周斯名， 袁 鶴

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 吉林 長春 130000)

0 引言

關(guān)于內(nèi)導(dǎo)子、內(nèi)導(dǎo)性的研究一直深受研究人員的關(guān)注，內(nèi)導(dǎo)子在導(dǎo)子方面的相關(guān)研究起到非常重要的作用,內(nèi)導(dǎo)子滲透在導(dǎo)子研究的諸多方面.文獻(xiàn)[1]討論了素環(huán)理想上內(nèi)導(dǎo)子的交換性質(zhì)；文獻(xiàn)[2]討論了素環(huán)理想上廣義內(nèi)導(dǎo)子的交換性；文獻(xiàn)[3]得出了單位元交換環(huán)上全矩陣代數(shù)上導(dǎo)子為內(nèi)導(dǎo)子的充分條件；文獻(xiàn)[4]證明套代數(shù)上任何一個(gè)導(dǎo)子都是內(nèi)導(dǎo)子；文獻(xiàn)[5]證明三角代數(shù)上的Jordan導(dǎo)子是三角代數(shù)上的內(nèi)導(dǎo)子；文獻(xiàn)[6]證明關(guān)聯(lián)代數(shù)上的傳遞映射是內(nèi)導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)傳遞映射是平凡的；設(shè)F是特征不為2的域，M(n,F)為域上全體n×n階矩陣構(gòu)成的矩陣代數(shù)，α為Fn中非0列向量，令L(α)={A∈M(n,F)Aα=0}.文獻(xiàn)[7]證明了L(α)的所有的Jordan導(dǎo)子都是內(nèi)導(dǎo)子.上述文章均停留在內(nèi)導(dǎo)子與其他映射的聯(lián)系層面或相關(guān)映射的內(nèi)導(dǎo)性問題方面，沒有真正分析內(nèi)導(dǎo)子的具體形式和內(nèi)在性質(zhì).本文利用代數(shù)結(jié)合的方法研究算子理論，并在此基礎(chǔ)上探究了關(guān)聯(lián)代數(shù)上的內(nèi)導(dǎo)子的具體表達(dá)形式，進(jìn)而為其他結(jié)論的研究提供了關(guān)聯(lián)代數(shù)上的內(nèi)導(dǎo)子的具體表達(dá)形式，對于內(nèi)導(dǎo)子的相關(guān)結(jié)論有重要意義.

廣義導(dǎo)子是比導(dǎo)子更廣泛的一類映射，廣義導(dǎo)子相關(guān)結(jié)論的研究也受到許多學(xué)者的關(guān)注,并得到了一系列的結(jié)論，其中廣義Jordan導(dǎo)子的相關(guān)結(jié)論在研究中有著廣泛的應(yīng)用.文獻(xiàn)[8]證明了完全矩陣代數(shù)上的每一個(gè)廣義Jordan導(dǎo)子是導(dǎo)子與廣義內(nèi)導(dǎo)子之和；文獻(xiàn)[9]證明了三角代數(shù)上的每一個(gè)廣義Jordan導(dǎo)子是導(dǎo)子與廣義內(nèi)導(dǎo)子之和；文獻(xiàn)[10]證明了每個(gè)廣義李導(dǎo)子是廣義內(nèi)導(dǎo)子和李導(dǎo)子之和；文獻(xiàn)[11]證明了2-非撓的交換半環(huán)上的全矩陣代數(shù)Mn(R)上的每個(gè)廣義Jordan導(dǎo)子都是廣義內(nèi)導(dǎo)子,進(jìn)而它也是一個(gè)廣義導(dǎo)子.本文受上述結(jié)論啟發(fā)結(jié)合關(guān)聯(lián)代數(shù)，證明了關(guān)聯(lián)代數(shù)上的每一個(gè)廣義Jordan導(dǎo)子都是導(dǎo)子與廣義內(nèi)導(dǎo)子之和.

1 預(yù)備知識

定義1.1設(shè)φ、φ為代數(shù)R上的可加映射,

(1)若對于任意的A,B∈R都有φ(AB)=φ(A)B+Aφ(B),則稱φ為代數(shù)R上的導(dǎo)子.

(2)若對于任意的x∈R,如果存在a∈R, 使得φ(x)=[x,a]=xa-ax成立, 則稱φ為代數(shù)R上的內(nèi)導(dǎo)子.

(3)若對于任意的x∈R,有φ(x2)=φ(x)x+xφ(x),則稱φ為代數(shù)R上的Jordan導(dǎo)子.

(4)若存在導(dǎo)子φ：R→R使得對于任意的A,B∈R,有φ(AB)=φ(A)B+Aφ(B),則稱φ為代數(shù)R上的廣義導(dǎo)子.

(5)若存在T,S∈R使得對于任意的x∈R,有φ(x)=Tx+xS,則稱φ為代數(shù)R上的廣義內(nèi)導(dǎo)子.

(6)若存在Jordan導(dǎo)子φ：R→R使得對于任意的x∈R,有φ(x2)=φ(x)x+xφ(x),則稱φ為代數(shù)R上的廣義Jordan導(dǎo)子

關(guān)聯(lián)代數(shù)的概念最早是Ward[16]引出，之后人們對關(guān)聯(lián)代數(shù)上的映射進(jìn)行了研究(參考文獻(xiàn)[14-27]).

定義1.2若集合X中的二元關(guān)系≤滿足以下兩個(gè)條件：

(1)?x∈X,有x≤x；

(2)?x,y,z∈X,若有x≤y和y≤z,就有x≤z,

則稱X是一個(gè)預(yù)序集，記作(X,≤).

定義1.3對于預(yù)序集X中的任意兩個(gè)元素x、z,區(qū)間[x,z]定義為{y∈X|x≤y≤z}.若預(yù)序集X中的所有區(qū)間都是有限的，則稱X是局部有限預(yù)序集.

定義1.4[13]設(shè)R是含單位元的交換環(huán)，(X,≤)是一個(gè)局部有限預(yù)序集，即≤滿足自反性、傳遞性.對任意的x,y∈X,且x≤y,至多存在有限個(gè)元素z∈X,滿足x≤z≤y,由此可在R上定義關(guān)于X的關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R):={f:X×X→R|f(x,y)=0,若x≤y不成立}.代數(shù)運(yùn)算如下：

(f+g)(x,y)=f(x,y)+g(x,y),

(rf)(x,y)=rf(x,y),

?f,g∈I(X,R)，r∈R，x,y,z∈X.

乘積fg在函數(shù)論中被稱為卷積.

引理1.1[13]δ滿足δ(x,y)=δxy，x≤y，其中δxy∈{0，1}是Kronecker符號，則δ是關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R)中的單位元.

則δ是關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R)上的單位元.

對任意的x,y∈X,滿足x≤y,則可定義關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R)上的基元exy,

對任意eij,ekl∈I(X,R),根據(jù)卷積定義eijekl=δjkeil,可以證明B：={exy|x≤y}構(gòu)成I(X,R)上的一組線性基.

2 主要定理及證明

定理2.1設(shè)φ:I(X,R)→I(X,R)是一個(gè)R-線性算子，則φ是內(nèi)導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)φ滿足形式

(1)對于φ(eii),根據(jù)卷積定義有

應(yīng)在就業(yè)指導(dǎo)、就業(yè)能力提升等方面增加資金投入，加強(qiáng)這方面的軟硬件實(shí)力，以確保大學(xué)生就業(yè)能力的提升。高?？膳c財(cái)政部門加強(qiáng)溝通，爭取財(cái)政部門給予高校更多的資金支持，提高學(xué)校的硬件設(shè)施條件，改善大學(xué)生的學(xué)習(xí)環(huán)境，改善就業(yè)指導(dǎo)方面師資力量不足的情況。同時(shí)，應(yīng)增加教師資源的投入，提高教師的福利待遇，充分調(diào)動(dòng)教師在就業(yè)指導(dǎo)方面的積極性。

則可得φ(eii)是導(dǎo)子.

(2)對于φ(eij),根據(jù)卷積定義有

則φ(eij)是導(dǎo)子.

再證明滿足①的φ為內(nèi)導(dǎo)子，只需證明?x∈I(X,R)存在a∈I(X,R),滿足φ(x)=[x,a]=xa-ax.

代入

φ(eij)=φ(eii)eij+eiiφ(eij)、φ(eij)=φ(eij)ejj+eijφ(ejj)及φ(eij)=φ(eiieijejj)=φ(eii)eij+eiiφ(eij)ejj+eijφ(ejj)

均成立.

引理2.1φ為代數(shù)R上的廣義Jordan導(dǎo)子，對于任意a,b,c∈R,則有：

φ(ab+ba)=φ(a)b+aφ(b)+φ(b)a+bφ(a).

證明由φ：R→R是一個(gè)廣義Jordan導(dǎo)子，則滿足φ(x2)=φ(x)x+xφ(x),將x=a+b代入上式，有

φ((a+b)2)=φ(a+b)(a+b)+(a+b)φ(a+b),因此φ(a2+ab+ba+b2)=φ(a2)+φ(ab)+φ(ba)+φ(b2).比較這兩個(gè)表達(dá)式有φ(ab+ba)=φ(a)b+aφ(b)+φ(b)a+bφ(a).

引理2.2[6]設(shè)D:I(X,R)→I(X,R)是一個(gè)Jordan導(dǎo)子.此時(shí)

對于所有eij∈Β,其中系數(shù)滿足以下關(guān)系

引理2.3[14]設(shè)D:I(X,R)→I(X,R)是一個(gè)R-線性算子，則φ是導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)φ滿足

其中系數(shù)eij∈Β滿足如下關(guān)系式

定理2.2設(shè)(X,≤)是一個(gè)有限預(yù)序集，R是含單位元的交換環(huán).設(shè)I(X,R)是定義在R上關(guān)于X的關(guān)聯(lián)代數(shù)，則I(X,R)上的每個(gè)廣義Jordan導(dǎo)子都是導(dǎo)子與廣義內(nèi)導(dǎo)子之和.

證明分兩種情況進(jìn)行證明.

(1)對于eii∈I(X,R),若φ：I(X,R)→I(X,R)是廣義Jordan導(dǎo)子，則有φ(eii2)=φ(eii)eii+eiiφ(eii),其中φ：I(X,R)→I(X,R)是導(dǎo)子，則由φ(eii)、φ(eii)∈I(X,R),滿足廣義內(nèi)導(dǎo)子φ(eii)=φ(eii)eii+eiiφ(eii),則φ為關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R)上的廣義內(nèi)導(dǎo)子.

3 結(jié)論

本文利用組合與線性代數(shù)的方法研究了關(guān)聯(lián)代數(shù)上的內(nèi)導(dǎo)子的具體表達(dá)形式，進(jìn)而借助已有定理證明了關(guān)聯(lián)代數(shù)上的每一個(gè)廣義Jordan導(dǎo)子都是導(dǎo)子與廣義內(nèi)導(dǎo)子之和.