賁晨陽， 何雪明， 劉振超

(1.江南大學 機械工程學院， 江蘇 無錫 214122；2.江南大學 江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室， 江蘇 無錫 214122)

轉子形狀主要由轉子型線決定，羅茨泵轉子型線的設計，直接關系到羅茨泵性能的高低。

國內外專家學者對羅茨泵轉子型線設計進行了具有價值的分析研究。王建等[1]建立基于流量脈動系數的齒輪泵中齒廓的主動設計的數學模型。鄒旻等[2]分析了2轉子間差動角對雙嚙合弦線轉子泵流量脈動率的影響，提出了一種具有2對轉子的雙嚙合弦線轉子泵。楊舒然[3]基于齒廓嚙合原理,建立了圓弧與其包絡線、偏心漸開線與其包絡線的嚙合模型,提出了3種新型羅茨泵轉子。黃龍龍等[4]對擺線泵進行CFD和FSI仿真，并將仿真結果進行對比。李玉龍等[5-6]基于漸開線齒廓的構造方法,提出了具有漸開線齒廓的轉子型線，并為實現羅茨轉子便捷高效的輪廓構造，提出了一種雙對稱圖解法。Kang等[7]開發(fā)了一種新的轉子型線，該轉子型線由圓弧和擺線組成；通過體積計算和流場分析，分析不同型線對轉子性能的影響。Hsieh等[8]利用共軛齒輪原理對羅茨泵擺線轉子型線進行數學建模。Wu等[9]等建立多級羅茨真空泵IVEC型轉子型線，提出了面積利用率和嚙合間隙面積2個幾何性能指標，用于評估轉子型線的優(yōu)劣。

傳統的轉子型線包括圓弧型、擺線型以及它們之間的發(fā)展和組合線型。然而以容積效率作為性能參數來評判羅茨泵轉子型線的性能，傳統轉子型線性能普遍偏低。故課題組提出了一種橢圓旋輪線型轉子型線，并詳細推導了轉子型線由葉峰曲線到葉谷線的設計算法，并分析了橢圓率對轉子型線的影響。該型線的容積效率明顯高于傳統羅茨泵轉子型線。

1 橢圓旋輪線轉子型線設計

羅茨泵的2個轉子形狀是完全一樣的，轉子每個葉峰和葉谷[10]也是完全一樣，且每個葉上的轉子形狀又是對稱的。所以設計轉子型線時，只需要設計1個葉或者半個葉上的齒廓，進而可以通過旋轉和對稱變換，將轉子型線完整設計出來。

羅茨泵轉子型線的節(jié)圓將單葉上型線分成了2個部分，分別為葉峰曲線和葉谷曲線。葉谷曲線在節(jié)圓內，葉峰曲線在節(jié)圓外。根據羅茨泵轉子的工作原理，羅茨泵的左側轉子的葉峰曲線和右側轉子的葉谷曲線為共軛關系，所以只需設計左側轉子的一條葉峰曲線，通過包絡法求解右側轉子的葉谷曲線，進而通過坐標轉換得到左側轉子的葉谷曲線，完成整個轉子的型線設計。

一條光滑曲線在另一條光滑曲線上做無滑動的滾動運動，光滑曲線上的一點的運動軌跡定義為廣義旋輪線。當光滑曲線為圓時，圓做純滾動形成的軌跡即為旋輪線，又稱擺線[11]。當滾動圓換成滾動橢圓時，滾動橢圓上的一點軌跡也為一種旋輪線，可以將它定義為橢圓旋輪線。

建立羅茨泵轉子坐標系如圖1所示，其中包含了2對坐標系，分別是固結在羅茨泵泵體的左側轉子的靜坐標系O1X1Y1和固結在右側轉子的靜坐標系O2X2Y2；固結在羅茨泵泵體的左側轉子的動坐標系O1x1y1和固結在右側轉子的動坐標系O2x2y2；靜坐標系不隨著轉子的轉動而發(fā)生任何位置變化，動坐標系隨著轉子的轉動發(fā)生相應角度的轉動；R為羅茨泵轉子的節(jié)圓半徑；φ為羅茨泵轉子的轉角；ω為轉子旋轉的角速度。

圖1 羅茨泵轉子坐標關系Figure 1 Rotor coordinate relation of Roots pump

如圖2所示，當滾動橢圓在純滾動運動中圍繞節(jié)圓的圓周逆時針旋轉時，滾動橢圓上的點p的運動軌跡，即為橢圓旋輪線。定義橢圓的參數方程為：

圖2 橢圓旋輪線軌跡Figure 2 Trajectory of elliptical rotary wheel line

(1)

式中:ψ為橢圓參數角，a為橢圓長軸，b為橢圓短軸。

如圖3所示，點A為橢圓開始滾動前圓與橢圓的接觸點;當橢圓滾動一個角度θ時，點B′為橢圓和圓的接觸點，可以看出橢圓上的曲線AB的長度等于橢圓在節(jié)圓上滾動經過的曲線AB′的長度。對橢圓弧長計算需要進行橢圓積分，則2條曲線的長度之間的關系可表示為:

圖3 橢圓旋輪線的幾何關系Figure 3 Geometric relationship of elliptical rotary wheel line

(2)

式中：L為橢圓滾動1周的長度，rp為節(jié)圓的半徑，θ為滾動橢圓在圓上滾動角。

(3)

得到了橢圓旋輪線型轉子型線的葉峰曲線，可求解葉谷曲線：

(4)

則葉谷曲線的表達式為：

(5)

由三角函數中的輔助角公式[12]求解φ與參數θ的關系,需要分別求x1和y1對參數θ的導數。

(6)

其中：

求解出φ與θ的關系后，將φ代入式(5)中右側轉子的葉谷曲線，將葉谷曲線和葉峰曲線進行連接得到了1葉轉子的四分之一型線，如圖4所示。曲線CD為橢圓旋輪線型轉子型線。

圖4 橢圓旋輪線型轉子型線Figure 4 Rotor profile of elliptical rotary wheel line type

2 橢圓率對轉子型線的影響

2.1 橢圓旋輪線型轉子型線根切條件

橢圓旋輪線是由橢圓在節(jié)圓上滾動形成的軌跡，其形狀主要受橢圓短軸和橢圓長軸的比值影響，即橢圓率λ=b/a。不同的橢圓率會形成不同的橢圓旋輪線，當λ=1時，橢圓旋輪線即為擺線，構成的轉子型線為常用的擺線型轉子型線；當λ≠1時，轉子型線為橢圓旋輪線型轉子型線。

橢圓旋輪線型轉子型線會產生如同齒輪設計過程中根切現象。出現根切的轉子會使得轉子的抗彎曲能力下降，重合度減少，影響轉子運轉的平穩(wěn)性。

根據齒輪嚙合原理[13]，得到羅茨泵轉子的嚙合條件：

vr2=vr1+v12=0。

(7)

令：

(8)

則橢圓旋輪線型轉子型線的根切條件為：

(9)

其中：

可將式(9)化簡為：

(10)

2.2 橢圓率對轉子型線的影響

針對不同橢圓率的轉子型線情況， 設定轉子的節(jié)圓半徑rp為60 mm、轉子葉數Z為2。將式(2)代入式(5),計算得到不同橢圓率λ對應的a,b和rp，其參數如表1所示。

表1 不同橢圓率下轉子型線參數

根據以上參數，繪制完整的轉子型線，其中不同橢圓率下轉子型線如圖5所示。從圖中可以看出，橢圓率越小，整個轉子型線的凹凸性越明顯。

圖5 不同橢圓率下的轉子型線Figure 5 Rotor profile under different ellipticity

3 橢圓旋輪線型轉子型線性能分析

轉子在運轉過程中，1個轉子每轉動1/Z周，1個腔室的氣體就從羅茨泵進口輸送到了羅茨泵出口，當轉子旋轉1周時，即完成1個周期的氣體輸送工作。該運轉過程反映了羅茨泵的性能，通常該性能以容積效率[14]來量化。所謂容積效率是指羅茨泵在抽氣過程中所輸送的實際氣體體積除以泵整個腔室的體積。同時因為羅茨泵的整個轉子在軸的方向上形狀完全一致，所以理論上羅茨泵的容積效率只與轉子的端面形狀相關，與其他因素關系不大。為了計算羅茨泵的容積效率更加方便，可以將容積效率的三維問題換算成二維問題。圖6即為1個2葉羅茨泵的腔室橫截面。陰影部分即為轉子的腔室部分，根據圖形可以得到轉子的容積效率公式為：

圖6 2葉轉子的腔室橫截面Figure 6 Cross section of chamber of 2-blade rotor

(11)

式中S為單個轉子的面積。

根據轉子型線的方程，可以得到轉子型線的所有直角坐標，并將直角坐標換算成極坐標，對應函數為ρ=g(β)，ρ為極徑，β為極徑對應的角度，所以轉子的面積公式為:

(12)

容積效率作為羅茨泵性能的重要參考之一，因此，為了驗證新型轉子型線的性能優(yōu)劣，就橢圓旋輪線轉子型線的不同參數對容積效率的影響進行了分析。根據橢圓旋輪線型轉子型線的數學模型，轉子型線的形狀主要受橢圓率λ和轉子葉數Z這2個參數的影響。為了準確地分析不同參數對轉子型線容積效率的影響規(guī)律，采用唯一變量原則，即控制唯一變量而排除其他因素的干擾從而驗證唯一變量的作用。

為了分析不同橢圓率對容積效率的影響規(guī)律，需限定轉子型線的齒頂圓半徑一定，即保證各個轉子的大小一樣；同時保證轉子葉數相同，即保證各個轉子形狀一樣。取齒頂圓半徑為60 mm，轉子葉數為2葉，不同橢圓率下橢圓旋輪線型線容積效率如表2所示。

根據表2所示數據，當橢圓率不斷變小，轉子的面積也越來越小，轉子的容積效率越來越大。當橢圓率為0.4時，轉子的容積效率最大，為0.665 6。

表2 不同橢圓率下羅茨泵的容積效率

傳統擺線轉子受擺線形成原理的限制，節(jié)圓半徑和齒頂圓半徑比值固定，轉子齒頂圓半徑和節(jié)圓半徑的比值即徑距比固定，2葉擺線轉子型線徑距比固定為1.5，取齒頂圓半徑為60 mm，計算得到2葉擺線型轉子的容積效率如表3所示?？芍獢[線型轉子型線的容積效率小于橢圓旋輪線型轉子型線。

表3 擺線型轉子參數

根據表2和表3所示數據分析，橢圓旋輪線型轉子容積效率均大于擺線型轉子，當橢圓率為0.4時其容積效率相比擺線轉子最大容積效率0.540 9提高了約23.09%。

對圓弧型轉子設計時，圓弧型轉子型線徑距比不固定，2葉圓弧型轉子型線徑距比的取值范圍為1.236 8～1.669 8。同樣對圓弧型轉子容積效率分析時，參照唯一變量原則，取齒頂圓半徑為60 mm，取不同徑距比分別為1.300 0，1.400 0，1.500 0和1.600 0，圓弧型轉子相對應參數如表4所示。

表4 圓弧型轉子參數

根據表2、表3和表4所示的數據分析，當圓弧型轉子的徑距比變大到1.5時，圓弧型轉子容積效率與擺線型轉子容積效率基本一樣，當徑距比繼續(xù)變大時，圓弧型轉子容積效率超過擺線型轉子。橢圓旋輪線型轉子的橢圓率在0.6以下時，橢圓旋輪線型轉子的容積效率比圓弧型轉子大，當橢圓率為0.4時，其容積效率相比圓弧轉子最大容積效率61.59%，提高了約8.07%。當橢圓旋輪線型轉子型線橢圓率在0.6以下時，轉子的容積效率最高，比傳統羅茨泵轉子型線更有優(yōu)勢。

4 結論

課題組提出了一種新型的橢圓旋輪線轉子型線，推導其數學模型。對于齒頂圓半徑為60 mm，轉子葉數為2葉的羅茨泵轉子，在不發(fā)生根切的情況下，橢圓率與轉子的容積利用率大小成反比。當橢圓率為0.4時，橢圓旋輪線型線容積效率最大，達到66.56%，相比于傳統擺線型和圓弧型轉子，容積效率分別提高了23.09%和8.07%，說明橢圓旋輪線型線在性能方面比傳統擺線型與圓弧形轉子型線更有優(yōu)勢?，F有的改善是直接對轉子型線的改善，后續(xù)可以運用NURBS曲線直接表達旋轉的橢圓，通過曲線局部可調性進一步優(yōu)化轉子型線。