李國芳，王紅兵，吳少培，王相平，胡元杰，丁旺才

（1.蘭州交通大學機電工程學院，甘肅蘭州 730070；2.中國鐵路蘭州局集團有限公司嘉峪關車輛段，甘肅嘉峪關 735100）

引 言

車輪多邊形是典型的車輪圓周方向的不均勻磨損現(xiàn)象，它所引起的沖擊載荷頻率是關于運行速度的函數，且隨著多邊形階次的升高而增大［1］。車輪多邊形磨耗不僅會使輪軌動態(tài)作用力顯著增大，導致車輛和軌道產生強烈的振動和噪聲，甚至會導致車輛關鍵零部件的疲勞斷裂，嚴重威脅軌道車輛的服役安全［2］。

近年來國內外學者針對車輪多邊形形成機理及其引起的輪軌動力學問題進行了大量研究。Mo?rys［3］建立了ICE?1 型高速列車動力學模型，并在此基礎上開發(fā)了一個車輪長期迭代磨損模型。通過計算分析提出初始車輪多邊形會激起輪對的彎曲共振模態(tài)，從而誘發(fā)車輪多邊形磨耗。Johansson 等［4］為了研究車輪多邊形化問題，開發(fā)了一種預測車輪踏面和非圓化磨損的數學模型。將實測車輪滾動圓輸入模型進行磨耗預測，計算分析了1～20 階車輪多邊形的形成和演變過程，并提出“固定波長”機理解釋車輪多邊形的演變規(guī)律。Jin 等［5］通過試驗測試和仿真分析對地鐵車輪的多邊形磨損機理進行了詳細研究，結果表明車輪多邊形磨損的初始階段主要歸因于車輪本身的不規(guī)則，車輪9 階多邊形磨損的根本原因是輪對的一階彎曲共振。Tao 等［6］對兩類列車關鍵部件的振動特性和車輪圓周進行長期的跟蹤測試，并進行數值分析。結果表明，地鐵車輛5～8階車輪多邊形主要是P2 共振導致的；輪對的一階彎曲共振是形成波長為200 mm 車輪多邊形的根本原因。Fu 等［7］建立了一個長期迭代磨損模型，分析了積分步長、車輪輪廓更新策略和曲線擬合方法對仿真結果精度的影響，基于此解釋了車輪多邊形演變機理。Ye 等［8］為了研究車輪扁疤對車輪多邊形化的影響，提出了一種結合FaStrip 和USFD 磨損函數的參數化自動磨損計算模型，計算結果表明車輪扁疤會導致或加劇車輪多邊形化，且運行速度和扁疤長度對多邊形磨損影響很大，進一步通過現(xiàn)場試驗證明了該結論。丁軍君等［9］結合車輛?軌道動力學模型和基于磨耗功的車輪磨耗模型進行車輪多邊形磨耗預測，結果表明車輪多邊形階次會逐漸向整倍數階演變。Cai 等［10］基于非線性赫茲接觸理論建立了車輛?軌道耦合動力學模型，仿真計算了車輪多邊形等缺陷對軌道系統(tǒng)動態(tài)響應的影響。Liu 等［11］建立了垂向車輛?軌道耦合動力學模型，以德國ICE 實測車輪多邊形為激勵計算分析其引起的輪軌相互作用，并提出將輪對徑向偏差的導數作為分析動態(tài)輪軌接觸力的有效指標。Wang 等［12］建立了考慮輪對柔性的車輛?軌道耦合動力學模型，分析了車輪理想多邊形和實測多邊形磨損對輪軸動態(tài)應力的影響。Chen 等［13］建立了垂向車輛?軌道?路基動力耦合模型，并提出通過格林函數模擬車輛?軌道?路基的動態(tài)相互作用的分析方法，使用該模型分析了車輪多邊形磨損及其主要參數對車輛?軌道?路基系統(tǒng)的影響。吳越等［14］建立了轉向架系統(tǒng)高頻振動有限元模型，分析了車輪多邊形參數對軸箱、構架振動響應的影響。Cai 等［15］根據現(xiàn)場實測車輪多邊形數據和車輪多邊形預測模型，預測并分析了高速列車典型的20 階車輪多邊形磨損形成過程，研究結果表明三階鋼軌局部彎曲模態(tài)對輪軌法向力的周期性波動有很大貢獻。Tao 等［16］綜述了近年來車輪多邊形問題的研究成果，對車輪多邊形形成機理進行了分類和總結，給出了車輪多邊形演化的數值模擬方法及緩解車輪多邊形問題的對策。

文獻［8?9，13?14］表明，既有車輪多邊形問題的研究工作中通常將同一輪對兩側車輪圓周視為相同輪廓，較少涉及有關討論輪對兩側車輪圓周不同輪廓的研究，然而根據實測數據，同一輪對兩側車輪圓周在鏇修周期內常處于相異狀態(tài)。有鑒于此，本文結合實測數據將同一輪對兩側車輪圓周狀態(tài)進行歸類劃分，建立考慮輪對和構架柔性的車輛?軌道耦合系統(tǒng)動力學模型，探究不同輪對兩側圓周狀態(tài)引起的輪軌動態(tài)特性響應規(guī)律。

1 實測車輪圓周數據分析

為了揭示車輪圓周磨耗的分布和演變規(guī)律，選取國內某線路上運行的8 編組高速動車組某輪對在一個鏇修周期內的車輪圓周［18］。圖1～3 為該高速動車組同一輪對運行3.5×104，1.46×105和2.35×105km 后測得的兩側車輪的徑向偏差幅值及各階諧波對應的粗糙度水平。

由圖1～3可知，車輪圓周在運行初期便存在車輪不圓，呈現(xiàn)為低階車輪多邊形，粗糙度較低；隨著運行里程的增加，車輪圓周輪徑偏差逐漸增大，粗糙度顯著增大。當運行里程達到2.35×105km 時，車輪圓周形成以個別階次為主導的多邊形。值得注意的是，盡管在運行初期同一輪對兩側車輪圓周主導階次基本一致，但當運行至1.46×105km 時，兩側車輪主導階次和幅值差異明顯，當運行里程達到2.35×105km時，兩側車輪均形成了以高階車輪多邊形為主導的車輪圓周，且存在階次和幅值相近的高階車輪多邊形。

圖1 3.5×104 km 的實測車輪圓周Fig.1 The measured wheel circumference of 3.5×104 km

對測得的輪徑偏差進行離散傅里葉變換，得到車輪多邊形階次對應的幅值，如圖4～6 所示。

圖2 1.46×105 km 的實測車輪圓周Fig.2 The measured wheel circumference of 1.46×105 km

圖3 2.35×105 km 的實測車輪圓周Fig.3 The measured wheel circumference of 2.35×105 km

圖4 3.5×104 km 的車輪多邊形階次分布Fig.4 Polygonal order distribution of 3.5×104 km wheels

由圖4可知，在磨耗初期，輪對兩側車輪圓周主要表現(xiàn)為1～3 階多邊形，對比左右車輪階次和幅值可以看出，盡管兩側的1 階和3 階車輪多邊形均較為顯著，但同一階次的幅值存在顯著差異，且左側車輪以3 階為主導，而右側車輪以1 階為主導。

由圖5可知，運行至1.46×105km 時，輪對兩側車輪圓周主要表現(xiàn)為7～14 階多邊形，對比左右車輪階數和幅值關系可知：①左右車輪的7 階車輪多邊形幅值相差較大；②左側車輪11 階多邊形幅值與右側車輪10 階多邊形幅值基本相等。

圖5 1.46×105 km 的車輪多邊形階次分布Fig.5 Polygonal order distribution of 1.46×105 km wheels

由圖6可知，當運行里程達2.35×105km 時，左右兩側分別形成了以21 階（左）和24 階（右）為主導的高階車輪多邊形。需要注意的是，盡管兩側車輪的主導階次不同，但都形成了較為明顯的13 階和24階車輪多邊形。

圖6 2.35×105 km 的車輪多邊形階次分布Fig.6 Polygonal order distribution of 2.35×105 km wheels

綜上可知，在整個磨耗周期內，同一輪對兩側車輪圓周各階次對應的幅值始終存在顯著差異，且左右車輪階數和幅值關系較為復雜。為了便于分析，根據階次和幅值的對比關系對同一輪對兩側車輪圓周進行分類，可分為同階同幅、同階異幅、異階同幅、單側非圓和異階異幅五種狀態(tài)。以下三點需要說明：①單側非圓狀態(tài)為輪對兩側車輪的一側為多邊形圓周，另一側為理想圓周，本質上屬于異階異幅狀態(tài)，但由于其表現(xiàn)形式特殊，故單獨作為一種狀態(tài)討論；②同階同幅狀態(tài)下還可能存在相位差，這種相位差對于磨耗的影響也不容忽視［17］，但由于本文旨在凸顯輪對兩側圓周相異狀態(tài)與無相位差的同階同幅狀態(tài)之間的差異，因此對于相位差的相關分析本文暫未考慮；③本文后續(xù)計算中，只考慮了1 位輪對左右車輪的多邊形磨耗，整車模型其余車輪均為理想圓。值得一提的是，文獻［18］指出后輪對的車輪多邊形引起的振動可通過轉向架或軌道傳遞給前輪對。因此，在后續(xù)研究中，可結合車輪多邊形相位差以及前后輪對車輪多邊形相互作用問題做進一步探究。

為敘述方便，下文無特殊說明時，圓周狀態(tài)即輪對兩側車輪圓周狀態(tài)。以3 階和4 階車輪多邊形為例，各狀態(tài)的階數和幅值如表1所示，示意圖如圖7所示。

圖7 輪對兩側車輪圓周狀態(tài)示意圖Fig.7 Schematic diagram of the circumferential state of wheels on both sides of the wheelset

表1 輪對兩側車輪圓周狀態(tài)Tab.1 Circumferential state of wheels on both sides of the wheelset

2 車輛-軌道耦合系統(tǒng)動力學模型

2.1 多體動力學模型

以CRH3?350 型動車組拖車為研究對象，應用UM 建立車輛?軌道耦合系統(tǒng)動力學模型。多剛體車輛模型包括輪對、軸箱、構架、車體以及一系、二系懸掛。軸箱只考慮繞車軸的旋轉，其余剛體均考慮6 個方向的自由度，共計50 個自由度。

為了準確體現(xiàn)車輪多邊形引起的高頻振動響應，在多剛體模型的基礎上，考慮輪對和構架的柔性變形。首先建立輪對和構架的有限元模型，選擇界面節(jié)點，采用Block Lanczos 法得到模態(tài)信息，然后利用Craig?Bampton 法進行模態(tài)縮減，得到適用的柔性體模型，具體建模流程如圖8所示，其部分模態(tài)信息如表2所示。

表2 輪對和構架的部分模態(tài)頻率和振型Tab.2 Partial modal frequencies and modes of wheelsets and frames

圖8 構架和輪對的柔性體建模流程Fig.8 Flexible body modeling process of frame and wheelset

本文軌道建模具體實現(xiàn)參見文獻［19］，即以連續(xù)彈性離散點支撐梁模型模擬軌道子系統(tǒng)，其中鋼軌以Timoshenko 梁模擬，考慮其剪切及旋轉慣量效應，扣件以空間彈簧?阻尼單元模擬，軌道板及以下結構簡化為總體剛度和阻尼。車輛?軌道耦合系統(tǒng)動力學模型如圖9所示。

圖9 車輛-軌道耦合系統(tǒng)動力學模型Fig.9 Dynamic model of vehicle-track coupling system

為了驗證模型的正確性，對武廣線的實測車輛振動數據［20］和仿真數據進行對比，仿真計算運行速度為300 km/h，軌道激勵采用中國高速無砟軌道譜。構架和車體的振動加速度最大值如表3所示。

表3 車輛運行性能仿真與試驗對比Tab.3 Comparison between simulation and test of vehicle performance

由表3可知，仿真計算結果與試驗測試結果差異均在5%以下，可用于后續(xù)計算。造成該誤差的原因可能有以下幾個方面：（1）仿真計算時并未考慮車輪擦傷等缺陷；（2）個別非線性力元的建模與實際存在差異；（3）本文所采用的軌道譜與實測數據對應的軌道不平順存在差異。

2.2 輪軌滾動接觸算法

本文在進行車輛?軌道耦合動力學的計算時不僅考慮了輪軌柔性，而且考慮了車輪多邊形圓周使得車輪踏面出現(xiàn)凹陷，這將導致輪軌接觸斑呈現(xiàn)為明顯的非橢圓狀。對于非橢圓問題，確定柔度系數是輪軌滾動簡化接觸理論的難點之一［21］。Piotrowiski 等［22］提出了一種適用于非橢圓接觸問題的柔度系數計算方法，即將非橢圓接觸區(qū)域劃分為多個矩形區(qū)域，根據等效橢圓方法求解每個矩形區(qū)域內的柔度系數，且由于滑移邊界仍由公式確定，計算效率和FASTSIM 算法相當。因此本文采用Kik?Piotrowiski 算法進行輪軌接觸計算。

首先假設通過車輪和軌道的表面穿透深度δr，然后通過縮減因子對剛性滲透量進行縮減，得到虛擬滲透量δ，一般δ=0.55δr，進一步獲得與實際接近的虛擬滲透區(qū)域，如圖10 所示。

圖10 虛擬滲透區(qū)域和接觸區(qū)域Fig.10 Virtual infiltration area and contact area

虛擬滲透區(qū)域為：

式中f(y)為x=0 時輪軌型面間隙函數。

其次，確定接觸面積的滲透區(qū)域的前/后邊緣的x坐標為：

式中xl(y)，xt(y)分別為滲透區(qū)域的前/后邊緣坐標；R為車輪半徑。

車輪是一個旋轉體，根據赫茲接觸性質，假設法向力的分布在滾動方向上是半橢圓的，則具有以下形式：

假設最大壓力p0是已知的，通過對接觸壓力積分來計算法向載荷：

式中yt，yr為接觸斑在y方向的前/后邊界坐標。

為了估計最大壓力并確保該方法的完全可靠性，僅在接觸區(qū)域的幾何接觸點（0，0）處滿足接觸條件。

利用Boussinesq 函數來描述點（0，0）處的法向變形位移

式中σ為泊松比；E為楊氏模量。

接觸點中心的滲透量δ0=2ω(0，0)=2ω0，于是可得法向力N和最大壓力p0為：

將求得的接觸面積和法向接觸解（N，p0）代入FASTSIM 算法即可進行切向接觸求解。然而，由虛擬滲透得到的接觸斑為非橢圓形狀，F(xiàn)ASTSIM算法中的三個柔性系數Lx，Ly，Lφ已不適用［22］，因此需要重新推導。Kik?Piotrowiski 算法中采用等效橢圓法確定柔度系數。

首先在接觸區(qū)內對切向應力進行積分，得到縱向蠕滑力和橫向蠕滑力為：

式中ξx，ξy和ξz分別為縱向、橫向和自旋蠕滑率；A為縱向相對曲率。

根據Kalker 線性蠕滑理論，縱向蠕滑力Fx和橫向蠕滑力Fy為：

式中G為等效剪切模量；C11，C22，C23為KalKer 蠕滑系數；a，b為接觸斑長短半軸坐標。

上式和Kalker 線性蠕滑理論［1］得到的蠕滑力相等，則可得到：

式中S為非橢圓接觸斑面積；C11，C22和C23為KalKer 蠕滑系數。將修正后的柔度系數代入原FASTSIM 算法，可實現(xiàn)切向接觸求解。

3 輪軌動態(tài)特性分析

車輪多邊形在高速下會產生高頻激勵，嚴重影響輪軌動態(tài)響應。為了分析不同車輪圓周狀態(tài)下的輪軌動態(tài)特性，設置車輛運行速度為300 km/h。需要說明的是，左右軌道隨機不平順的非對稱性會顯著影響輪軌動態(tài)響應指標在車輪圓周上的分布，如圖11 所示為有無軌道不平順時異階同幅狀態(tài)下的左側車輪磨耗功。

由圖11 可知，若考慮軌道不平順，則難以準確分析輪對兩側車輪圓周相異對車輪磨耗功沿車輪圓周分布的影響。因此，本文后續(xù)計算分析時未考慮軌道不平順。

圖11 有無軌道不平順時異階同幅狀態(tài)下的左側車輪磨耗功Fig.11 Wear work of left wheel in different order and same amplitude with or without track irregularity

計算表1各圓周狀態(tài)下左右車輪的輪軌垂向力、接觸斑面積、蠕滑力以及磨耗功。根據表1，各圓周狀態(tài)下左側車輪的多邊形階次和幅值都是相同的，因此左側車輪各項特性指標的動態(tài)響應將會反映不同圓周狀態(tài)對輪軌動態(tài)特性的影響。

當列車以速度v(m/s)在線路運行時，車輪多邊形的激勵頻率可由下式計算：

式中r為車輪半徑；N0為車輪多邊形的階次，λ為波長。

3.1 輪軌接觸特性

圖12 為各圓周狀態(tài)下左右車輪輪軌垂向力的時間歷程及其對應的功率譜密度。

由圖12（a）和（b）可知，不同車輪圓周狀態(tài)下，左側車輪的輪軌垂向力波動范圍略有差異，且與右側車輪的階數和幅值正相關，即同階異幅下輪軌垂向力的波動范圍最大，單側非圓的波動范圍最?。挥覀溶囕喌妮嗆壌瓜蛄Σ▌臃秶c自身的階數和幅值正相關。由圖12（c）和（d）頻域圖可知，左側車輪的輪軌垂向力中，異階同幅和異階異幅狀態(tài)均出現(xiàn)了微弱的115.4 Hz 主頻響應，對應4 階車輪多邊形，相比來說后者幅值更高；右側車輪的輪軌垂向力中，單側非圓狀態(tài)出現(xiàn)了微弱的86.5 Hz 主頻響應，對應3階車輪多邊形，異階同幅和異階異幅狀態(tài)下幾乎未出現(xiàn)86.5 Hz 主頻響應。由此說明，輪對兩側車輪圓周狀態(tài)對輪軌垂向力影響微弱，相對來說，同階異幅和異階同幅狀態(tài)對低階低幅側車輪輪軌垂向力的影響更為明顯。

圖12 各圓周狀態(tài)下輪軌垂向力的時域和頻域圖Fig.12 Time domain and frequency domain diagrams of wheel/rail vertical forces in each circumferential state

圖13 為各圓周狀態(tài)下左右車輪接觸斑面積的時間歷程及其對應的功率譜密度。

由圖13 可知，接觸斑面積的響應規(guī)律與輪軌垂向力類似。如圖13（a）和（b）所示，左側車輪的輪軌垂向力中，同階異幅下接觸斑面積的波動范圍最大，單側非圓的波動范圍最?。挥覀溶囕喌慕佑|斑面積波動范圍與自身的階數和幅值正相關。由圖13（c）和（d）可知，左側車輪接觸斑面積的頻率響應中，異階同幅和異階異幅狀態(tài)下出現(xiàn)了115.4 Hz 的主頻響應；右側車輪的接觸斑面積頻率響應中，單側非圓狀態(tài)出現(xiàn)了微弱的86.5 Hz 主頻響應。

圖13 各圓周狀態(tài)下接觸斑面積的時域和頻域圖Fig.13 Time and frequency domain diagrams of contact spot area in each circumferential state

綜上輪軌垂向力和接觸斑面積的響應可知，輪對兩側車輪圓周狀態(tài)對輪軌接觸特性影響微弱，但詳細來看，某一側輪軌接觸必然受到同一輪對另一側車輪振動響應的影響，對于不同車輪圓周狀態(tài)來說，一側車輪多邊形的階數越高，幅值越大，對另一側車輪輪軌接觸響應的影響越大。

3.2 輪軌蠕滑特性

輪軌蠕滑特性與牽引力、輪軌磨耗等息息相關，因此車輪圓周狀態(tài)對蠕滑特性的影響規(guī)律至關重要。本節(jié)通過縱向和橫向蠕滑力表征車輪圓周狀態(tài)對輪軌蠕滑特性的影響，圖14 為各圓周狀態(tài)下左右車輪旋轉一周的縱向和橫向蠕滑力的時間歷程及其對應的功率譜密度。

由圖14 可知，各圓周狀態(tài)下的蠕滑力的波動范圍差異明顯。如圖14（a）和（b）所示，左側車輪的蠕滑力時間歷程中，單側非圓的波動范圍最小，異階異幅的波動范圍最大，并且波動相位出現(xiàn)了顯著偏差。右側車輪的蠕滑力時域圖也呈現(xiàn)出相似規(guī)律。由圖14（c）和（d）可知，異階異幅和異階同幅下左右車輪均出現(xiàn)了顯著的86.5 和115.4 Hz 主頻振動，單側非圓下右側車輪出現(xiàn)顯著的86.5 Hz主頻振動。由此說明，輪對兩側車輪之間的相互作用對輪軌蠕滑特性有不可忽略的影響。異階狀態(tài)下，兩側車輪的蠕滑特性響應將包含兩個主頻振動，單側非圓狀態(tài)下，理想車輪的蠕滑特性響應將隨非圓車輪變化。蠕滑特性直接關系到車輪磨耗的發(fā)展，因此可推斷異階狀態(tài)對車輪圓周磨耗演變有一定影響。

圖14 各圓周狀態(tài)下蠕滑力的時域和頻域圖Fig.14 Time domain and frequency domain diagrams of creep forces in each circumferential state

3.3 磨耗功

車輪磨耗功是衡量車輪磨耗的重要指標，通過計算不同車輪圓周狀態(tài)下的磨耗功可以明晰各狀態(tài)對車輪圓周磨耗的影響，從而探究車輪磨耗演變規(guī)律。圖15 為各圓周狀態(tài)下左右車輪旋轉一周的磨耗功的時間歷程及其對應的功率譜密度。

由圖15 可知，不同車輪圓周狀態(tài)下，車輪磨耗功的波動各有不同。如圖15（a）和（b）所示，與車輪多邊形波形相比，同階同幅下的磨耗功波形未出現(xiàn)顯著變化；同階異幅下左側車輪的磨耗功波形出現(xiàn)了規(guī)則變化，波峰數量增加了1 倍，右側車輪未出現(xiàn)顯著變化；異階同幅和異階異幅下左側車輪的波形都出現(xiàn)了不規(guī)則變化，異階異幅的變化最為劇烈，右側車輪略有變化；單側車輪下右側車輪的磨耗功波形出現(xiàn)了規(guī)則變化，波峰數量增加了1 倍。由圖15（c）和（d）可知，同階同幅下兩側車輪均出現(xiàn)了微弱的173 Hz 主頻振動，同階異幅下左側車輪出現(xiàn)了明顯的173 Hz 主頻振動，對應6 階車輪多邊形；異階異幅和異階同幅下左側車輪均出現(xiàn)了201 和230.8 Hz 主頻振動，對應7 階和8 階車輪多邊形，且異階異幅下更為顯著；單側非圓下的右側車輪出現(xiàn)了非常明顯的173 Hz 主頻振動。

圖15 各車輪圓周狀態(tài)下磨耗功時域和頻域圖Fig.15 Time domain and frequency domain diagrams of wear work of each wheel in circumferential state

綜上所述，輪對兩側車輪之間的相互作用對輪軌磨耗有著決定性的影響。同階狀態(tài)下，輪對兩側車輪之間的相互作用將會導致出現(xiàn)整倍數階的磨耗功，但低幅值時不明顯；異階狀態(tài)下，輪對兩側車輪之間的相互作用將會導致車輪磨耗功出現(xiàn)多個主頻振動，主頻包括自身階次、另一側車輪階次、兩側車輪階次之和以及高階次的整倍數階次。這種現(xiàn)象在低階次車輪體現(xiàn)的非常顯著，且輪對兩側車輪的階次和幅值相差越大越明顯。

4 結 論

結合實測數據對輪對兩側車輪圓周狀態(tài)進行歸類劃分，建立考慮輪對和構架柔性的車輛?軌道耦合系統(tǒng)動力學模型，探究輪對兩側車輪圓周狀態(tài)對輪軌動態(tài)作用響應的影響。研究結果表明：

（1）依據車輪圓周實測數據和離散傅里葉變換結果，理論上將輪對兩側車輪圓周狀態(tài)分為同階同幅、同階異幅、異階同幅、異階異幅和單側非圓五種形式。

（2）輪對兩側車輪之間的相互作用對輪軌接觸特性影響微弱，對輪軌蠕滑特性影響較為明顯，對輪軌磨耗的影響十分顯著。

（3）同階狀態(tài)導致車輪磨耗以整倍階次發(fā)展，異階狀態(tài)導致車輪磨耗以多個階次共存，包括自身階次、另一側車輪階次、兩側車輪階次之和以及高階次的整倍數階次。