李 麗，張耀峰+,于 曉

(1.湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430205；2.湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院 湖北數(shù)據(jù)與分析中心，湖北 武漢 430205 )；3.山東建筑大學(xué) 理學(xué)院，山東 濟(jì)南 250101；

0 引言

從電網(wǎng)和電力系統(tǒng)[1]到機(jī)器人系統(tǒng)[2], 再到化學(xué)過程系統(tǒng)[3]，廣義系統(tǒng)因其良好的實(shí)際系統(tǒng)性能描述能力而被廣泛關(guān)注和應(yīng)用。 控制學(xué)界已對(duì)廣義系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制綜合問題進(jìn)行了持續(xù)、深入的研究，并取得了豐富的研究成果[4-7]。 近年來(lái), 預(yù)見控制作為一種利用目標(biāo)值信號(hào)或干擾的未來(lái)信息來(lái)改善閉環(huán)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的技術(shù)，被引入廣義系統(tǒng)研究中來(lái)[8-9]。

預(yù)見控制理論由Sheridan于1966年首次提出[10]， 并由KATAYAMA等[11-12]、 TOMIZUKA等[13]學(xué)者奠基開創(chuàng)。 此后, 學(xué)者對(duì)預(yù)見控制進(jìn)行了大量研究[14-18]， 但這些研究中多數(shù)將預(yù)見控制器設(shè)計(jì)問題作為優(yōu)化問題, 其求解算法基于最優(yōu)控制理論, 并未考慮未知干擾和模型誤差情況下的魯棒性。 隨后, 預(yù)見控制的研究轉(zhuǎn)向了對(duì)魯棒控制理論如博弈論和魯棒LQ/H∞控制理論等, 并取得了一些研究成果[19-23]。 應(yīng)當(dāng)指出的是, 文獻(xiàn)[8-23]提出的最優(yōu)預(yù)見控制器的存在取決于Riccati方程是否有半正定解。 然而, 基于Riccati方程的方法不適用于參數(shù)不確定系統(tǒng)。 為了克服Riccati方程設(shè)計(jì)方法無(wú)法適用于參數(shù)不確定系統(tǒng)的困難, 文獻(xiàn)[24-27]利用差分方法和線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality, LMI)技術(shù)來(lái)研究不確定系統(tǒng)的魯棒預(yù)見控制問題。

目前, 關(guān)于廣義系統(tǒng)的預(yù)見控制的研究主要集中在線性定常廣義系統(tǒng)。比如,文獻(xiàn)[28-30]研究了線性廣義系統(tǒng)的最優(yōu)預(yù)見控制問題；文獻(xiàn)[31]考慮了線性廣義多智能體系統(tǒng)的協(xié)同最優(yōu)預(yù)見跟蹤問題。需要指出的是,它們都是通過等價(jià)變換將廣義系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)正常系統(tǒng),并試圖基于最優(yōu)調(diào)節(jié)理論找到正定矩陣以滿足Riccati方程,從而給出預(yù)見控制器的增益矩陣。到目前為止,尚無(wú)研究考慮參數(shù)不確定廣義系統(tǒng)的魯棒預(yù)見控制問題。

針對(duì)以上不足, 本文考慮不確定廣義離散時(shí)間系統(tǒng)的輸出反饋預(yù)見控制器設(shè)計(jì)問題。 將經(jīng)典的差分運(yùn)算方法擴(kuò)展到不確定廣義系統(tǒng), 構(gòu)建了包含預(yù)見信息的擴(kuò)大誤差系統(tǒng), 并通過重新改寫輸出方程式、充分利用了可預(yù)見目標(biāo)值信號(hào), 然后基于相關(guān)的引理和LMI技巧，給出魯棒預(yù)見控制器的設(shè)計(jì)方法。本文創(chuàng)新之處有兩點(diǎn)：①與文獻(xiàn)[28-31]相比,考慮了更加一般化的廣義系統(tǒng)模型,且文中提出預(yù)見控制器設(shè)計(jì)方法也適用于文獻(xiàn)[28-31]；②在考慮輸出反饋時(shí),本文對(duì)系統(tǒng)矩陣沒有給出任何的約束條件,允許系統(tǒng)的輸出矩陣帶有不確定性或者非滿秩, 從而得到保守性更低的結(jié)果。通過有預(yù)見控制和無(wú)預(yù)見數(shù)值仿真結(jié)果的對(duì)比,以及不同參數(shù)θ數(shù)值仿真的對(duì)比, 驗(yàn)證了具有預(yù)見作用的魯棒輸出反饋控制律的優(yōu)越性。

本文使用記號(hào)如下:P<0表示P為對(duì)稱負(fù)定矩陣。符號(hào)*表示對(duì)稱位置中的轉(zhuǎn)置元素；rank(A)表示A的秩; det(A)表示A的行列式, degdet(sE-A)表示多項(xiàng)式;det(sE-A)的次數(shù)。 對(duì)于秩為r的M∈Rn×m，M⊥∈R(n-r)×n表示滿足M⊥M=0和M⊥M⊥T>0的矩陣。AT表示A的矩陣轉(zhuǎn)置,sym(A)意為A+AT。I表示適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣。

1 問題表述和基本假設(shè)

考慮如下不確定廣義離散時(shí)間系統(tǒng):

(1)

式中：x(k)∈Rn為狀態(tài)向量；u(k)∈Rm為輸入向量；A(θ)，B(θ)，C(θ)和D(θ)為適當(dāng)維數(shù)的不確定矩陣；E為奇異矩陣且滿足rank(E)

對(duì)式(1)作如下假設(shè):

A1: 假定不確定矩陣的形式為:

(2)

(3)

A2(1)A2是關(guān)于目標(biāo)值信號(hào)可預(yù)見的假設(shè),它是預(yù)見控制理論中常用的假設(shè)。表明有一段時(shí)間的未來(lái)信號(hào)是已知的,且預(yù)見步長(zhǎng)內(nèi)的信息對(duì)改善系統(tǒng)性能作用明顯。: 設(shè)在當(dāng)前時(shí)刻k， 目標(biāo)值信號(hào)r(k)的MR步未來(lái)值r(k+1)，r(k+2)， …,r(k+MR)為已知，MR步之后認(rèn)為它是常數(shù), 即

r(k+j)=r(k+MR),

j=MR+1,MR+2,MR+3,…。

其中MR為預(yù)見步長(zhǎng)。

本文的目的是設(shè)計(jì)一個(gè)預(yù)見控制器，使得:

(1)輸出漸近跟蹤目標(biāo)值信號(hào), 即

(4)

其中e(k)=y(k)-r(k)。

(2)閉環(huán)系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的, 對(duì)所有θ∈Θ。

對(duì)于系統(tǒng)Ex(k+1)=Ax(k)， 給出以下定義。

定義1[32]

(1)若det(zE-A)不全為零, 則(E,A)對(duì)是正則的。

(2)若deg(det(zE-A))=rank(E)， 則(E,A)對(duì)是因果的。

(3)若|λ(E,A)|<1， ?λ(E,A)∈{z|det(zE-A)=0}， 則奇異系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

定義2[32]

(1)若(E,A)對(duì)是正則的、因果的, 則奇異系統(tǒng)是正則的、因果的。

(2)若奇異系統(tǒng)是正則的、因果的和穩(wěn)定的, 則奇異系統(tǒng)是可容許的。

引理1[33]對(duì)于適當(dāng)維數(shù)的矩陣F，R，S和N以及標(biāo)量β， 如果式(5)成立, 則F+STRT+RS<0成立:

(5)

引理2若存在正定矩陣P(θ)，S(θ)T=S(θ)，G(θ)和H(θ)滿足以下LMI:

(6)

則不考慮輸入的式(1)是可容許的。

證明取ε=E，F(xiàn)=G(θ)，G=H(θ)，P=P(θ)， 根據(jù)文獻(xiàn)[32]的定理1, 可知式(6)能保證廣義離散時(shí)間系統(tǒng)(1)是魯棒容許的。

2 擴(kuò)大誤差系統(tǒng)的推導(dǎo)

采用一階前向差分算子為：

Δx(k)=x(k+1)-x(k)。

(7)

由式(1)和式(7)可得出：

(8)

從A1可以看出, 不確定參數(shù)θ與時(shí)間變量無(wú)關(guān)。 因此, 如同文獻(xiàn)[30-31], 差分算子Δ對(duì)于原系統(tǒng)是線性的, 且預(yù)見控制理論中的經(jīng)典構(gòu)造方法可以擴(kuò)展到不確定廣義系統(tǒng)。

通過式(4)、式(7)和式(8)可得：

(9)

(10)

(11)

針對(duì)式(1), 本文采用一階前向差分算子(式(7)), 得到誤差系統(tǒng)式(9)，是預(yù)見控制器設(shè)計(jì)所需要的系統(tǒng)。 根據(jù)式(10)和式(11)可知誤差系統(tǒng)中不確定矩陣依然滿足式A1, 不確定參數(shù)向量依然是s維的。 若采用文獻(xiàn)[34-35]的差分方法, 構(gòu)造出來(lái)的式(9)中的不確定參數(shù)θ為s2維。

令

(12)

根據(jù)A2和式(12), 可得：

xR(k+1)=ARxR(k)。

(13)

其中,

R[(MR+1)q]×[(MR+1)q]。

將式(9)和式(13)結(jié)合可得:

(14)

其中:

為了設(shè)計(jì)靜態(tài)輸出反饋預(yù)見控制器, 將式(14)的輸出方程式改寫為：

(15)

其中

改寫后的輸出方程帶有預(yù)見補(bǔ)償和誤差積分項(xiàng), 可達(dá)到提高系統(tǒng)的跟蹤性能及消除靜態(tài)誤差的目的。

根據(jù)式(10)和式(11)得到：

(16)

(18)

(19)

3 靜態(tài)輸出反饋預(yù)見控制器設(shè)計(jì)

考慮如下形式的輸出反饋

Δu(k)=KZ(k),

(20)

其中K為待定的增益矩陣。

式(19)和式(20)的閉環(huán)系統(tǒng)表示為：

(21)

注意, 根據(jù)引理1和LMI技巧, 定理1給出輸出反饋預(yù)見控制器設(shè)計(jì)的方法。 與文獻(xiàn)[36-37]相比, 本文對(duì)系統(tǒng)的參數(shù)矩陣沒有任何的約束條件, 且允許輸出矩陣帶有不確定性, 降低了結(jié)果的保守性。

定理1給定參數(shù)β， 矩陣W和Q， 如果存在矩陣P(θ)>0，L，G(θ)，H(θ)和S(θ)=S(θ)T，U使得

(22)

其中, Ξ=-βU-βUT， 則式(21)是魯棒可容許的。

證明:重新改寫式(22)如下:

(23)

根據(jù)引理1，可知不等式(23)，可以保證

(24)

令K=LU-1， 式(24)等價(jià)于

上式等價(jià)于

式(22)含有不確定參數(shù)θ， 因此無(wú)法驗(yàn)證。 下面將其轉(zhuǎn)化為不含不確定參數(shù)的LMI。

定理2給定參數(shù)β， 矩陣W和Q， 如果存在矩陣Pj>0，L，Gj，Hj，Sj(j∈{1,2,3,…,s})以及可逆矩陣U使得

Πii<0， (i∈{1,2,3,…,s})，

(25)

Πij+Πji<0， (i

(26)

則式(21)為魯棒可容許的, 增益矩陣為K=LU-1。 控制器為:

Δu(k)=KZ(k)=LU-1Z(k)。

(27)

在式(26)中,

(28)

(29)

若系統(tǒng)參數(shù)為已知, 則可以設(shè)計(jì)如下參數(shù)依賴的靜態(tài)輸出反饋

(30)

使式(19)的閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定, 這里Ki為待定參數(shù)矩陣。

基于式(19)和式(30),有

(31)

推論1給定的參數(shù)β、矩陣W和Q， 如果存在矩陣P(θ)>0，L(θ)，G(θ)，H(θ)，S(θ)=S(θ)T， 可逆矩陣U(θ)和標(biāo)量β， 使得

(32)

其中, Ξ(θ)=-βU(θ)-βU(θ)T， 則式(31)為魯棒可容許的。

證明證明過程與定理1類似, 將定理1中L和U由L(θ)和U(θ)代替,不再贅述。

推論2給定一個(gè)參數(shù)β和矩陣Q，W， 如果存在Pj>0，Uj，Lj，Gj，Hj，Sj(j=1,2,3,…,s)， 使得

(33)

(34)

則式(31)為魯棒漸近穩(wěn)定的, 并且控制器由下式給出：

(35)

在式(34)中

證明推論2的證明與定理2的證明相似, 不再贅述。

將增益矩陣分割為

(36)

按照式(36)中K的劃分得出:

(37)

根據(jù)對(duì)差分算子的定義, 即式(7), 在假設(shè)y(i)=0,u(i)=0,r(i)=0，(i<0)下, 可以得到：

(38)

式中：第1項(xiàng)表示積分作用；第2項(xiàng)表示輸出反饋控制作用；第3項(xiàng)表示基于未來(lái)目標(biāo)值信息的預(yù)見反饋?lái)?xiàng)。

4 數(shù)值仿真

在系統(tǒng)(1)中, 令

A(θ)=

這里s=2，有θ2=1-θ1， 其中θ1∈[0,1]。 因此, 在該示例中, 不確定性可以僅由一個(gè)參數(shù)θ1表示。

(1)不同θ1參數(shù)下, 有、無(wú)預(yù)見控制的對(duì)比

為了考慮當(dāng)前預(yù)見控制器的魯棒性, 對(duì)θ1=0.1， 0.5和0.9進(jìn)行仿真, 并取β=1， 矩陣Q=CZ1和W=CZ2， 預(yù)見步長(zhǎng)MR=5。 根據(jù)定理2,使用MATLAB的LMI工具箱來(lái)確定矩陣變量， 獲得反饋增益矩陣。

0.028 54 -0.002 03 0.001 10 0.000 50],

假設(shè)目標(biāo)值信號(hào)為：

(39)

系統(tǒng)的輸出和目標(biāo)值信號(hào)(39)如圖1所示， 圖2和圖3分別表示跟蹤誤差和控制輸入。 從圖1～圖3可以看出, 不同的θ1參數(shù)下, 在預(yù)見控制作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的輸出都可以準(zhǔn)確地跟蹤目標(biāo)值信號(hào)。

為了將傳統(tǒng)的跟蹤控制與預(yù)見控制進(jìn)行比較, 在預(yù)見步長(zhǎng)為零(即MR=0)的情況下, 完成θ1=0.1， 0.5和0.9的數(shù)值仿真。 通過使用MATLAB的LMI工具箱, 輸出反饋增益矩陣K如下:

圖4給出了沒有預(yù)見作用的閉環(huán)系統(tǒng)的輸出響應(yīng), 圖5和圖6分別表示跟蹤誤差和控制輸入。 從圖1～圖6可以看到, 與沒有預(yù)見的情況相比, 預(yù)見控制器能使得調(diào)整時(shí)間更短, 軌跡跟蹤更快且跟蹤誤差更小。

圖1～圖6給出了不同參數(shù)θ1下, 預(yù)見跟蹤控制與跟蹤控制下的輸出響應(yīng)的對(duì)比?？煽闯? 帶有預(yù)見作用的跟蹤控制明顯能改善閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤性能。

(2)不同預(yù)見步長(zhǎng)下, 預(yù)見控制的對(duì)比

取β=0.8，θ1=1， 矩陣Q=CZ1和W=CZ1。 對(duì)目標(biāo)值信號(hào)預(yù)見步數(shù)分別為MR=5、MR=2進(jìn)行仿真。 根據(jù)定理2, 求解出不等式(25)、(26)中的矩陣變量L和U， 求解的預(yù)見控制增益矩陣如下:

當(dāng)MR=5時(shí), 得到

0.125 77 -0.014 73 -0.010 33 -0.001 71]。

當(dāng)MR=2時(shí), 有

θ1=1時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)如圖7所示, 圖8和圖9分別顯示了跟蹤誤差與控制輸入。 從圖7～圖9可以看出, 增加目標(biāo)值信號(hào)的預(yù)見步長(zhǎng)可使得系統(tǒng)輸出更快地跟蹤目標(biāo)值信號(hào)。

對(duì)θ1=0進(jìn)行模擬。 令β=0.7， 矩陣Q=CZ2和W=CZ2；根據(jù)定理2, 獲得反饋增益矩陣。

當(dāng)MR=5時(shí),有

0.051 92 -0.010 56 -0.008 17 -0.000 66]。

當(dāng)MR=2時(shí), 有

圖10顯示了θ1=0的閉環(huán)系統(tǒng)的輸出響應(yīng), 圖11和圖12繪制了跟蹤誤差和控制輸入。 與沒有預(yù)見的情況相比, 本文提出的預(yù)見控制器使閉環(huán)系統(tǒng)獲得了更快的響應(yīng)速度和更高的跟蹤精度。 模擬結(jié)果證明了目標(biāo)值預(yù)見補(bǔ)償?shù)挠行浴?/p>

5 結(jié)束語(yǔ)

本文將文獻(xiàn)[9, 11]中的差分方法推廣到參數(shù)廣義系統(tǒng)中, 成功地構(gòu)造了擴(kuò)大誤差系統(tǒng)?；谝?和LMI技術(shù), 給出預(yù)見控制器存在的條件及設(shè)計(jì)方法。 利用LMI理論來(lái)研究魯棒預(yù)見控制問題的方法完全可以推廣到其他定常的或時(shí)變的線性系統(tǒng)的預(yù)見控制問題中去。 實(shí)際上,θ是定常的, 即原系統(tǒng)是線性定常廣義系統(tǒng), 本文中結(jié)合擴(kuò)大誤差系統(tǒng)方法及線性矩陣不等式技巧的設(shè)計(jì)方法也適用于文獻(xiàn)[28-31]。 通過比較具有預(yù)見作用和無(wú)預(yù)見的情況下閉環(huán)系統(tǒng)的數(shù)值仿真結(jié)果, 證明了預(yù)見控制理論在利用有限的未來(lái)信息來(lái)改善跟蹤性能方面的優(yōu)勢(shì)。下一步, 將深入研究廣義連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的預(yù)見控制問題。