唐梓涵， 鄧 歡， 孫 怡， 趙世蓮

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院， 四川 南充 637009)

0 引言

混合變分不等式，記作MVI，是尋找一個向量x*∈Rn，滿足

〈T(x*),y-x*〉+h(y)-h(x*)≥0,?y∈Rn，

其中T：Rn→Rn是一個算子，h：Rn→R是一個實值函數(shù)，其解集定義為S且非空.

混合變分不等式有著廣泛的實際應(yīng)用[1-7]，同時，求解混合變分不等式問題的算法也有很多.Shi[8]運(yùn)用輔助原理研究該問題解的存在性.Noor[9]提出使用預(yù)解算子的方法.最近，Malitsky[10]提出了如下臨近點算法：

該算法在映射F單調(diào)且利普希茨連續(xù)、g是適當(dāng)?shù)南掳脒B續(xù)凸函數(shù)時，得到了收斂性.

本文將文獻(xiàn)[10]中混合變分不等式進(jìn)行了推廣，提出了如下的隱混合變分不等式問題,記作IMVI，是尋找一個向量x*∈Rn，滿足

〈T(x*),y-g(x*)〉+h(y)-h(g(x*))≥0,?y∈Rn,

(1)

其中T：Rn→Rn是一個算子，h∶Rn→R是一個實值函數(shù)，g:Rn→Rn是一個向量函數(shù)，且g-1∶Rn→Rn存在，其解集定義為S且非空.特別地，當(dāng)g為恒等映射時，問題(1)IMVI等價于MVI問題.

本文首先給出一些基本概念.第二部分給出求解IMVI問題的具體算法.在第三部分，我們通過一些假設(shè)條件證明黃金比算法的收斂性.

1 基本概念

設(shè)Rn為n維向量空間，〈·,·〉和‖·，·‖分別表示Rn中的內(nèi)積和范數(shù).

定義1函數(shù)h:Rn→R的臨近算子定義為：

定義2對于一個函數(shù)h∶Rn→R,如果?α>0，使得對于每一個z∈Rn，Proxh(z)≠?,有

(2)

稱函數(shù)h為臨近凸函數(shù)(α為臨近凸值).

定義3若T∶Rn→Rn是一個算子，h∶Rn→R是一個實值函數(shù)，g:Rn→Rn是一個向量函數(shù)，對于每一個x,y∈Rn，有〈T(x),g(y)-g(x)〉+h(g(y))-h(g(x))≥0?〈T(y),g(x)-g(y)〉+h(g(x))-h(g(y))≤0，

稱T關(guān)于g和h偽單調(diào).

定義4若D?Rn，如果f:D→Rn利普希茨連續(xù)，則存在利普希茨常數(shù)Lf>0,使得

‖f(x)-f(y)‖≤Lf‖x-y‖，?x,y∈D.

引理1對于?x,y,z∈Rn，有

(3)

證明假設(shè)u和v是{zk}的任意兩個聚點，由

因此，u=v.既然u和v是{zk}的任意兩個聚點，那么{zk}收斂.

2 算法

首先給出關(guān)于隱混合變分不等式的黃金比算法.

算法1

步驟2如果g(xk+1)=g(xk)=g(zk)，算法停止：xk=g-1g(xk)∈S；否則，運(yùn)行步驟3.

步驟3令k=k+1 ,由下兩式計算zk，xk+1：

(4)

(5)

返回步驟2.

3 收斂分析

對于問題(1)，我們需要下列假設(shè)條件：

①T是Rn上的一個利普希茨連續(xù)算子，利普希茨常數(shù)LT>0；

②h是Rn上的一個下半連續(xù)臨近凸函數(shù)且臨近凸值α>0；

③T關(guān)于g和h偽單調(diào)；

④g為滿射且g:Rn→Rn和g-1:Rn→Rn在Rn上均滿足利普希茨連續(xù)；(該條件隱含g為一一映射)

⑤解集S非空.

例1設(shè)x=(x1,x2,… ,xn)T為Rn上的一個任意向量.令g(x)=2x，h(x)=‖x‖2，T(x)=(x1,x2,… ,xn)T.由T，h和g的定義可知，滿足上述假設(shè)條件，且x=(0,0,… ,0)T是隱混合變分不等式問題的解.

定理1如果條件②和④滿足，且g(xk+1)=g(xk)=g(zk)，那么xk是原問題(1)的一個解.

將上式化簡，得〈T(xk),x-g(xk)〉+h(x)-h(g(xk))≥0，?x∈Rn.所以由定義知xk是原問題(1)的一個解.

定理2如果條件①到⑤均滿足，選取任意的x0,x1∈Rn，那么對于每一個x*∈S，任意k∈N，序列 {g(xk)}k和 {g(zk)}k滿足

(6)

證明應(yīng)用(2)式到(5)式中，有

(7)

和

(8)

將g(x)=g(x*)，g(x)=g(xk+1)分別代入(7)和(8)，因為

(9)

和

(10)

把(9)和(10)相加，由

g(x*)-g(xk+1)=g(x*)-g(xk)+g(xk)-g(xk+1)，

且α>0，得

(11)

由(1)知〈T(x*),y-g(x*)〉+h(y)-h(g(x*))≥0，?y∈Rn,從而有

〈T(x*),g(y)-g(x*)〉+h(g(y))-h(g(x*))≥0，?y∈Rn，g(y)∈Rn.

又因為T關(guān)于g和h偽單調(diào)，可得

〈T(y),g(x*)-g(y)〉+h(g(x*))-h(g(y))≤0,?y∈Rn.

(12)

由(12)且α>0知，

(13)

將(13)代入(11)得

(14)

將(14)式用(3)代換，得

‖g(zk)-g(x*)‖2+

(15)

由(4)得g(xk+1)=(1+φ)g(zk+1)-φg(zk)，所以

‖g(xk+1)-g(x*)‖2=‖(1+φ)g(zk+1)-φg(zk)-g(x*)‖2=

(1+φ)‖g(zk+1)-g(x*)‖2-φ‖g(zk)-g(x*)‖2+(φ2+φ)‖g(xk+1)-g(zk)‖2.

(16)

將(16)帶入(15)，因為

所以有

(1+φ)‖g(zk+1)-g(x*)‖2+φ‖g(xk+1)-g(xk)‖2+(φ2+1)‖g(xk+1)-g(zk)‖2≤

(1+φ)‖g(zk)-g(x*)‖2-

T(xk-1),g(xk)-g(xk+1)〉.

則

(1+φ)‖g(zk+1)-g(x*)‖2+φ‖g(xk+1)-g(xk)‖2≤

(17)

因為T是Rn上的一個利普希茨連續(xù)算子，g和g-1均滿足利普希茨連續(xù)，由利普希茨連續(xù)定義可得

(18)

由(17)(18)可知序列 {g(xk)}k和 {g(zk)}k滿足

(19)

證明令?x*∈S,由(19)可知

各項非負(fù)且序列非增，所以序列有界，從而

收斂，并且{‖g(zk)-g(x*)‖}k和{g(zk)}k均有界.由(19)可得

根據(jù)兩邊夾法則，我們有‖g(xk)-g(zk)‖→0(k→+∞).由g-1的利普希茨連續(xù)性及g為一一映射,可知

0≤‖xk-zk‖=‖g-1g(xk)-g-1g(zk)‖≤Lg-1‖g(xk)-g(zk)‖→0(k→+∞).

(20)

因為g(xk)-g(zk-1)=φ[g(xk)-g(zk)]，

得‖g(xk+1)-g(zk)‖→0(k→+∞) ，同理可證

‖xk+1-zk‖→0(k→+∞).

(21)

由(20)和(21)得

0≤‖xk+1-xk‖=‖xk+1-zk+zk-xk‖≤‖xk+1-zk‖+‖zk-xk‖→0(k→+∞).

(22)

因為T是利普希茨連續(xù)算子且h是下半連續(xù)函數(shù)，又因為(21)成立，從而上式取極限有

推論2當(dāng)g:Rn→Rn為恒等映射時，問題(1)等價于MVI問題

〈T(x*),y-x*〉+h(y)-h(x*)≥0,

?y∈Rn.

此時，根據(jù)算法1，求解MVI問題的算法可以表示為：

步驟2如果xk+1=xk=zk，算法停止：xk∈S;否則，運(yùn)行步驟3.

步驟3令k=k+1,由下兩式計算zk，xk+1：

返回步驟2.

參考文獻(xiàn)[11]已給出該算法的詳細(xì)收斂性證明.

4 結(jié)束語

文章研究了求解隱混合變分不等式的黃金比算法,在一定的假設(shè)條件下，證明了算法的收斂性.