劉 陽(yáng)， 劉 穎， 李文漢

(河北地質(zhì)大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 河北 石家莊 050031)

0 引言

隨著經(jīng)濟(jì)全球化，各國(guó)經(jīng)濟(jì)的依賴程度日益緊密.作為國(guó)際貿(mào)易的一個(gè)重要角色，匯率的變化對(duì)本國(guó)經(jīng)濟(jì)與世界經(jīng)濟(jì)都有一定的影響，甚至關(guān)系到一個(gè)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)前途與命運(yùn).由于匯率具有一定的隨機(jī)波動(dòng)性和不穩(wěn)定性，特殊情況下，匯率還會(huì)因?yàn)槭艿街卮笳?、?jīng)濟(jì)或其他事件的影響而發(fā)生短期的劇烈波動(dòng)，匯率風(fēng)險(xiǎn)外溢事件常常發(fā)生.如何避免匯率風(fēng)險(xiǎn)也是許多學(xué)者和業(yè)內(nèi)人士重點(diǎn)關(guān)注的問(wèn)題.與傳統(tǒng)市場(chǎng)中的人民幣掉期交易等相比，作為重要的金融衍生品，基于外匯匯率的期權(quán)常用來(lái)進(jìn)行對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)、套期保值，規(guī)避匯率風(fēng)險(xiǎn).因此如何給出外匯匯率的期權(quán)價(jià)格已經(jīng)成為許多學(xué)者研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一.

在外匯期權(quán)定價(jià)問(wèn)題的研究中，Garman等[1]基于 Black-Scholes 模型，假定外幣的收益率和波動(dòng)率二者是給定的常數(shù)，給出了外匯期權(quán)的G-K模型，并得到了歐式外匯匯率期權(quán)的定價(jià)公式.Niklas等[2]在G-K模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行了推廣，提出了修正方法，研究了外匯期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題.隨后，國(guó)內(nèi)學(xué)者鮑群芳等[3]給出了外匯期權(quán)的本外幣對(duì)稱公式，李文漢等[4]基于跳-擴(kuò)散模型的測(cè)度變換研究了具有跳-擴(kuò)散過(guò)程的外匯期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題.

在匯率的實(shí)證分析方面，羅江[5]采取真實(shí)成交交易1年期限的外匯期權(quán)波動(dòng)率數(shù)據(jù)對(duì)SABR模型進(jìn)行校準(zhǔn)，并通過(guò)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行套利分析.余星等[6]提出交叉匯率期權(quán)套期保值模型，將模型應(yīng)用于人民幣外匯市場(chǎng)交叉匯率套期保值實(shí)證研究，并分析敲定價(jià)格.何桃順等[7]通過(guò)數(shù)值算例說(shuō)明了利用差分方法計(jì)算障礙期權(quán)價(jià)格的有效性.鄭振龍等[8]基于匯率的歷史數(shù)據(jù)，采用全樣本和分區(qū)樣本的實(shí)證分析，研究了有關(guān)外匯期權(quán)的隱含波動(dòng)率報(bào)價(jià)問(wèn)題，并提取了相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)行了跨國(guó)資產(chǎn)配置方面的研究.綜上不難看出，雖然對(duì)外匯期權(quán)的研究已經(jīng)非常成熟了，但是考慮匯率浮動(dòng)范圍的研究還相對(duì)較少.

通過(guò)觀察外匯匯率的實(shí)際數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，外匯匯率往往是在某一個(gè)范圍內(nèi)平穩(wěn)波動(dòng)的.例如，圖1 描述了從 2019 年 1 月到 2021 年9月美元/人民幣的匯率波動(dòng)情況，從圖像可以看出，美元/人民幣的匯率最高沒(méi)有超過(guò)7.2，最低沒(méi)有低于6.2，因此研究有關(guān)外匯匯率期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題時(shí)，把外匯匯率限定在某一個(gè)范圍內(nèi)更加合理.

圖1 美元/人民幣匯率

考慮到匯率的不確定性，選取以一段時(shí)間的平均價(jià)格作為交割價(jià)的亞式期權(quán)，這樣到期日時(shí)價(jià)格就不會(huì)出現(xiàn)巨大落差，亞式期權(quán)又稱為平均期權(quán)[9-10]，相比其他期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)較小，更容易進(jìn)行套期保值.從理論上講，可以分成算術(shù)平均亞式期權(quán)和幾何平均亞式期權(quán).同時(shí)，按照?qǐng)?zhí)行價(jià)格可以分為固定執(zhí)行價(jià)格和浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)格.在此，本文主要討論了按照固定執(zhí)行價(jià)格執(zhí)行的附有外匯匯率示性函數(shù)的幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題.

基于以上事實(shí)，本文構(gòu)造了一種基于有界外匯匯率的幾何亞式期權(quán)，其到期日的收益函數(shù)為:

(K1>0,K3≥K2>0)，

其中，K1是執(zhí)行價(jià)格，T為到期日.觀察這個(gè)收益函數(shù)，在原有亞式期權(quán)[11-12]收益函數(shù)的基礎(chǔ)上增加關(guān)于外匯匯率的示性函數(shù)，限定了外匯匯率的變化范圍.在到期日，外匯匯率限定在了區(qū)間[K2,K3]，這種形式更加符合外匯匯率的實(shí)際變化情況.

在實(shí)證分析中，選取了美元/人民幣真實(shí)的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并且對(duì)比一般亞式期權(quán)價(jià)格以及其他類型期權(quán)，分析該做法的可行性和優(yōu)勢(shì).

1 模型假設(shè)與期權(quán)定價(jià)

1.1 模型假設(shè)

假設(shè)Ft表示t時(shí)刻時(shí)以國(guó)內(nèi)貨幣計(jì)價(jià)的一單位外國(guó)貨幣，即為t時(shí)刻的即期匯率，滿足如下的隨機(jī)微分方程：

(1)

令

且

(2)

(3)

解式 (3) 得

(4)

1.2 基于外匯匯率的幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)

(5)

假定K2,K3是常數(shù)，在期權(quán)的到期日T,假定按照固定執(zhí)行價(jià)格執(zhí)行的外匯匯率的幾何平均亞式期權(quán)的收益函數(shù)為

(6)

其中K1是執(zhí)行價(jià)格，I{.}表示示性函數(shù).下面給出幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)的有關(guān)結(jié)論.

定理如果外匯匯率的微分方程為式(3)，且按照固定執(zhí)行價(jià)格執(zhí)行的外匯匯率的幾何平均亞式期權(quán)在時(shí)刻T收益函數(shù)滿足式(6)，在目前時(shí)刻t,若外匯匯率的期權(quán)價(jià)格表示為C(t,T),則：

(7)

其中

證明在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下，按照鞅定價(jià)理論，在t時(shí)刻，期權(quán)的價(jià)格為

(8)

(9)

由式 (9)，可知A等價(jià)于

B等價(jià)于

在測(cè)度Q下，由于

不妨設(shè)

則Z1,Z2均服從N(0,1)，并且其相關(guān)系數(shù)為

于是

(10)

式中

為隨機(jī)變量Z1,Z2的密度函數(shù).

下面計(jì)算式(8)的前半部分，即計(jì)算

我們引入新的測(cè)度P2,滿足

其中

在測(cè)度P2下，由式(9)，A等價(jià)于

B等價(jià)于

同理可知

(11)

因此，根據(jù)式(10)(11)定理結(jié)論成立.

2 實(shí)證分析

在這一節(jié)中，在假定外匯的波動(dòng)率以及國(guó)內(nèi)和國(guó)外利率均是常數(shù)的背景下， 通過(guò)選取美元/人民幣的真實(shí)數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行計(jì)算和分析上述期權(quán)問(wèn)題，我們收集了從2019年1月4日到2021年10月20日的147個(gè)有關(guān)美元/人民幣匯率(F(t))的歷史數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)來(lái)源為大智慧)，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)分析后，得到美元/人民幣匯率的最大值、最小值和均值分別為 7.1542、6.3674和6.7759, 且σt=σ=0.0558.

根據(jù)2021年2月美國(guó)債券市場(chǎng)的數(shù)據(jù)，1年期國(guó)債收益率為rf(t)=rf=0.0989.國(guó)內(nèi)1年期國(guó)債是記賬式國(guó)債(參考中國(guó)貨幣網(wǎng)http://www.chinamoney.com.cn/chinese/)，2021年2月1日國(guó)內(nèi)1年期國(guó)債的收益率為r(t)=r=0.0274.假定2021年2月1日為初始時(shí)刻，即t=0,則F(0)=6.4664, 到期時(shí)刻T=0.25. 匯率變化范圍K2,K3分別取6和8.

下面開(kāi)始討論定價(jià)問(wèn)題，根據(jù)式(7)得到有界匯率范圍的亞式期權(quán)的價(jià)格(記為AS)，然后根據(jù)詹蕙蓉等[11]給出的一般亞式期權(quán)定價(jià)公式的模型以及α=1時(shí)Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型，其他條件相同的背景下，通過(guò)編寫(xiě)程序進(jìn)行計(jì)算，得到一般亞式期權(quán)的價(jià)格(記為AF)，和相應(yīng)的冪期權(quán)價(jià)格(記為BS)如表1所示.

表1 三種期權(quán)的價(jià)格

由表1不難看出，由于將匯率限制在了一個(gè)區(qū)間內(nèi)，期權(quán)價(jià)格明顯變低，雖然兩類亞式期權(quán)的價(jià)格相比其他類型期權(quán)價(jià)格仍然較低，但構(gòu)造示性函數(shù)之后的亞式期權(quán)價(jià)格的波動(dòng)率明顯變低，也就是金融資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)更平緩，資產(chǎn)收益率的確定性就更強(qiáng).除此之外，當(dāng)期權(quán)的行情走勢(shì)以及波動(dòng)率較低時(shí)，買(mǎi)方購(gòu)買(mǎi)合約的成本更低，而賣方的保證金并不會(huì)減少很多，而且市場(chǎng)處于低位時(shí)，期權(quán)的上漲機(jī)會(huì)和空間也就很大，投資者的獲利機(jī)會(huì)和利潤(rùn)空間也就更大了.

3 結(jié)論

外匯期權(quán)的買(mǎi)賣目前已經(jīng)成為一種熱門(mén)的交易方式，它為外匯保值的方式提供了發(fā)展和補(bǔ)充，既為持有者帶來(lái)外匯保值的方法，又提供了從匯率中獲利的機(jī)會(huì)，具有很大的靈活性，尤其是對(duì)一些進(jìn)出口公司顯得尤為重要.而將匯率限定在某個(gè)范圍內(nèi)能更好地分析期權(quán)所帶來(lái)的收益和價(jià)值，從而做出最優(yōu)的選擇.本文研究了具有外匯匯率范圍示性函數(shù)的幾何亞式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，給出了較為直觀且簡(jiǎn)便的定價(jià)模型，通過(guò)比較分析兩種期權(quán)的價(jià)格得到該做法的優(yōu)勢(shì).在未來(lái)的有關(guān)外匯匯率的期權(quán)定價(jià)研究中，可以結(jié)合更多的期權(quán)類型，討論帶有跳擴(kuò)散過(guò)程的期權(quán)價(jià)格，使得模型更加具有普遍性和實(shí)用性，進(jìn)一步來(lái)研究外匯期權(quán)的價(jià)格公式，并結(jié)合真實(shí)的市場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，更好體現(xiàn)其實(shí)用價(jià)值.