崔 瀟，姚建偉，孫麗霞

(1.中國鐵道科學(xué)研究院 研究生部，北京 100081；2.中國鐵道科學(xué)研究院集團有限公司 鐵道科學(xué)技術(shù)研究發(fā)展中心，北京 100081)

列車在高速運行過程中，輪軌接觸非穩(wěn)態(tài)特性逐漸明顯，鋼軌波浪形磨耗、車輪多邊形磨損、輪軌接觸噪聲等都與其密切相關(guān)。輪軌非穩(wěn)態(tài)接觸是指當(dāng)車輪與鋼軌發(fā)生滾動接觸時，接觸表面上的任意質(zhì)點從進入接觸斑前沿到離開接觸斑后沿的過程中，輪軌接觸表面幾何外形、輪軌間法向力、蠕滑率等接觸相關(guān)參數(shù)發(fā)生較快變化的現(xiàn)象。Kalker最先研究了輪軌二維非穩(wěn)態(tài)問題[1-2]，利用復(fù)變函數(shù)方法將非穩(wěn)態(tài)問題轉(zhuǎn)換為實軸上的Riemann-Hilbert問題，并通過數(shù)值積分進行求解。Gonzales等[3]采用邊界元方法計算了二維非穩(wěn)態(tài)問題，獲得了與Kalker一致的結(jié)果。此后，學(xué)者們將研究范圍拓展到三維情況。Kalker基于邊界元方法和最小余能原理開發(fā)了CONTACT程序，并由Vollebregt[4]及其他學(xué)者逐步擴展。CONTACT程序目前已經(jīng)成為輪軌非穩(wěn)態(tài)接觸計算中公認的參考標(biāo)準(zhǔn)。CONTACT程序雖然計算結(jié)果精確，但計算量較大，無法在動力學(xué)軟件中直接集成使用。因此，很多學(xué)者進行了非穩(wěn)態(tài)接觸簡化模型的研究。

1 計算理論

1.1 輪軌非穩(wěn)態(tài)滾動接觸計算理論

利用Kalker三維滾動接觸精確解方法，計算輪軌非穩(wěn)態(tài)滾動接觸狀態(tài)。基于最小余能原理的CONTACT程序的計算理論可以表示為

(1)

最小值的求解可以視為一個優(yōu)化問題。當(dāng)2個接觸體選用的材料參數(shù)不同，無法視為準(zhǔn)同一問題時，該問題的求解可以分為法向求解和切向求解分別迭代計算。當(dāng)可以視為準(zhǔn)同一的情況下，則可以使用KOMBI算法直接迭代求解。

1.2 輪軌非穩(wěn)態(tài)滾動接觸蠕滑率/蠕滑力傳遞函數(shù)

輪軌非穩(wěn)態(tài)滾動接觸是一個復(fù)雜的問題，它與法向力、蠕滑率、接觸幾何、摩擦因數(shù)等諸多因素相關(guān)。基于CONTACT程序，將非穩(wěn)態(tài)參數(shù)(如蠕滑率)設(shè)為簡諧波動形式，計算蠕滑力相位與幅值增益。然后對非穩(wěn)態(tài)滾動接觸系統(tǒng)進行傳遞函數(shù)估計，從而評估非穩(wěn)態(tài)滾動接觸模型單個影響因素的性質(zhì)。

設(shè)系統(tǒng)的傳遞頻率響應(yīng)函數(shù)G(jω)為

(2)

式中：a0,a1,…,an為傳遞函數(shù)的系數(shù)；ω為蠕滑率簡諧波動的頻率。

利用倒幅相特性并將其分別展開為實部與虛部：

(3)

(4)

(5)

將計算獲得的頻率、幅值增益與相位代入到式(4)、式(5)，再通過最小二乘法，獲得式(4)、式(5)的系數(shù)，最終確定傳遞函數(shù)。

2 計算工況及結(jié)果分析

選取我國高速鐵路LMA型踏面車輪和CHN60型鋼軌。車輪半徑為430 mm，接觸點處車輪主輪廓線半徑為450 mm，接觸點處鋼軌頭主輪廓線半徑為300 mm。計算可知，接觸斑長軸半徑a≈6.61 mm，短軸半徑b≈3.71 mm，則靜態(tài)接觸斑的長短軸比a/b≈1.78。動靜摩擦因數(shù)均取0.4,靜態(tài)法向力為70 kN。

在僅考慮單一方向簡諧波動蠕滑率輸入的工況下，輸入的蠕滑率ξ采用如下形式

(6)

式中：x為前進方向距離；ξ0為參考蠕滑率；Δξ為蠕滑率波動分量；Lξ為蠕滑率波長；φ0為初始相位角。

根據(jù)Kalker線性理論，Δξ和蠕滑力波動分量ΔFξ之間的幅值增益gξ為

(7)

式中：G為剪切模量；C為Kalker線性理論常數(shù)。

Δξ和ΔFξ之間的相位差為

Δφ=φF-φ0

(8)

式中：φF為蠕滑力的相位角。

非穩(wěn)態(tài)蠕滑力相對蠕滑率的滯后效應(yīng)見圖1。

圖1 蠕滑力滯后效應(yīng)

在考慮其他方向蠕滑率共同影響的情況下，使用簡諧波動蠕滑率輸入時，其他方向蠕滑率采用恒定參考蠕滑率。對同一蠕滑率工況，通過計算多個不同波長比Lξ/a，可以獲得一系列的幅值增益和相位。根據(jù)公式(9)—式(11)，可將一系列幅值增益和相位的觀測值點對(gξ，Δφ)在復(fù)平面上采用Nyquist圖表示出來。

G(jω)=Re[G(jω)]+j Im[G(jω)]

(9)

A(ω)=|G(jω)|

(10)

(11)

式中：A(ω),φ(ω)分別為傳遞函數(shù)的幅值增益和相位。

采用最小二乘法在復(fù)平面上對觀測值進行擬合，則可以獲得蠕滑率/蠕滑力的傳遞函數(shù)。

2.1 單一方向蠕滑率對傳遞函數(shù)的影響

輸入簡諧波動的縱向蠕滑率，利用CONTACT程序計算輸出縱向蠕滑力。分別選取參考蠕滑率為0.1‰,1.0‰,2.0‰和3.0‰的工況，通過輸入多組不同波長的縱向蠕滑率，計算并擬合出縱向蠕滑率與縱向蠕滑力的傳遞函數(shù)。橫向蠕滑率/橫向蠕滑力、自旋蠕滑率/橫向蠕滑力擬合傳遞函數(shù)的方法與其一致。圖2為蠕滑力隨波長比Lξ/a變化的Nyquist圖。

參考蠕滑率/‰ 0.1 1.0 2.0 3.0圖2 蠕滑力隨波長比Lξ/a變化的Nyquist圖

Nyquist圖上的橫坐標(biāo)為A(ω)sin[φ(ω)]，即幅值增益在虛軸上的分量;縱坐標(biāo)為A(ω)cos[φ(ω)]，即幅值增益在實軸上的分量，其中ω取4πa/Lξ。對于圖2中同一參考蠕滑率下的每個數(shù)據(jù)點，輸入波長都采用了不同的波長比Lξ/a。圖2(a)表示以縱向蠕滑率為輸入，縱向蠕滑力作為輸出計算幅值增益和相位。

縱向蠕滑率/縱向蠕滑力、橫向蠕滑率/橫向蠕滑力傳遞函數(shù)可采用一階傳遞函數(shù)1/[a0+a1(jω)]進行擬合；自旋蠕滑率/橫向蠕滑力可采用三階傳遞函數(shù)1/[a0+a1(jω)+a2(jω)2+a3(jω)3]進行擬合。傳遞函數(shù)系數(shù)如表1—表3所示。

表1 縱向蠕滑率/縱向蠕滑力傳遞函數(shù)系數(shù)

表2 橫向蠕滑率/橫向蠕滑力傳遞函數(shù)系數(shù)

表3 自旋蠕滑率/橫向蠕滑力傳遞函數(shù)系數(shù)

從計算結(jié)果中可以看出隨著參考縱向、橫向或自旋蠕滑率不斷增大，對于同一波長蠕滑率的蠕滑力幅值增益不斷減小，相位延遲略有增加。傳遞函數(shù)系數(shù)隨蠕滑率的增加逐漸增加。自旋蠕滑率/橫向蠕滑力傳遞函數(shù)常數(shù)項和一階系數(shù)隨自旋蠕滑率的增加逐漸增加，二階系數(shù)基本不變，三階系數(shù)隨自旋蠕滑率的增加逐漸降低。為了對該傳遞函數(shù)進行驗證，選取了Lξ=5a的蠕滑率簡諧波動工況，蠕滑力對比結(jié)果如圖3所示?？梢娛褂梅欠€(wěn)態(tài)傳遞函數(shù)方法和使用Kalker理論計算所得蠕滑力幅值和相位均具有較好的一致性。

圖3 Kalker理論與非穩(wěn)態(tài)傳遞函數(shù)方法蠕滑力對比

2.2 其他方向蠕滑率對傳遞函數(shù)的影響

在2.1節(jié)中對傳遞函數(shù)進行計算時默認其他方向的蠕滑率為0。線性蠕滑理論公式假設(shè)橫向蠕滑率對縱向蠕滑力以及縱向蠕滑率對橫向蠕滑力均沒有影響，但事實上其他方向的蠕滑率對傳遞函數(shù)的性質(zhì)也會造成一定影響。為研究其他方向蠕滑率對傳遞函數(shù)的影響，設(shè)計2個計算工況。

工況1：在縱向參考蠕滑率不變的情況下，施加不同的橫向參考蠕滑率(橫向波動蠕滑率分量為0)，分別為0.1‰,1.0‰,2.0‰,3.0‰，從而研究橫向蠕滑率對縱向蠕滑率/縱向蠕滑力傳遞函數(shù)的影響。

工況2：在橫向參考蠕滑率不變的情況下，施加不同的縱向參考蠕滑率(縱向波動蠕滑率分量為0)，從而研究縱向蠕滑率對橫向蠕滑率/橫向蠕滑力傳遞函數(shù)的影響。

工況1中，縱向蠕滑率簡諧波動時縱向蠕滑力隨波長比Lξ/a及橫向參考蠕滑率變化如圖4(a)所示。工況2中，橫向蠕滑率簡諧波動時橫向蠕滑力隨波長比Lξ/a及縱向參考蠕滑率變化如圖4(b)所示。

其他方向的參考蠕滑率/‰ 0.1 1.0 2.0 3.0圖4 蠕滑力隨波長比及其他方向參考蠕滑率 變化的Nyquist圖

可采用一階傳遞函數(shù)1/[a0+a1(jw)]對圖4進行擬合。工況1采用縱向參考蠕滑率計算出的傳遞函數(shù)系數(shù)見表4。工況2采用橫向參考蠕滑率計算出的傳遞函數(shù)系數(shù)見表5。

表4 工況1傳遞函數(shù)系數(shù)

表5 工況2傳遞函數(shù)系數(shù)

工況1中，采用多種縱向參考蠕滑率計算的傳遞函數(shù)系數(shù)見圖5；工況2中，采用多種橫向參考蠕滑率計算的傳遞函數(shù)系數(shù)見圖6。

圖5 工況1傳遞函數(shù)系數(shù)

圖6 工況2傳遞函數(shù)系數(shù)

結(jié)果表明隨著橫向參考蠕滑率的增加，同一波長縱向蠕滑率的蠕滑力幅值增益不斷減小，相位延遲略有增加。且橫向蠕滑率對幅值增益的影響隨縱向蠕滑率的增加逐漸減小。當(dāng)縱向蠕滑率達到3.0‰時，橫向蠕滑率在0.1‰,1.0‰,2.0‰,3.0‰時的幅值增益均十分接近。傳遞函數(shù)系數(shù)a0和a1均隨縱向蠕滑率以及橫向蠕滑率的增加而增加。不同縱向參考蠕滑率時橫向蠕滑率/橫向蠕滑力傳遞函數(shù)規(guī)律與其一致。

3 結(jié)論

1)相對于傳統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)滾動接觸模型，非穩(wěn)態(tài)滾動接觸模型能夠體現(xiàn)接觸參數(shù)高頻變化對接觸力的影響，更適用于研究高速鐵路在高頻激勵作用下的輪軌瞬態(tài)響應(yīng)問題。使用非穩(wěn)態(tài)滾動接觸模型計算蠕滑率簡諧激勵時蠕滑力幅值增益減小，相位滯后。且隨著蠕滑率簡諧波動波長比Lξ/a的減小，蠕滑力幅值增益減小程度越大，相位滯后越多。

2)使用非穩(wěn)態(tài)傳遞函數(shù)方法和Kalker三維滾動接觸精確解方法計算時，蠕滑力幅值和相位均具有較好的一致性。隨著參考蠕滑率不斷增大，對于同一波長蠕滑率的蠕滑力幅值增益不斷減小，相位延遲略有增加。

3)在縱向蠕滑率簡諧激勵時，橫向參考蠕滑率的增大會減小縱向蠕滑力的幅值增益，但對縱向蠕滑力的相位滯后影響不大。這種幅值增益的減小效果隨著橫向參考蠕滑率的增大而逐漸減小。在橫向蠕滑率簡諧激勵時，縱向參考蠕滑率對橫向蠕滑力的影響與之相似。