)系，由基本變量的分布情規(guī)律，得到響應(yīng)量的分布規(guī)律?；靖拍钤砣缦拢?/p>

如果功能函數(shù)為基本變量的簡單線性相加，則對(duì)基本變量的分布規(guī)律進(jìn)行相應(yīng)的線性處理即可得到功能函數(shù)的分布規(guī)律，進(jìn)而得到失效概率。

但是當(dāng)功能函數(shù)為基本變量的非線性函數(shù)時(shí)，功能函數(shù)的分布情況卻不能用基本變量分布規(guī)律的簡單相加而得到。基于這一原理，為了便于求得功能函數(shù)的分布規(guī)律，需要采用在均值點(diǎn)處泰勒級(jí)數(shù)展開的方式將其線性化，通過泰勒變換后得到的線性方程，以及與變量之間的函數(shù)關(guān)系，得到函數(shù)值分布情況，進(jìn)而獲得失效概率。

在某些分布中，均值點(diǎn)和對(duì)結(jié)果影響最大的點(diǎn)不是同一點(diǎn)，也即其精度不夠，研究人員又發(fā)展出了改進(jìn)一次二階矩方法（AFOSM）。改進(jìn)的一次二階矩法按照對(duì)結(jié)果貢獻(xiàn)大小來選取線性化點(diǎn)，在最可能失效點(diǎn)和設(shè)計(jì)點(diǎn)處進(jìn)行線性化過程。

由以上分析可知，改進(jìn)一次二階矩方法（AFOSM）和傳統(tǒng)的均值一次二階矩方法的流程相似，唯一的區(qū)別就在于泰勒展開之前，需要求解出設(shè)計(jì)點(diǎn)，而不是直接使用變量的均值。設(shè)計(jì)點(diǎn)作為對(duì)失效概率貢獻(xiàn)最大的點(diǎn)，目前對(duì)設(shè)計(jì)點(diǎn)的求法主要有迭代和直接尋優(yōu)。

3 蒙特卡洛方法

在多數(shù)情況下，當(dāng)方程求解很難得到精確解析解時(shí)，蒙特卡洛方法是一種很好的解決方法。蒙特卡羅模擬法的實(shí)際做法就是從變量分布中抽取一組隨機(jī)變量，然后求得極限狀態(tài)函數(shù)g（x）的值，如果g（x）＞0，則將結(jié)構(gòu)視為功能正常，安全可靠；如果g（x）≤0，結(jié)構(gòu)失效。每一次模擬就相當(dāng)于一次實(shí)驗(yàn)，通過大量的模擬獲得到量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，就可以得到總的失效概率，根據(jù)大數(shù)定理，模擬實(shí)驗(yàn)的次數(shù)越多，得到的結(jié)果精度越高。其主要步驟是：

（1）已知功能函數(shù)g（x1，x2，…xn）和變量（x1，x2，…xn）分布情況；

（2）根據(jù)變量的分布規(guī)律對(duì)其進(jìn)行N次抽樣，得到N個(gè)樣本點(diǎn)；

（3）由N個(gè)樣本點(diǎn)和已知的功能函數(shù)，得到相應(yīng)的函數(shù)值g1，g2，…gN；

（4）計(jì)算出N個(gè)函數(shù)值中小于等于零的函數(shù)值個(gè)數(shù)為m；

（5）失效概率Pf=m/N。

抽樣次數(shù)N越大，所得失效概率結(jié)果越準(zhǔn)確，通常抽樣次數(shù)取N＞106。但每進(jìn)行一次抽樣，就得對(duì)功能函數(shù)進(jìn)行一次計(jì)算，在一些工程問題上，每次抽樣甚至還需要調(diào)用一些復(fù)雜的專業(yè)軟件?？梢娫诤芏嗲闆r下，蒙特卡洛方法效率較低。如何在精度和效率之間取得平衡，是采用蒙特卡洛法時(shí)需要考慮的問題。

4 重要抽樣法

由上文可知，蒙特卡洛法雖然簡單方便，但是在處理失效概率較小的問題時(shí)，模擬次數(shù)較多，效率低下。分析表明，蒙特卡洛模擬的變異系數(shù)的平方與其模擬次數(shù)成反比，如果想提高精度，就必須大幅度提高模擬次數(shù)。為了在提高精度的同時(shí)提高效率，工程人員通過數(shù)字模擬技術(shù)進(jìn)行升級(jí)改進(jìn)，將方差減小，其中重要抽樣法是最有效減少方差提高精度的方法之一，相比較以往方法該方法抽樣精確，方差小，效率較高。

與蒙特卡洛法直接依據(jù)變量原始分布進(jìn)行簡單抽樣相比，重要抽樣法首先產(chǎn)生了一個(gè)輔助分布，進(jìn)而用該輔助分布進(jìn)行少量的抽樣，而不是用原始分布來生成樣本。

重要抽樣的具體做法是：將抽樣密度函數(shù)fX（x）替換成重要抽樣密度函數(shù)hX（x），提高抽樣效率，加快收斂速度。通常將密度函數(shù)中心變換為設(shè)計(jì)點(diǎn)P，從而使得抽取的樣本點(diǎn)盡可能落在對(duì)失效概率貢獻(xiàn)大的區(qū)域。設(shè)計(jì)點(diǎn)由AFOSM 等方法確定。

獲得重要抽樣密度函數(shù)hX（x）之后，失效概率積分變換過程如下：

圖1 為fX（x）與hX（x）的示意圖。

圖1 fX（x）與hX（x）的示意圖

根據(jù)重要抽樣密度函數(shù)hX（x），在分布區(qū)域內(nèi)隨機(jī)抽取N個(gè)樣本點(diǎn)，記為xi=（1，2，…，n），則可得失效概率的估計(jì)值為：

5 比較研究

為對(duì)所述各方法的精度和效率進(jìn)行比較，將3 種方法應(yīng)用于下列3 個(gè)算例之中，以次模擬的蒙特卡洛法得到的失效概率為基準(zhǔn)。

5.1 算例一

某非線性極限狀態(tài)函數(shù)表達(dá)式為

圖2 重要抽樣流程圖（以抽樣次數(shù)為結(jié)束條件）

其中x1、x2均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，x1～N（10，5），x2～N（9.9，5）用一次二階矩法得到其設(shè)計(jì)點(diǎn)坐標(biāo)為x*=（3.1955，-1.2441）。計(jì)算結(jié)果見表1。

表1 算例一結(jié)果對(duì)比

5.2 算例二

某工程實(shí)際問題，一個(gè)帶有集中力的懸臂梁，設(shè)其彈性模量為，截面慣性矩為，載荷力為，且均服從正態(tài)分布，其中x1～N（2×107，5×106）（kN/m2），x2～N（1 ×10-4，1 × 10-5）（m4），x3～N（8，2.5）（kN）?？紤]該懸臂梁最大變形作為極限狀態(tài)，可建立極限狀態(tài)方程如下：由一次二階矩法得其設(shè)計(jì)點(diǎn)坐標(biāo)為x*=（8.4345 ×106，9.5926 ×10-5，10.356）。計(jì)算結(jié)果見表2。

表2 算例二結(jié)果對(duì)比

由以上分析可以看出，蒙特卡洛模擬法簡單易操作，在功能函數(shù)較為簡單時(shí)，實(shí)用性較強(qiáng)。但是由于蒙特卡洛法抽樣次數(shù)較多，當(dāng)功能函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，會(huì)產(chǎn)生耗時(shí)過長，效率較低的問題。改進(jìn)的一次二階矩法抽樣次數(shù)少，效率高，但是有時(shí)會(huì)產(chǎn)生不準(zhǔn)確，偏離真實(shí)值的情況。重要抽樣效率高且精度較好，但是過于依賴設(shè)計(jì)點(diǎn)的選取。

6 結(jié)語

可靠性理論的產(chǎn)生是由于人們對(duì)于自然規(guī)律認(rèn)識(shí)不夠，轉(zhuǎn)而將研究重點(diǎn)放在數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)上，希望通過數(shù)理統(tǒng)計(jì)的結(jié)果來對(duì)工業(yè)生產(chǎn)的各個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行改進(jìn)優(yōu)化。隨著工業(yè)化逐漸往縱深發(fā)展，工業(yè)系統(tǒng)越來越趨于復(fù)雜化，要想保證產(chǎn)品質(zhì)量良好，同時(shí)也是出于經(jīng)濟(jì)性的要求，就必須將可靠性分析貫穿于生產(chǎn)的各個(gè)環(huán)節(jié)，依托可靠性分析結(jié)果對(duì)工程上各環(huán)節(jié)進(jìn)行把控。

本文總結(jié)了可靠性理論，分析了目前常用的三種可靠性分析的基礎(chǔ)方法，結(jié)合兩個(gè)算例對(duì)三種方法進(jìn)行了對(duì)比，指出了各個(gè)方法的優(yōu)點(diǎn)和不足。可以看到，當(dāng)前可靠性領(lǐng)域的研究重點(diǎn)在于如何在保持高精度的前提下提高效率，尤其是對(duì)于一些復(fù)雜工程問題，這種需求的呼聲更大，應(yīng)成為下一步研究的重點(diǎn)。