雷可君，李明皓，汪旭明，陳乾明，張志威，楊 喜

(吉首大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 吉首 416000)

電力諧波的高精度檢測(cè)是治理諧波問(wèn)題的重要環(huán)節(jié)，其對(duì)維護(hù)電力系統(tǒng)安全運(yùn)行具有重要價(jià)值[1-4].快速傅里葉變換(fast fourier transform,FFT)因其原理簡(jiǎn)單且便于嵌入式系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)而被廣泛地應(yīng)用于諧波分析[5-7].但電網(wǎng)中的信號(hào)多為動(dòng)態(tài)信號(hào)，很難對(duì)其進(jìn)行整周期截?cái)嗉巴讲蓸?，若直接利用FFT進(jìn)行諧波檢測(cè)將會(huì)產(chǎn)生頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)，進(jìn)而無(wú)法精確地計(jì)算出諧波參量[8].故在信號(hào)處理過(guò)程中，通常給原始信號(hào)進(jìn)行加窗處理以抑制頻譜泄漏，同時(shí)利用譜線插值的方法克服柵欄效應(yīng)的影響[9].在前期的加窗過(guò)程中，常用的窗函數(shù)有Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗、Nuttall窗等；后期的譜線插值過(guò)程中，常用的方法有單譜線插值、雙譜線插值[10-12]、三譜線插值[13]及四譜線插值[14].這些利用經(jīng)典窗函數(shù)與譜線插值相結(jié)合的方法在一定程度上降低了頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)帶來(lái)的影響，提升了檢測(cè)精度，但由于經(jīng)典窗函數(shù)的旁瓣性能有限，頻譜泄漏沒(méi)有得到很好的抑制，檢測(cè)精度還有待提高.為此，文獻(xiàn)[15-17]提出了三角窗自卷積窗和Hanning自卷積窗，文獻(xiàn)[18]提出了Hanning自乘積窗(RVSM)，文獻(xiàn)[19]提出了Blackman-Harris自乘積窗，這些窗函數(shù)的旁瓣性能都有一定的提升，進(jìn)一步改善了檢測(cè)精度.但是，這些窗函數(shù)隨著卷積階數(shù)和乘積階數(shù)的提高，算法的計(jì)算復(fù)雜度也隨之提高.與此同時(shí)，由于所選的基礎(chǔ)窗函數(shù)旁瓣性能一般，限制了檢測(cè)精度的進(jìn)一步提高.

因此，文中利用具有良好旁瓣衰減特性的5項(xiàng)Rife-Vincent(Ⅰ)窗(簡(jiǎn)稱(chēng)RV-Ⅰ窗)提出了一種新的Rife-Vincent自乘-卷積窗(簡(jiǎn)稱(chēng)RVSMC窗).在此基礎(chǔ)上，基于三譜線插值和最小二乘擬合方法，給出諧波參數(shù)(幅度、頻率、相位)的解析計(jì)算表達(dá)式.最后，通過(guò)對(duì)含弱幅值的復(fù)雜諧波、間諧波及基波頻率變動(dòng)等典型應(yīng)用場(chǎng)景進(jìn)行仿真分析.

1 RVSMC窗函數(shù)及其頻域特性

1.1 RVSMC窗的構(gòu)造

非整周期截?cái)嗉胺峭讲蓸釉斐傻念l譜泄漏會(huì)降低電力諧波檢測(cè)的精度，而通過(guò)對(duì)信號(hào)在時(shí)域進(jìn)行加窗處理可以有效地抑制頻譜泄漏帶來(lái)的影響.一個(gè)合適的窗函數(shù)通常要求其旁瓣峰值盡可能低且衰減速度快，同時(shí)其主瓣寬度盡可能窄.RV-Ⅰ窗是一種組合余弦窗，其旁瓣峰值為-74.5 dB，旁瓣衰減速度為30 dB·oct-1，具有優(yōu)良的頻譜衰減特性[20].其表達(dá)式為

(1)

式中：m=0，1，…，M-1，M為窗函數(shù)的長(zhǎng)度；al為窗函數(shù)系數(shù)，其具體值為a0=1，a1=1.6，a2=0.8，a3=0.228 57，a4=0.028 57.

為進(jìn)一步降低旁瓣峰值，提高檢測(cè)精度，文中提出一種基于RV-Ⅰ窗的自乘-卷積窗，其表達(dá)形式為

wRVSMC(n)=wRVSM(m)×wRVSM(m)，

(2)

式中：n=0，1，…，N-1，N為RVSMC窗的長(zhǎng)度；wRVSM(m)表示1次RV-Ⅰ自乘積窗，其定義為

wRVSM(m)=wRV-Ι(m)×wRV-Ι(m)，

(3)

式中：wRV-Ι(m)由式(1)決定，將其代入式(3)不難得到：

(4)

式中：b0=2.6265302449，b1=4.6693862449，b2=3.268568，b3=1.782852，b4=0.742852，b5=0.228568，b6=0.04897812245，b7=0.0065302449，b8=0.00040812245.

需要指出的是，文中所提出的基于RV-Ⅰ窗的自乘-卷積窗只是利用了1次乘法和1次卷積運(yùn)算，其目的在于兼顧算法復(fù)雜度和檢測(cè)精度要求.實(shí)際上，所提方法可進(jìn)一步推廣到任意次數(shù)的乘法和卷積運(yùn)算，從而構(gòu)造出更為復(fù)雜的RVSMC窗，以得到更高的檢測(cè)精度，但其實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度也隨之上升.另外，在實(shí)際處理過(guò)程中，RVSMC窗函數(shù)序列的長(zhǎng)度N=2M，其可由式(2)得到的序列在其末尾補(bǔ)一個(gè)0得到.

1.2 RVSMC窗的頻域特性

利用離散傅里葉變換的性質(zhì)，由式(4)可得到wRVSM(m)對(duì)應(yīng)的窗譜為

(5)

式中：ω為角頻率；WR(ω)為矩形窗的頻譜函數(shù)，即

(6)

根據(jù)離散時(shí)間序列的時(shí)域卷積定理，由式(2)可以得到RVSMC窗的譜函數(shù)為

(7)

令ω=2πk/N，可以得到離散化的窗譜函數(shù)為

(8)

將式(6)代入式(8)，經(jīng)過(guò)計(jì)算可以得到RVSMC窗的精確譜函數(shù)為

(9)

(10)

這里，i=0，1，…，8；d，d′為任意整數(shù).在式(10)中令d=1，不難求得RVSMC窗譜函數(shù)右側(cè)首個(gè)零點(diǎn)值為36π/N，故RVSMC窗的主瓣寬度為72π/N.

圖1給出了當(dāng)M=64時(shí)RV-Ⅰ窗，RVSM窗及RVSMC窗3種窗函數(shù)的幅頻特性圖.

圖1 RV-Ⅰ、RVSM和RVSMC窗幅頻特性圖

由圖1可看出，在3種窗函數(shù)中，所設(shè)計(jì)的RVSMC窗具有最佳的旁瓣性能，其旁瓣峰值約為-250 dB，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于RV-Ⅰ窗和RVSM窗的-74.5和-126.8 dB，且其具有更快的旁瓣衰減速度.因此，RVSMC窗能更加有效地抑制頻譜泄漏的影響.

2 基于RVSMC窗的三譜線插值諧波參數(shù)估計(jì)

為分析方便，假設(shè)待檢測(cè)的信號(hào)為

x(t)=A0sin(2πf0t+φ0)，

(11)

式中：A0、f0、φ0分別為信號(hào)的幅值、頻率和相位.對(duì)x(t)進(jìn)行離散化可得

(12)

式中：fs為采樣頻率，n=0，1，…，N-1，N為采樣點(diǎn)數(shù).對(duì)x(n)加RVSMC窗并進(jìn)行離散時(shí)間傅里葉變換后可得

e-jφ0WRVSMC(ω+ω0)]，

(13)

式中：ω0=2πf0/fs；WRVSMC(ω-ω0)可由式(7)得到.由于負(fù)頻率部分對(duì)譜序列分析的影響很小，故在實(shí)際處理過(guò)程中通常只利用其正頻率部分[21]，相應(yīng)地有

(14)

令ω=2πk/N，ω0=2πk0/N，將X(ω)離散化可得

(15)

由于非同步采樣使得真實(shí)頻率通常偏離峰值頻點(diǎn)，為此提出一種基于三譜線插值的方法來(lái)獲得真實(shí)譜線的位置k0.設(shè)kmax表示信號(hào)峰值譜線位置，k1和k2分別表示峰值譜線左右兩邊相鄰的2根譜線.以上3根譜線對(duì)應(yīng)的幅值分別為y1=|X(k1)|、y2=|X(kmax)|和y3=|X(k2)|.

(16)

注意到x很小時(shí),有sinx≈x，同時(shí)注意到N=2M，式(16)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

(17)

令kh為一整數(shù)，引入?yún)?shù)ε=k0-kh，ε∈[-0.5,0.5].當(dāng)kh=kmax時(shí)有kmax-k0=-ε，則由式(15)可知：

(18)

由(17)可得

(19)

當(dāng)kh=k1時(shí),有k1-k0=-ε-1，相應(yīng)地可得

(20)

當(dāng)kh=k2時(shí)，有k2-k0=-ε+1，相應(yīng)地可得

(21)

(22)

式(22)為ε的函數(shù)，為分析方便將其標(biāo)記為γ=

ε=4.507340610433650γ-

0.298287182918183γ3+

0.039511226381877γ5-

0.006511111851637γ7,

(23)

則待估計(jì)的諧波信號(hào)頻率的計(jì)算公式為

f0=k0Δf=(kmax+ε)fs/N.

(24)

結(jié)合式(15)和(17)可得相位的計(jì)算公式為

(25)

在三譜線插值過(guò)程中同時(shí)利用了y1、y2和y3進(jìn)行參數(shù)的估計(jì)，同時(shí)注意到y(tǒng)2對(duì)應(yīng)于幅值最大的譜線，其對(duì)參數(shù)估計(jì)精度的影響最大，故在實(shí)際處理過(guò)程中，對(duì)其賦予更大的權(quán)值2，而y1、y3對(duì)應(yīng)的權(quán)值均設(shè)置為1，以進(jìn)一步提高檢測(cè)精度.由式(15)可得

(26)

由此可以得到諧波幅度A0的估計(jì)表達(dá)式：

(27)

考慮到式(27)中分母為ε的復(fù)雜函數(shù)，不利于實(shí)時(shí)計(jì)算，故仍采用最小二乘法對(duì)其進(jìn)行擬合以得到簡(jiǎn)化的多項(xiàng)式表達(dá).

為此引入如下函數(shù)：

(28)

利用類(lèi)似于求解式(23)的方法可以得到h(ε)的多項(xiàng)式擬合表達(dá)式為

h(ε)=0.298 430 792 125 637+

0.016 561 717 105 620ε2+

0.000 468 018 884 915ε4+

0.000 009 046 732 952ε6，

(29)

相應(yīng)地，幅值修正公式為

A0=N-2(y1+2y2+y3)h(ε).

(30)

為了分析方便，上面只是以單次諧波為例給出了參數(shù)估計(jì)的方法.當(dāng)存在多次諧波時(shí)，只需依次搜索諧波信號(hào)譜序列中最大的譜線，然后利用上述方法即可依次計(jì)算得到各次諧波的參數(shù).

3 算法仿真

3.1 含弱幅值的復(fù)雜諧波信號(hào)的仿真分析

為驗(yàn)證所提算法的有效性，對(duì)含有21次諧波成分的復(fù)雜信號(hào)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，設(shè)該信號(hào)表達(dá)式為

(31)

式中：基頻f0=50.1 Hz；采樣頻率fs=2500 Hz；采樣長(zhǎng)度N=2048；h為諧波次數(shù)；Ah為諧波的幅值；φh為諧波的相位，相關(guān)參數(shù)設(shè)置見(jiàn)表1.對(duì)信號(hào)加文中提出的RVSMC窗、4項(xiàng)3階Nuttall窗、Hanning自乘積窗、Hanning自卷積窗并基于三譜線插值方法進(jìn)行諧波參數(shù)估計(jì)，仿真結(jié)果如圖2所示.圖中Nuttall表示4項(xiàng)3階Nuttall窗，HSM-4表示4階Hanning自乘積窗，HSC-4表示4階Hanning自卷積窗.

表1 諧波信號(hào)參數(shù)設(shè)置

圖2 復(fù)雜諧波幅值、頻率和相位估計(jì)相對(duì)誤差

由圖2可知，在同等條件下RVSMC窗對(duì)各次諧波幅值和頻率的檢測(cè)相對(duì)誤差絕對(duì)值的范圍分別為10-10～10-13和10-14～10-16，而對(duì)相位的檢測(cè)相對(duì)誤差絕對(duì)值范圍通常為10-10～10-14.總的來(lái)說(shuō)，幅值檢測(cè)精度相對(duì)于HSM-4提高了2～3個(gè)數(shù)量級(jí)，相對(duì)于HSC-4提高了1～2個(gè)數(shù)量級(jí)，相對(duì)于Nuttall窗則提高了2～4個(gè)數(shù)量級(jí)；頻率檢測(cè)精度相對(duì)于HSM-4提高了1～4個(gè)數(shù)量級(jí)，相對(duì)于HSC-4提高了1～3個(gè)數(shù)量級(jí)，相對(duì)于Nuttall窗提高了3～5個(gè)數(shù)量級(jí)；相位檢測(cè)精度相對(duì)于HSM-4提高了1～5個(gè)數(shù)量級(jí)，相對(duì)于HSC-4提高了1～4個(gè)數(shù)量級(jí)，相對(duì)于Nuttall窗提高了2～6個(gè)數(shù)量級(jí).說(shuō)明所提新方法降低了幅值、頻率及相位參數(shù)估計(jì)的相對(duì)誤差，有效地提高了檢測(cè)精度.其中頻率相對(duì)誤差圖中未顯示的點(diǎn)代表其誤差為0，分別為3、5、12及17次諧波.另外，本算法對(duì)弱幅值諧波參數(shù)的檢測(cè)精度也較高.以20次諧波為例，新方法對(duì)幅值、頻率、相位檢測(cè)的相對(duì)誤差分別為-8.14×10-11、2.27×10-16、3.26×10-11.

3.2 間諧波試驗(yàn)

電網(wǎng)在實(shí)際運(yùn)行中不只會(huì)產(chǎn)生整次諧波，也會(huì)產(chǎn)生間諧波.間諧波的頻率為基波頻率的非整數(shù)倍，它是使電壓發(fā)生閃變的主要原因，因此對(duì)間諧波的高精度檢測(cè)也很重要.為驗(yàn)證本算法對(duì)間諧波參數(shù)檢測(cè)的有效性，利用RVSMC與其他幾類(lèi)窗函數(shù)進(jìn)行試驗(yàn)對(duì)比，仿真采用一個(gè)由基波和5種間諧波組成的復(fù)合信號(hào)，信號(hào)模型為

(32)

式中：i為諧波次數(shù)；Ai為諧波的幅值；φi為諧波的相位.間諧波的幅值、頻率和相位設(shè)置見(jiàn)表2，仿真結(jié)果如表3-5所示.由表3-5可知，RVSMC能夠準(zhǔn)確檢測(cè)出間諧波的幅值、頻率及相位參數(shù).相對(duì)于Nuttall、HSM-4和HSC-4窗，幅值的相對(duì)誤差數(shù)量級(jí)降低至10-11～10-12，頻率的相對(duì)誤差通常降低至10-15～10-16，相位的相對(duì)誤差降低至10-12～10-14.相較于其他幾類(lèi)窗函數(shù)，新方法有效地提高了間諧波的參數(shù)檢測(cè)精度.

表2 諧波信號(hào)參數(shù)設(shè)置

表3 間諧波幅值相對(duì)誤差

表4 間諧波頻率相對(duì)誤差

表5 間諧波相位相對(duì)誤差

3.3 基頻變動(dòng)試驗(yàn)

基頻的變化會(huì)導(dǎo)致諧波頻率的不確定性，從而降低諧波參數(shù)檢測(cè)的精度.為此本試驗(yàn)考察新方法在基頻變動(dòng)情況下的檢測(cè)性能.GB/T 15945—2009規(guī)定電力系統(tǒng)基波頻率偏差最大范圍為±0.5 Hz，故仿真中設(shè)基波頻率波動(dòng)的范圍為49.5～50.5 Hz，變化步長(zhǎng)為0.1 Hz，這里仍采用式(31)的21次諧波復(fù)雜信號(hào)進(jìn)行試驗(yàn)分析.各次諧波的參數(shù)估計(jì)誤差如圖3所示.

圖3 基頻變動(dòng)時(shí)幅值、頻率和相位估計(jì)相對(duì)誤差

由圖3可知，新方法對(duì)幅值檢測(cè)的相對(duì)誤差絕對(duì)值不超過(guò)5×10-11，頻率相對(duì)誤差不超過(guò)9×10-14，相位相對(duì)誤差絕對(duì)值不超過(guò)6×10-10，諧波參數(shù)分析精度均滿(mǎn)足要求.

4 結(jié) 論

設(shè)計(jì)了一種Rife-Vincent自乘-卷積窗函數(shù)，相比于經(jīng)典窗，該窗具有很低的旁瓣峰值和更快的旁瓣衰減速度.在此基礎(chǔ)上，結(jié)合最小二乘和三譜線插值方法，給出了基于Rife-Vincent自乘-卷積窗三譜線插值諧波參數(shù)估計(jì)算法.仿真試驗(yàn)結(jié)果表明：與基于經(jīng)典N(xiāo)uttall窗、Hanning自乘積窗和Hanning自卷積窗的算法相比，在復(fù)雜信號(hào)諧波與間諧波的幅值、頻率和相位的檢測(cè)方面，基于Rife-Vincent自乘-卷積窗三譜線插值諧波分析算法的檢測(cè)精度有了明顯提高，而且該算法能夠克服基波頻率波動(dòng)帶來(lái)的影響，在分析動(dòng)態(tài)信號(hào)時(shí)仍具有較高的檢測(cè)精度.