李永甫，吳 斌，包 宇，楊浩文

（1.武漢理工大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，湖北武漢 430070；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150090）

引 言

在建筑中，人體完成步行、跳躍、奔跑、屈伸、上下樓梯等動(dòng)作時(shí)，施加于結(jié)構(gòu)上的動(dòng)力作用可引起工程結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，嚴(yán)重時(shí)會(huì)影響結(jié)構(gòu)的正常使用［1?3］。例如英國(guó)倫敦千禧橋，由于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)未重視人致荷載對(duì)結(jié)構(gòu)的影響［4］，低估了人與結(jié)構(gòu)間的相互作用［5］，在開放3 天后橋梁就因?yàn)閲?yán)重的人致振動(dòng)問題而不得不關(guān)停。

以往對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)分析時(shí)，一般將人體看作外部動(dòng)荷載或附加質(zhì)量［1］。但大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，即便是靜止人體，對(duì)結(jié)構(gòu)的作用也不能單純等效為靜荷載。土木工程結(jié)構(gòu)中人不僅作為外部荷載激勵(lì)結(jié)構(gòu)，同時(shí)能夠改變所在結(jié)構(gòu)的頻譜特性［6］。Nimmen 等［7］發(fā)現(xiàn)人體對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響與姿態(tài)有關(guān)；劉澤龍等［8］采用IDA 方法對(duì)教學(xué)樓進(jìn)行地震動(dòng)響應(yīng)分析，指出相較于空載和靜止人群工況，結(jié)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)人群工況下動(dòng)力響應(yīng)最大。在設(shè)計(jì)人群密集的建筑結(jié)構(gòu)時(shí)，需要對(duì)人與結(jié)構(gòu)相互作用進(jìn)行充分考慮，確定一個(gè)合理的人體動(dòng)力模型愈發(fā)重要。

基于人體行走時(shí)的物理特性所建立的運(yùn)動(dòng)模型能反映人與結(jié)構(gòu)間的相互作用。學(xué)者們對(duì)單質(zhì)點(diǎn)、倒立擺、多剛體等模型進(jìn)行過(guò)研究。Bocian等［9］使用倒立擺模型進(jìn)行人行橋系統(tǒng)動(dòng)力計(jì)算，與測(cè)力跑步機(jī)上實(shí)測(cè)足底力結(jié)果吻合較好；Qin 等［10］為支撐桿件添加時(shí)變剛度阻尼，得到可用于結(jié)構(gòu)分析的倒立擺模型。前述模型通過(guò)直接定義人體動(dòng)力屬性代替行走過(guò)程中各體段姿態(tài)改變對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響，進(jìn)而固定了模型的運(yùn)動(dòng)形式。其中經(jīng)典的倒立擺模型，剛性桿件無(wú)法產(chǎn)生變形，使得質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡與實(shí)際值相差較大，進(jìn)而造成了受力性能存在較大差異。

人體正常運(yùn)動(dòng)時(shí)，骨骼以及附屬肌肉顫動(dòng)對(duì)運(yùn)動(dòng)影響有限。將人體骨骼及外部組織視為剛體，人體可劃分為多個(gè)剛體組成的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)。多剛體模型可以很好地再現(xiàn)人體運(yùn)動(dòng)軌跡。張夢(mèng)詩(shī)等［11］通過(guò)實(shí)測(cè)步行軌跡，利用十五剛體模型對(duì)人步行進(jìn)行軌跡重構(gòu)并對(duì)比實(shí)測(cè)步行荷載，驗(yàn)證了多剛體模型模擬步行荷載的可行性；Mazzoleni 等［12］使用此類模型完成人體跳躍荷載的重構(gòu)。上述剛體模型通過(guò)代入實(shí)測(cè)軌跡，得到擬合結(jié)果較好的步行荷載曲線，研究思路與時(shí)域力荷載模型類似，但未建立模型動(dòng)力方程。

基于此，本文擬建立簡(jiǎn)化人體多剛體模型，類比人體行走驅(qū)動(dòng)模式，在各關(guān)節(jié)施加扭矩，并利用反饋線性化控制方法調(diào)節(jié)模型扭矩輸入，使模型能完成擬人行走。模型忽略人體運(yùn)動(dòng)時(shí)變化幅度較小的軀干，采用四剛體建模，對(duì)象分別為下肢的大小腿。并建立擺動(dòng)階段的動(dòng)力方程，求解模型行走時(shí)程。從模型行走軌跡和力學(xué)性能出發(fā)，判斷模型行走擬人程度，并驗(yàn)證模型對(duì)不同身高、體重人體的適用性。

1 模型建立

1.1 動(dòng)力學(xué)方程

正常人體行走單個(gè)步行周期為一側(cè)下肢完成從足跟著地到再次落地的過(guò)程，包括該下肢的支撐相與擺動(dòng)相。在忽略人體行走左右腿區(qū)別后，模型單個(gè)行走周期定義為單腿完成一次擺動(dòng)與碰撞切換過(guò)程。將人體沿矢狀面簡(jiǎn)化為平面內(nèi)多剛體模型，以描述人正常行走。

本文對(duì)人體進(jìn)行簡(jiǎn)化，軀干及以上簡(jiǎn)化成單個(gè)質(zhì)點(diǎn)，大腿和小腿簡(jiǎn)化為四個(gè)均勻分布的剛性桿，編號(hào)為1～4，四個(gè)剛性桿之間以及支撐點(diǎn)與地面之間連接為鉸接，驅(qū)動(dòng)力簡(jiǎn)化為集中在連接節(jié)點(diǎn)①～③處的力矩。各物理量定義如圖1所示，其中大腿與小腿等長(zhǎng)，長(zhǎng)度為l，質(zhì)量分別為mt，ms，集中于剛體質(zhì)心，軀干與髖關(guān)節(jié)的集中質(zhì)量為m1。根據(jù)歐拉?拉格朗日方程，建立模型擺動(dòng)階段運(yùn)動(dòng)方程如下：

圖1 人體簡(jiǎn)化模型及扭矩作用形式Fig.1 Four rigid body model and torque action form for human walking

式中q=[θ，q2，q3，q4]T為角位移，以逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正；θ表示髖關(guān)節(jié)節(jié)點(diǎn)③與模型觸地點(diǎn)連線相對(duì)于y軸的角度，為欠驅(qū)動(dòng)自由度；qa=[q2，q3，q4]T，分別為剛性桿j（j=2，3，4）相對(duì)于剛性桿j-1 的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，為驅(qū)動(dòng)自由度；M(q)∈R4×4為慣性矩陣，M11為慣性矩陣中第一個(gè)元素；h1(q，)∈R1×1，h2(q，)∈R3×1包含方程中離心力、科氏力和重力，其表達(dá)式見附錄，以及文獻(xiàn)［13］；u=[u1，u2，u3]T為模型各關(guān)節(jié)處獨(dú)立驅(qū)動(dòng)力矩；B∈R4×3為外力矩位置矩陣，其數(shù)值根據(jù)廣義力定義求得：

1.2 碰撞切換

多剛體系統(tǒng)發(fā)生碰撞過(guò)程時(shí)，常以模型碰撞后的角速度作為未知量，假定碰撞前后模型位形不變，根據(jù)沖量定理建立方程。但是這種方法計(jì)算量大，且迭代不易收斂。實(shí)際上人作為一種智慧生物，其在支撐腿蹬地與擺動(dòng)腿足部完全觸地過(guò)程中存在著復(fù)雜的機(jī)制以使人體能夠穩(wěn)定地切換到下一步態(tài)。模擬人體這種生物力學(xué)機(jī)制大大超出了本文的范圍，作者更關(guān)心切換的目標(biāo)，即觸地碰撞后任意一肢的速度等于另外一肢的上一步初始速度。本文假定這個(gè)目標(biāo)能實(shí)現(xiàn)，不討論如何實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)。

2 模型行走

區(qū)別于傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)已知外界激勵(lì)求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)的問題，行走模型運(yùn)動(dòng)方程（1）中驅(qū)動(dòng)力矩u并不能預(yù)先知道，并且隨意假定u也不能使模型完成擬人行走，甚至可能導(dǎo)致數(shù)值模擬失敗。為了克服這個(gè)困難，本文提出如下方法：對(duì)驅(qū)動(dòng)自由度qa在整個(gè)擺動(dòng)階段的時(shí)程進(jìn)行規(guī)劃（在文中稱為規(guī)劃軌跡qa，d），代入式（1）可得對(duì)應(yīng)此規(guī)劃軌跡驅(qū)動(dòng)力u的時(shí)程（此后稱為規(guī)劃力矩ud）；考慮人與結(jié)構(gòu)相互作用以及人運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可能受到的外部擾動(dòng)（例如結(jié)構(gòu)振動(dòng)、地震作用等），模型實(shí)際軌跡qa與規(guī)劃軌跡qa，d之間可能產(chǎn)生誤差，因此需要反饋線性化控制方法對(duì)驅(qū)動(dòng)力矩u進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，以此完成模型行走仿真。

2.1 步態(tài)規(guī)劃

為使多剛體模型進(jìn)行擬人行走，首先需對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行步態(tài)規(guī)劃。本文使用勞斯規(guī)約法進(jìn)行步態(tài)規(guī)劃。勞斯規(guī)約法是一種幾何降維法，針對(duì)對(duì)稱性循環(huán)動(dòng)力系統(tǒng)，采用單個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)具有單調(diào)特性的循環(huán)變量作為系統(tǒng)基本變量，降低系統(tǒng)維度以達(dá)到簡(jiǎn)化求解目的［14］。雙足行走動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行向前行走行為時(shí)，支撐腿與地面間夾角θ在單行走周期內(nèi)具有單調(diào)遞減性，如圖1所示。利用此特性，將平面內(nèi)行走的多變量運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)用θ進(jìn)行描述。

對(duì)于模型平面步行的擺動(dòng)階段，將驅(qū)動(dòng)自由度qa時(shí)程假定為變量θ的函數(shù)，通常采用如下形式的貝塞爾函數(shù)：

與初始定義的qa相區(qū)分，式中d 表示規(guī)劃量；αa，k為規(guī)劃系數(shù)，控制軌跡形狀。以q2，d為例，q3，d，q4，d形式可類比：

式中s=0 和s=1 對(duì)應(yīng)模型周期的初始和終止時(shí)刻，對(duì)qa的邊界條件有：

由式（4）～（7）可得：

將驅(qū)動(dòng)自由度規(guī)劃軌跡qa，d代入式（1）后，可得到關(guān)于變量θ的單自由度運(yùn)動(dòng)方程：

注意，以上方程不僅需要滿足初始條件，即：

還須滿足模型單個(gè)行走周期的終止條件：

式中tf為常微分方程（9）求解的終止時(shí)刻，其判斷依據(jù)為擺動(dòng)腿末端與地面發(fā)生接觸。

2.2 單步行走狀態(tài)

擺動(dòng)腿末端判定與地面接觸后，多剛體模型當(dāng)前行走周期結(jié)束，模型碰撞前的狀態(tài)即為此行走周期的終止?fàn)顟B(tài)擺動(dòng)腿觸地判定條件為ys為擺動(dòng)腿末端的y坐標(biāo)（剛體4 端點(diǎn)）。如圖2所示，擺動(dòng)腿觸地后，支撐腿與擺動(dòng)腿互換，相應(yīng)的位形坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系可表示為：

圖2 前后步位形切換Fig.2 Shape between front and rear steps

其中：

假定人體以穩(wěn)定的周期步態(tài)行走，即下一周期內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡與上一周期的軌跡相同，各個(gè)行走周期的起始狀態(tài)間也存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，可表述為：

由式（12）和（14）可得單個(gè)行走周期內(nèi)終止位形和初始位形的關(guān)系：

單個(gè)行走周期內(nèi)，模型的起始位形與終止位形需滿足式（15）。由于變量qa與θ間引入式（3）規(guī)劃的軌跡關(guān)系，原四剛體行走模型微分方程組簡(jiǎn)化為僅關(guān)于θ的常微分方程（9）。求解式（9）可得欠驅(qū)動(dòng)角度θ的軌跡，歸一化后代入式（3）得到此解對(duì)應(yīng)驅(qū)動(dòng)自由度規(guī)劃軌跡。根據(jù)貝塞爾曲線性質(zhì)，驅(qū)動(dòng)自由度qa初始與終止條件能自動(dòng)滿足，無(wú)需進(jìn)行驗(yàn)證。但是，qa的軌跡與欠驅(qū)動(dòng)初始和終止?fàn)顟B(tài)相關(guān)。

變量θ的初始與終止位形須滿足式（15），本文假定已知欠驅(qū)動(dòng)初始角度，按式（15）確定欠驅(qū)動(dòng)終止角度。將和列為未知量，以按方程（9）計(jì)算得到的終止值與預(yù)設(shè)終止值相等為目標(biāo)進(jìn)行迭代，從而得到滿足初始和終止邊界條件的欠驅(qū)動(dòng)角位移時(shí)程，進(jìn)而根據(jù)貝塞爾函數(shù)式（3）得到驅(qū)動(dòng)自由度角位移的規(guī)劃時(shí)程qa，d。

至此欠驅(qū)動(dòng)行走步態(tài)規(guī)劃可轉(zhuǎn)化為如下問題。在給定的[θi，θf(wàn)]T下，尋找特定的關(guān)于θ的起始與終止速度量，使方程（9）存在滿足邊界條件的可行解，并能同時(shí)滿足一系列關(guān)于行走的不等式約束：包括欠驅(qū)動(dòng)角速度始終小于零，即<0；以及支撐足與地面不發(fā)生滑動(dòng)，即|tanθ| <μ，上述約束能保證多剛體模型行走時(shí)符合日常觀測(cè)。

2.3 反饋線性化控制

人體在靜止地面上行走時(shí)，若外界環(huán)境不存在擾動(dòng)，則其能穩(wěn)定地進(jìn)行周期性行走。但實(shí)際上，人體行走時(shí)存在受到外界擾動(dòng)的可能性，尤其是在人?結(jié)構(gòu)相互作用體系中，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)會(huì)影響到人體行走行為。在這種情形下，動(dòng)力方程組（1）右側(cè)存在擾動(dòng)力項(xiàng)，即關(guān)于欠驅(qū)動(dòng)自由度θ的動(dòng)力方程（9）右側(cè)存在擾動(dòng)力。對(duì)人體行走這一動(dòng)力系統(tǒng)引入控制器，動(dòng)態(tài)調(diào)整系統(tǒng)的輸入扭矩u，以減小各驅(qū)動(dòng)自由度與預(yù)設(shè)的規(guī)劃軌跡間因外部擾動(dòng)導(dǎo)致的誤差。

如圖3所示為模型控制器的設(shè)計(jì)思路，動(dòng)力系統(tǒng)的輸出為誤差函數(shù)y=qa-qa，d。由于輸出y與輸入u間的強(qiáng)非線性，本文使用反饋線性化方法，將u設(shè)計(jì)為由規(guī)劃軌跡相關(guān)的前饋?lái)?xiàng)，以及與y相關(guān)的反饋?lái)?xiàng)構(gòu)成，使系統(tǒng)的實(shí)際輸出與規(guī)劃軌跡的誤差y，關(guān)于y的一階、二階導(dǎo)數(shù)均為零，詳見文獻(xiàn)［15］。

圖3 控制器結(jié)構(gòu)Fig.3 Controller structure

2.4 人-結(jié)構(gòu)相互作用

本文的目的是建立人體行走的多剛體模型，人與結(jié)構(gòu)相互作用并不是本文的研究重點(diǎn)，但本文的基本方法可以直接考慮人與結(jié)構(gòu)的相互作用。下面僅從概念上對(duì)人與結(jié)構(gòu)相互作用進(jìn)行討論。以地面為絕對(duì)坐標(biāo)系建立動(dòng)力學(xué)方程，可得到人與結(jié)構(gòu)耦合的運(yùn)動(dòng)方程：

式中Ms，Cs，Ks，分別表示結(jié)構(gòu)質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣列；x表示人致荷載作用下結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)；Fh為模型行走足底力，作用點(diǎn)為人體與結(jié)構(gòu)接觸處；足底力的反作用力轉(zhuǎn)化為廣義力后變?yōu)榱悖茨Ｐ瓦\(yùn)動(dòng)方程右側(cè)第二項(xiàng)為零。結(jié)構(gòu)發(fā)生振動(dòng)時(shí)，人體模型相對(duì)坐標(biāo)系原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，模型作為運(yùn)動(dòng)于結(jié)構(gòu)上物體，各質(zhì)心處存在由結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力，F(xiàn)i=[Fxi，F(xiàn)yi]T表示模型所受慣性力，i=1，2，…，5，更具體的可見文獻(xiàn)［13］。結(jié)構(gòu)的振動(dòng)將會(huì)影響到模型的實(shí)際行走軌跡，同時(shí)會(huì)改變四剛體模型對(duì)樓面的作用力，體現(xiàn)了人?結(jié)構(gòu)間的相互作用。

3 模型仿真

步行是人通過(guò)下肢雙足的交替動(dòng)作移動(dòng)機(jī)體的活動(dòng)。步態(tài)分析利用生理學(xué)知識(shí)和力學(xué)概念等，對(duì)不同人步行時(shí)的姿態(tài)、行為特征進(jìn)行分析對(duì)比。常用的步態(tài)分析參數(shù)包括行走時(shí)間參數(shù)如行走頻率、行走時(shí)間、雙足支撐期占比；時(shí)空參數(shù)如下肢關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)角度時(shí)程，行走步長(zhǎng)；動(dòng)力學(xué)參數(shù)如人行激勵(lì)力、關(guān)節(jié)輸入扭矩等。通常針對(duì)人與結(jié)構(gòu)行為進(jìn)行力學(xué)分析時(shí)，更關(guān)注人致荷載在建筑結(jié)構(gòu)中可能引起的共振現(xiàn)象，對(duì)人行走頻率更為敏感。相應(yīng)地，在建立荷載模型時(shí)，其模型參數(shù)也表達(dá)為以人行頻率作為自變量的函數(shù)。因此，本文進(jìn)行模型行走軌跡和力學(xué)性能的結(jié)果驗(yàn)證時(shí)，同樣以人行頻率作為自變量。

對(duì)四剛體雙足行走模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證，行走模型參數(shù)如表1所示。設(shè)定模型質(zhì)量參數(shù)時(shí)，參考中國(guó)男性青年人體體段質(zhì)心位置［16］，以及中國(guó)男性青年質(zhì)量分布［17］。為保持模型質(zhì)心位置與正常人體一致，參考二自由度行走模型［10］，將大小腿長(zhǎng)度定為0.6 m，模型行走時(shí)質(zhì)心位于1.02 m 附近，詳見圖1。表2展示步速為1.12 m/s 時(shí)，一種可行的初始和終止?fàn)顟B(tài)值。

表1 模型物理參數(shù)Tab.1 Parameters of four rigid body model

表2 步速1.12 m/s 的初始和終止?fàn)顟B(tài)值Tab.2 Initial and terminal state values of walking speed at 1.12 m/s

3.1 模型仿真步態(tài)對(duì)比

圖4為多剛體模型在其行走周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡。為與人體步行軌跡進(jìn)行對(duì)比分析，圖中展示了多剛體模型兩個(gè)行走周期?？梢钥闯?，與實(shí)際人行走時(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡相比，多剛體模型能夠較好地模擬人體的運(yùn)動(dòng)特征：右膝屈曲角度增加至最大值，左腿完成抬腿動(dòng)作；右膝屈曲角度逐漸減小，此時(shí)模型質(zhì)心位于右腿上方；在右腿站立相后期，大腿與小腿間相對(duì)角度接近于零，擺動(dòng)腿左腿接近觸地；擺動(dòng)腿切換后，右腿邁步相開始，其膝關(guān)節(jié)屈曲角度變大，并加速向前擺動(dòng)；右肢達(dá)到膝關(guān)節(jié)最大屈曲位置，此時(shí)擺動(dòng)腿右腿剛與支撐腿左腿發(fā)生交錯(cuò)；擺動(dòng)相后期，髖關(guān)節(jié)達(dá)到最大屈曲角度，右腿觸地。

圖4 逐幀人體模型行走圖Fig.4 Schematic drawing of human walking during one cycle frame by frame

圖5為各自由度在單個(gè)行走周期內(nèi)的時(shí)程，與事先約定的相同，欠驅(qū)動(dòng)角度θ在仿真時(shí)呈現(xiàn)出單調(diào)性；q2形狀類似于正弦曲線；q3為兩大腿間相對(duì)角度，在行走時(shí)，擺動(dòng)腿向前，則q3角逐步增大，在觸地前擺動(dòng)腿回落，此時(shí)q3角減??；q4始終小于零。

圖5 各個(gè)自由度q 在一個(gè)行走周期內(nèi)的時(shí)程曲線Fig.5 Time history for rotation angle of each degreeof-freedom q given a walking cycle

建模時(shí)對(duì)人體步態(tài)進(jìn)行若干簡(jiǎn)化，實(shí)際上多剛體模型的行走在忽略了左右腿區(qū)別后，周期為實(shí)際人體行走周期的一半。圖6展示了通過(guò)捕捉髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)處標(biāo)記點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡，利用圖像識(shí)別技術(shù)得到支撐腿的完整周期角度時(shí)程。對(duì)比多剛體模型行走時(shí)的時(shí)程曲線，證實(shí)了模型行走軌跡的擬人性。

圖6 周期行走角度時(shí)程對(duì)比Fig.6 Periodic walking angle comparison

上述表達(dá)為針對(duì)人行走步態(tài)的主觀描述，表3為模型步態(tài)量化指標(biāo)。以一名青年男性為受試對(duì)象，在平整且大小合適的鞋底放置測(cè)力鞋墊，對(duì)人體周期行走時(shí)的力學(xué)性能進(jìn)行測(cè)試，更詳細(xì)的方案見文獻(xiàn)［18］。在步態(tài)參數(shù)的描述中，步長(zhǎng)、步頻、步速滿足兩種數(shù)據(jù)即說(shuō)明當(dāng)前步態(tài)與對(duì)應(yīng)實(shí)測(cè)人行走步態(tài)擬合較好。荷載峰值因子由荷載時(shí)程峰值與人體自重計(jì)算得到，表征模型力學(xué)性能，觀察到剛體模型與實(shí)測(cè)和荷載模型在相同頻率情況下吻合較好。

表3 步態(tài)參數(shù)對(duì)比Tab.3 Gait parameter comparison

3.2 模型足底力驗(yàn)證

許多學(xué)者嘗試直接對(duì)人行足底力進(jìn)行測(cè)量，本文采用文獻(xiàn)［19］中由中國(guó)人體步行數(shù)據(jù)擬合得到的傅里葉級(jí)數(shù)荷載模型，來(lái)表示單步步行豎向荷載曲線：

式中n為模型階數(shù)；αn，φn稱為第n階動(dòng)載因子和相位角，詳見文獻(xiàn)［19］。

如圖7所示為在給定四種不同步行頻率的情況下，單步行走的豎向荷載規(guī)則化時(shí)程曲線的對(duì)比。可以觀察到，剛體模型的步頻與步長(zhǎng)能較好地與實(shí)測(cè)模型吻合，且豎向荷載曲線呈現(xiàn)出“M”型，與實(shí)測(cè)差距較小，總體在可接受范圍內(nèi)。豎向荷載峰值與兩類模型對(duì)比吻合較好，但后續(xù)的峰谷及第二峰值有一定差距。以圖7（a）為例，對(duì)比實(shí)測(cè)值數(shù)據(jù)，豎向荷載峰值相差在10%以內(nèi)，圖中峰谷相差25%，第二峰值相差5%。

圖7 不同步頻豎向力時(shí)程對(duì)比Fig.7 Comparison of vertical forces at different walking fre?quencies

3.3 模型參數(shù)化分析

為觀察人體身高體重對(duì)行走荷載時(shí)程的影響，進(jìn)行模型的不確定性仿真。選取1.56 Hz 時(shí)模型的初始與終止?fàn)顟B(tài)，對(duì)桿長(zhǎng)與各集中質(zhì)量進(jìn)行參數(shù)攝動(dòng)，觀察模型完成十步周期行走的仿真結(jié)果。

圖8分別展示模型桿長(zhǎng)與質(zhì)量變化對(duì)行走力學(xué)性能的影響。在相同初始與終止?fàn)顟B(tài)下，桿長(zhǎng)改變會(huì)影響行走步頻，而步頻變化導(dǎo)致豎向力與水平力大小發(fā)生變化。在相同的步態(tài)規(guī)劃和質(zhì)量分布情況下，呈比例更改體重對(duì)規(guī)則化地面接觸力影響較小。

圖8 模型參數(shù)仿真Fig.8 Model parametric simulation

3.4 模型擾動(dòng)分析

在模型上施加EL Centro 波豎向分量，比較0.1g，0.05g峰值加速度時(shí)模型荷載響應(yīng)，動(dòng)力方程如下：

式中FE為地震作用，各質(zhì)心處地震作用為FEi=-mi；r表示地震作用定位向量，ri為模型質(zhì)心處坐標(biāo)。圖9為模型存在豎向擾動(dòng)時(shí)，模型地面接觸力的變化。對(duì)比無(wú)擾動(dòng)時(shí)的仿真結(jié)果，可觀察到在0.1g峰值加速度情況下，豎向地面接觸力規(guī)則化峰值增大3%，在一定大小豎向擾動(dòng)下模型能穩(wěn)定行走。

圖9 模型擾動(dòng)仿真Fig.9 Model perturbation simulation

4 結(jié) 論

本文通過(guò)將人體沿矢狀面進(jìn)行簡(jiǎn)化，建立四剛體行走模型，對(duì)人行走這一行為進(jìn)行模擬。結(jié)果顯示，模型行走行為符合日常經(jīng)驗(yàn)，豎向規(guī)則化力基本能夠反映人的行走力學(xué)性能，峰值大小與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，可運(yùn)用于人與結(jié)構(gòu)相互作用數(shù)值模擬計(jì)算中。

附 錄

M矩陣以及h1和h2表達(dá)式，如果直接用變量q表示方程組（1）中的M，h項(xiàng)，公式將過(guò)于復(fù)雜。令p=Aq

H矩陣內(nèi)各元素為：