范文亮，劉 丞，李正良

(1. 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院，重慶 400045；2. 山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(重慶大學(xué))，重慶 400045)

在結(jié)構(gòu)可靠度分析領(lǐng)域，研究者經(jīng)常使用概率分布模型來(lái)描述目標(biāo)結(jié)構(gòu)的荷載、材料屬性等不確定性因素。為考慮這些不確定性因素對(duì)結(jié)構(gòu)性能及安全性的影響，發(fā)展準(zhǔn)確而有效的可靠度分析方法是非常必要的。

一次可靠度方法[1-7]是最常用的可靠度分析方法。其中的驗(yàn)算點(diǎn)法(即Hasofer-Lind-Rackwitz-Fiessler 方法，簡(jiǎn)稱HLRF 法)以其迭代格式簡(jiǎn)單、收斂迅速，被廣泛應(yīng)用于求解可靠指標(biāo)，且研究者針對(duì)HLRF 法在面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)常出現(xiàn)的迭代迂回振蕩甚至不收斂的問(wèn)題，發(fā)展了一系列改進(jìn)的HLRF 法[8-11]。由于驗(yàn)算點(diǎn)的迭代計(jì)算在形式上可以表示為一個(gè)約束優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)引入拉格朗日乘子可得到與之等效的無(wú)約束優(yōu)化方程，因此，將收斂性能更優(yōu)的無(wú)約束優(yōu)化方法(如擬牛頓優(yōu)化方法等)引入可靠度分析是可行的研究方向。文獻(xiàn)[12]將擬牛頓優(yōu)化方法中的BFGS(Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno)方法[13]引入可靠度分析，并結(jié)合HLRF 法的步長(zhǎng)參數(shù)，提出了HLRF-BFGS方法，避免了傳統(tǒng)方法中的步長(zhǎng)搜索過(guò)程，改善了計(jì)算效率。

一次可靠度方法采用了功能函數(shù)在驗(yàn)算點(diǎn)處的線性近似，因此對(duì)于功能函數(shù)非線性程度較高的強(qiáng)非線性問(wèn)題，可靠指標(biāo)的精度往往很難保證。為此，在一次可靠度方法的基礎(chǔ)上，若引入功能函數(shù)在驗(yàn)算點(diǎn)處的二次函數(shù)近似，并以此為基礎(chǔ)計(jì)算可靠指標(biāo)，則形成了二次可靠度方法[14-18]。由于需要利用功能函數(shù)在驗(yàn)算點(diǎn)處的Hessian 矩陣，若采用差分法對(duì)其計(jì)算，盡管改善了計(jì)算精度，但降低了計(jì)算效率。利用擬牛頓優(yōu)化方法中對(duì)稱秩1 方法[13]近似Hessian 矩陣的良好特性[19]，文獻(xiàn)[20 - 21]分別將一次可靠度方法的傳統(tǒng)優(yōu)化求解結(jié)果或HLRF-BFGS 方法的求解結(jié)果與對(duì)稱秩1 方法的近似Hessian 矩陣計(jì)算相結(jié)合，給出了與一次可靠度方法具有相同效率的二次可靠度方法。然而，在利用各優(yōu)化方法獲得一次可靠度的結(jié)果后，上述方法均主觀地將迭代過(guò)程的結(jié)果直接用于對(duì)稱秩1 方法中Hessian 矩陣的正迭代，不能保證迭代結(jié)果的匹配性；此外，由于引入拉格朗日乘子處理約束優(yōu)化問(wèn)題，迭代過(guò)程中的Hessian矩陣是針對(duì)拉格朗日函數(shù)，而非功能函數(shù)，因此，嚴(yán)格意義上需通過(guò)拉格朗日函數(shù)的Hessian 矩陣確定功能函數(shù)的Hessian 矩陣。

為此，本文將修正對(duì)稱秩1 方法[22]與HLRF 法的步長(zhǎng)確定策略相結(jié)合，發(fā)展了一種具有更優(yōu)收斂性能的改進(jìn)一次可靠度方法；其次，利用改進(jìn)一次可靠度方法的迭代結(jié)果給出了功能函數(shù)的近似Hessian 矩陣，保證了一次可靠度分析與Hessian矩陣近似中參數(shù)的匹配性。然后，結(jié)合坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)、單變量降維近似模型與非中心卡方分布，提出了可兼顧效率和精度的改進(jìn)二次可靠度方法。

1 基于修正對(duì)稱秩1 方法的改進(jìn)一次可靠度方法

1.1 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間內(nèi)可靠度問(wèn)題的等價(jià)描述

式中：ρX為X的相關(guān)系數(shù)矩陣；μi和σi分別為X的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；Herk(·)為Hermite 正交多項(xiàng)式；φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的概率密度函數(shù)；mi為方程的最高次數(shù)。表1 給出了三種常用分布的mi，其余常用分布的mi詳見文獻(xiàn)[23]。

表1 常用分布的miTable 1 mi for common distribution

由上述Nataf 變換，可得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的功能函數(shù)表達(dá)式：

1.2 基于HLRF 法與修正對(duì)稱秩1 方法的可靠度分析

1.2.1 基于修正對(duì)稱秩1 方法的可靠度分析

對(duì)于式(10)所示的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，可以采用各種優(yōu)化方法求解。擬牛頓優(yōu)化方法是一類具有較好收斂性能的優(yōu)化方法，其中的對(duì)稱秩1 方法在保持良好收斂特性的同時(shí)可以獲得較好的近似Hessian 矩陣[19]，修正對(duì)稱秩1 方法[22]由于在優(yōu)化迭代過(guò)程中更充分地利用了功能函數(shù)的函數(shù)值與一階偏導(dǎo)數(shù)值，具有比對(duì)稱秩1 方法和BFGS方法等擬牛頓優(yōu)化方法更好的收斂性能和計(jì)算效率，因此，文中引入修正對(duì)稱秩1 方法求解上述優(yōu)化問(wèn)題。

1.3 隱式功能函數(shù)的處理

綜合1.1 節(jié)～1.3 節(jié)，即可形成一種無(wú)步長(zhǎng)搜索的高效一次可靠度分析方法，本文將其稱為基于修正對(duì)稱秩1 方法的改進(jìn)一次可靠度方法，簡(jiǎn)稱為改進(jìn)一次可靠度方法或建議方法1。

1.4 改進(jìn)一次可靠度方法的實(shí)現(xiàn)步驟

文中建議的改進(jìn)一次可靠度方法的實(shí)現(xiàn)步驟為：

1) 計(jì)算等效相關(guān)系數(shù)，將原始空間隨機(jī)向量X轉(zhuǎn)換為獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)向量U。

2 功能函數(shù)的近似Hessian 矩陣及改進(jìn)二次可靠度方法

功能函數(shù)的Hessian 矩陣計(jì)算是二次可靠度方法的重要環(huán)節(jié)。由于在第1 節(jié)改進(jìn)一次可靠度方法的過(guò)程中利用了Hessian 矩陣的逆矩陣，盡管該逆矩陣是針對(duì)拉格朗日函數(shù)的，但仍可能在不增加功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)的基礎(chǔ)上獲得功能函數(shù)的Hessian 矩陣近似解。

2.1 基于修正對(duì)稱秩1 方法的功能函數(shù)近似Hessian矩陣

2.1.1 拉格朗日函數(shù)的近似Hessian 矩陣

2.2 基于非中心卡方分布積分的改進(jìn)二次可靠度方法

2.2.1 基于正交矩陣的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)

為降低二次近似函數(shù)中交叉項(xiàng)的影響，一般需采用正交矩陣進(jìn)行坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)。常用的正交矩陣有：1) 由梯度向量正交化確定的正交矩陣[27]；2) Hessian 矩陣的特征向量矩陣[28]；3) 上述兩個(gè)矩陣的乘積[20]?？紤]到文中Hessian 矩陣是近似確定的，為避免誤差累積，故由梯度向量正交化確定的正交矩陣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。

綜合2.1 節(jié)和2.2 節(jié)，即可形成一種更好地兼顧精度與效率的二次可靠度分析方法，本文將其稱為改進(jìn)二次可靠度方法。

2.3 改進(jìn)二次可靠度方法的實(shí)現(xiàn)步驟

在第1 節(jié)改進(jìn)一次可靠度方法的基礎(chǔ)上，改進(jìn)二次可靠度方法的實(shí)現(xiàn)步驟如下：

1) 基于改進(jìn)一次可靠度方法的計(jì)算結(jié)果，可根據(jù)迭代法(結(jié)合式(18)、式(21))或求逆法(結(jié)合式(19)、式(21))計(jì)算功能函數(shù)的近似Hessian 矩陣。

4) 基于式(36)求解失效概率，其中，F(xiàn)Z(·|s,δ)可直接調(diào)用MATLAB 軟件中的 ncx2cdf(·|s,δ)命令計(jì)算。

由于存在迭代法和求逆法兩種確定Hessian 矩陣的方式，文中把與之對(duì)應(yīng)的改進(jìn)二次可靠度方法分別稱為建議方法2-1 與建議方法2-2。

3 算例分析

為了驗(yàn)證所提出方法的有效性，文中分別對(duì)2 個(gè)純數(shù)學(xué)表達(dá)式的功能函數(shù)算例和2 個(gè)具有工程背景的算例進(jìn)行分析。其中，前兩者視為功能函數(shù)表達(dá)式已知的顯式功能函數(shù)情形，其分析次數(shù)為函數(shù)調(diào)用次數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算次數(shù)的和；后兩者視為功能函數(shù)表達(dá)式未知的隱式功能函數(shù)情形，功能函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)采用差分法計(jì)算，其分析次數(shù)為函數(shù)調(diào)用的次數(shù)。同時(shí)，為考察建議方法的精度與效率，文中將其與一次可靠度方法中的HLRF法[5]、HLRF-BFGS 方法[12]和二次可靠度方法中的Breitung 方法[14]、擬牛頓近似方法[21]進(jìn)行對(duì)比分析。其中，文獻(xiàn)[21]是將近似的Hessian 矩陣與常用的7 種二次可靠度方法分別結(jié)合的結(jié)果的均值作為最終結(jié)果，為簡(jiǎn)便，本文僅采用其與Breitung方法結(jié)合的結(jié)果。各方法精度比較時(shí)，以抽樣數(shù)為108的Monte Carlo 法(記為MCS)結(jié)果作為標(biāo)準(zhǔn)解，各方法的誤差為：

由表3 結(jié)果可知，本文建議方法1 相比HLRF法和HLRF-BFGS 方法而言，能夠更快收斂，減少了功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)，而且達(dá)到了近乎相同的一次可靠指標(biāo)精度，但是上述三種一次可靠度方法的結(jié)果精度都不理想。本文建議的改進(jìn)二次可靠度方法在改進(jìn)一次可靠度方法的基礎(chǔ)上，不額外增加函數(shù)調(diào)用次數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算次數(shù)，用更高的效率達(dá)到了與二次可靠度方法的Breitung 方法、擬牛頓近似方法相近的精度。值得注意的是，建議方法2-1 與建議方法2-2 的效率與精度完全一致，這驗(yàn)證了本文所提改進(jìn)二次可靠度方法在一次可靠度分析與Hessian 矩陣近似過(guò)程中是自洽的。其余算例在自洽性方面都有相同結(jié)論，因此后續(xù)算例不再進(jìn)行討論。

表2 算例1 中隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征Table 2 Statistical characteristics of the random variables in Example 1

表3 算例1 中可靠度計(jì)算結(jié)果Table 3 computed reliability results of Example 1

算例2. 四變量功能函數(shù)

假設(shè)功能函數(shù)為[28]：

由表4 結(jié)果可知，一次可靠度方法中，本文建議方法1 在效率上與HLRF 法、HLRF-BFGS 方法相當(dāng)，且該三種方法的精度都完全一致，但與MCS 結(jié)果相比誤差偏大。建議方法2-1 在效率與建議方法1 相同的情況下，提高了可靠指標(biāo)精度，相比Breitung 方法、擬牛頓近似方法而言誤差更小。因此，本文建議的二次可靠度方法能更好地兼顧精度與效率。

表4 算例2 中可靠度計(jì)算結(jié)果Table 4 computed reliability results of Example 2

由表4 結(jié)果可知，一次可靠度方法中，本文建議方法1 在效率上與HLRF 法、HLRF-BFGS 方法相當(dāng)，且該三種方法的精度都完全一致，但與MCS 結(jié)果相比誤差偏大。建議方法2-1 在效率與建議方法1 相同的情況下，提高了可靠指標(biāo)精度，相比Breitung 方法、擬牛頓近似方法而言誤差更小。因此，本文建議的二次可靠度方法能更好地兼顧精度與效率。

算例3. 三變量工程實(shí)例

考慮Chan 和Low[32]首次提出的一個(gè)柔性矩形基礎(chǔ)沉降問(wèn)題，并對(duì)其變量類型進(jìn)行修改，沉降問(wèn)題的功能函數(shù)可以表示為：

假設(shè)泊松比與彈性模量之間的相關(guān)系數(shù)為0.5，部分確定性參數(shù)見表5，隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征見表6。表7 給出了可靠度計(jì)算結(jié)果。

表5 確定性參數(shù)Table 5 deterministic parameters

表6 算例3 中隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征Table 6 Statistical characteristics of the random variables in Example 3

表7 算例3 中可靠度計(jì)算結(jié)果Table 7 computed reliability results of Example 3

由計(jì)算結(jié)果可知，一次可靠度方法中，建議方法1 與HLRF-BFGS 方法具有一致的精度與效率，相比HLRF 法具有更高的效率。建議方法2-1相比Breitung 方法而言在保持相近的精度的同時(shí)，具有顯著的效率提高，與擬牛頓近似方法相比，盡管兩種方法效率一致，但建議方法在精度上有明顯的改善，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文建議的改進(jìn)二次可靠度方法在兼顧效率和精度上的優(yōu)勢(shì)。

算例4. 多變量工程問(wèn)題

考慮文獻(xiàn)[33]的具有9 個(gè)隨機(jī)變量的懸臂管工程算例，如圖1 所示，懸臂管在x-y平面上受集中荷載F1、F2，在y-z平面受軸力P與扭矩T，圖1中的A點(diǎn)將出現(xiàn)最大的Von-Mises 應(yīng)力σmax，將σmax超過(guò)材料的屈服強(qiáng)度Sy作為失效準(zhǔn)則，于是功能函數(shù)為：

圖1 懸臂管Fig. 1 Cantilever tube

算例中兩個(gè)角度為定值，θ1=5o、θ2=10o。懸臂管隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征見表8，其中，原文獻(xiàn)中可靠指標(biāo)偏低，文中對(duì)屈服強(qiáng)度參數(shù)進(jìn)行調(diào)整以達(dá)到高可靠指標(biāo)。表9 給出了可靠度計(jì)算結(jié)果。

表8 算例4 中隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征Table 8 Statistical characteristics of the random variables in Example 4

表9 算例4 中可靠度計(jì)算結(jié)果Table 9 computed reliability results of Example 4

可以看出，本文建議方法1 與HLRF 法在效率和精度上都一致，相比HLRF-BFGS 方法而言收斂更快。建議方法2-1 在效率和精度上，相比已有的二次可靠度方法都有一定改善。

4 結(jié)論

本文引入拉格朗日乘子，將約束優(yōu)化的可靠度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，并結(jié)合修正對(duì)稱秩1 方法與HLRF 法，提出了具有較好收斂性的改進(jìn)一次可靠度方法。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)、單變量降維近似和非中心卡方分布進(jìn)一步提出了改進(jìn)二次可靠度方法。通過(guò)算例分析可得到如下結(jié)論：

(1)由于修正對(duì)稱秩1 方法的良好收斂特性和HLRF 法無(wú)需迭代確定步長(zhǎng)的特點(diǎn)，本文的改進(jìn)一次可靠度方法繼承了兩者的優(yōu)點(diǎn)，既有良好的收斂性，亦有較高的效率。

(2)由于近似的Hessian 矩陣既可以基于改進(jìn)一次可靠度方法的迭代過(guò)程結(jié)果確定，亦可以由最終的Hessian 逆矩陣求逆獲得，且能保持兩者結(jié)果的一致性，因此，本文的改進(jìn)二次可靠度方法在一次可靠度分析與Hessian 矩陣近似過(guò)程中是自洽的。

(3)由于改進(jìn)二次可靠度方法所采用的Hessian矩陣不需要額外調(diào)用功能函數(shù)，因此，本文的改進(jìn)二次可靠度方法可以更好地兼顧效率與精度。

(4)由于引入差分近似偏導(dǎo)數(shù)，本文的建議方法均適用于顯式、隱式功能函數(shù)。