鄭諾希, 李 武, 周小強(qiáng), 劉 鋼

(湖南理工學(xué)院信息科學(xué)與工程學(xué)院, 湖南 岳陽 414000)

0 引 言

在工程、管理、經(jīng)濟(jì)、軍事等領(lǐng)域,人們面臨許多多屬性決策與評(píng)價(jià)問題,很多學(xué)者進(jìn)行了大量的理論研究和方法探索。文獻(xiàn)[4]結(jié)合文獻(xiàn)[7]對(duì)評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行規(guī)范化處理,把評(píng)價(jià)向量在理想向量上的投影作為綜合評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),以此來評(píng)價(jià)備選方案或候選對(duì)象的優(yōu)劣,即投影決策法。隨后,諸多學(xué)者對(duì)投影決策法進(jìn)行了研究,從不同方面進(jìn)行了改進(jìn)、擴(kuò)展或應(yīng)用。

文獻(xiàn)[8]基于投影決策法提出了主成份投影法,旨在解決屬性間的信息重疊問題。文獻(xiàn)[9]結(jié)合數(shù)學(xué)規(guī)劃模型,便于處理區(qū)間數(shù)屬性權(quán)重不確定問題。文獻(xiàn)[10]進(jìn)一步討論了基于投影的區(qū)間數(shù)評(píng)價(jià)。文獻(xiàn)[11]結(jié)合數(shù)學(xué)規(guī)劃和區(qū)間型理想點(diǎn),提出了基于投影的區(qū)間型多屬性決策兩階段優(yōu)化模型。文獻(xiàn)[12]為了避免模糊矢量之間進(jìn)行比較,建立了一種新的模糊矢量投影評(píng)價(jià)法。文獻(xiàn)[13]進(jìn)一步擴(kuò)展到三角模糊數(shù),提出了一種基于線性規(guī)劃和投影的模糊多屬性決策新方法。文獻(xiàn)[14-15]將投影決策法擴(kuò)展到直覺模糊數(shù)和區(qū)間直覺模糊數(shù)。還有一些學(xué)者提出了多種針對(duì)其他決策數(shù)據(jù)類型的投影決策法。值得注意的是,矢量投影法與灰色關(guān)聯(lián)理論結(jié)合也取得了一定的研究成果。投影決策法及其擴(kuò)展方法在效能評(píng)估、裝備方案評(píng)價(jià)、可持續(xù)技術(shù)方案、風(fēng)險(xiǎn)分配等方面都有很好的應(yīng)用。

文獻(xiàn)[35]考慮到正負(fù)理想點(diǎn),在空間上構(gòu)造了一種綜合評(píng)價(jià)方程,很好地從側(cè)面驗(yàn)證了文獻(xiàn)[4]的有效性。文獻(xiàn)[36]針對(duì)文獻(xiàn)[4,35]存在決策向量在理想向量上投影值相等而無法判斷方案的優(yōu)先順序的問題,提出了一種新的帶距離相似度的投影決策法。文獻(xiàn)[37]指出文獻(xiàn)[36]引入的距離相似度會(huì)導(dǎo)致新的問題產(chǎn)生,針對(duì)此提出了一種新的余弦相似度與距離相似度相結(jié)合的方法。文獻(xiàn)[38]在猶豫模糊信息下,融合了逼近理想解排序(technique for order preference by similarity to ideal solution, TOPSIS)思想,提出了一種折中的雙向投影法。文獻(xiàn)[40]考慮到?jīng)Q策者的偏好,強(qiáng)調(diào)了模相似度,提出了一種新的帶模相似度的投影決策法。然而,上述相關(guān)投影決策法及衍生方法關(guān)注到向量相似度及組合方法不夠全面會(huì)產(chǎn)生空間評(píng)價(jià)失效的情況,從而導(dǎo)致某些評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)失效,這樣有時(shí)會(huì)導(dǎo)致違背決策者的意愿或者出現(xiàn)異常的評(píng)價(jià)結(jié)果。

因此,本文結(jié)合矢量投影思想、距離測度、向量相似度、決策者偏好對(duì)其進(jìn)行改進(jìn),提出理想偏移向量的定義,構(gòu)造新的綜合評(píng)價(jià)函數(shù)。本方法對(duì)模相似度、距離相似度、余弦相似度和方向相似度進(jìn)行綜合考慮,對(duì)理想向量進(jìn)行調(diào)整,既能更好地反映評(píng)價(jià)向量與理想向量的接近程度,還有利于融入決策者的偏好。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 問題描述

設(shè)多屬性決策的方案集為={,,…,},屬性集={,,…,},決策矩陣為={}×。

設(shè)={,,,},其中(=1,2,3,4)分別表示效益型、成本型、固定型以及區(qū)間型屬性集。對(duì)不同的屬性進(jìn)行規(guī)范化處理:

(1)

(2)

(3)

式中:為屬性的最佳穩(wěn)定值。

(4)

式中:[1,2]為屬性的最佳穩(wěn)定區(qū)間。

由規(guī)范化后的矩陣={}×,可知各個(gè)方案的決策向量=(1,2,…,)。由文獻(xiàn)[7,36]可知,采用式(1)～式(4)分別對(duì)效益型、成本型、固定型以及區(qū)間型屬性值規(guī)范化后,屬性值最大均為1,最小均為0。顯然,各評(píng)價(jià)屬性的理想屬性值為

1.2 現(xiàn)有方法的相關(guān)分析

設(shè)第個(gè)決策向量與理想向量之間的夾角為,如圖1所示。

圖1 決策向量Ai與理想向量A*的幾何關(guān)系示意圖Fig.1 Schematic diagram of geometric relationship between decision vector Aiand ideal vector A*

則決策向量與理想向量的夾角余弦為

(5)

記決策向量到理想向量的距離向量為

=-

(6)

決策向量在理想向量上的投影為

(7)

式(7)表明:當(dāng)余弦相似度(非負(fù))相等時(shí),決策向量的模越大,則方案越優(yōu);當(dāng)決策向量的模相等時(shí),余弦相似度越大(即夾角越小),則方案越優(yōu)。但式(7)無法有效評(píng)價(jià)模相似度小但余弦相似度大或模相似度大但余弦相似度小的情況。

文獻(xiàn)[35]考慮到TOPSIS法的空間特性,構(gòu)建了一種綜合評(píng)價(jià)方程,即正交投影法,可得決策向量的綜合評(píng)價(jià)函數(shù):

(8)

由式(8)可知,文獻(xiàn)[35]強(qiáng)調(diào)了方案與負(fù)理想解的關(guān)系,遍歷所有方案之后得到的正負(fù)理想解是固定的,從側(cè)面驗(yàn)證了文獻(xiàn)[4]的可取之處。

文獻(xiàn)[36]指出文獻(xiàn)[4,35]給出的決策向量在理想向量上的投影值有時(shí)不能對(duì)決策向量進(jìn)行排序。例如,圖2中=。

圖2 決策向量Ai在理想向量A*上投影值相等的情況Fig.2 The case where the decision vector Aihas the same projection value on the ideal vector A*

(9)

(10)

式(10)表明:當(dāng)余弦相似度(非負(fù))相等時(shí),距離相似度越小,則方案越優(yōu);當(dāng)距離相似度相等時(shí),余弦相似度越大,則方案越優(yōu)。但式(10)無法有效評(píng)價(jià)距離相似度和余弦相似度同時(shí)都小或同時(shí)都大的情況。

文獻(xiàn)[38]借鑒了TOPSIS等方法的貼進(jìn)度測算公式,同時(shí)考慮遍歷所有方案的正負(fù)理想點(diǎn),提出了一種折中的雙向投影法,即定義了決策向量的綜合評(píng)價(jià)函數(shù):

(11)

由式(11)可知,文獻(xiàn)[38]很好地解決了決策向量在理想向量上投影值相等的問題,但忽略了文獻(xiàn)[4]方法的優(yōu)越性,導(dǎo)致容易引入新的問題,例如第4節(jié)案例及分析部分某些投影值小但距離相似度大的情況。

文獻(xiàn)[40]強(qiáng)調(diào)了模相似度,即定義了決策向量的綜合評(píng)價(jià)函數(shù)?:

(12)

式中:∈[0,+∞);

式(12)表明,根據(jù)的不同,綜合評(píng)價(jià)函數(shù)?傾向于投影一致性或者模相似度一致性。

但對(duì)于圖3中的例子,余弦相似度為零導(dǎo)致投影為零,式(7)～式(12)會(huì)導(dǎo)致綜合評(píng)價(jià)函數(shù)失效,從而文獻(xiàn)[4,35-38,40]都無法有效評(píng)價(jià)。

圖3 投影相等并且夾角為90°的情況Fig.3 The case when the projections are equal and the included angle is 90°

為此,本文將決策向量在理想決策向量上的投影思想與向量接近程度結(jié)合起來,給出一種多屬性決策與評(píng)價(jià)的新方法,能解決上述無法進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)的問題。

2 相似度一致性的投影決策方法

2.1 理想偏移向量

由式(6)可知:理想向量是由評(píng)價(jià)向量與距離向量組成的。則理想偏移向量可定義為

=+=(1-)+

(13)

式中:∈[0,+∞),且與理想向量的偏移程度有關(guān)。當(dāng)接近0時(shí),理想向量向決策向量靠近;當(dāng)=1時(shí),=表明理想向量無偏移;當(dāng)遠(yuǎn)離1趨向于+∞時(shí),理想向量向決策向量遠(yuǎn)離。理想偏移向量通過參數(shù)可對(duì)理想向量的模、方向進(jìn)行調(diào)整,從而調(diào)整與決策向量的模相似度、距離相似度、余弦相似度和方向相似度之間的權(quán)重。

2.2 改進(jìn)的投影決策法

基于理想偏移向量,下面定義一種決策向量的綜合評(píng)價(jià)函數(shù):

(14)

設(shè)={=|=1,2,…,},∈[0,+∞),為待評(píng)估和決策方案的個(gè)數(shù),是偏好系數(shù)。當(dāng)越接近0時(shí),決策者越傾向于決策方案與理想方案的模相似度的一致性;當(dāng)從右邊臨近1時(shí),決策者傾向于決策方案與理想方案的距離相似度的一致性;當(dāng)越趨向于+∞時(shí),決策者越傾向于決策方案與理想方案的方向相似度的一致性。特別地,如果=1,那么=,和文獻(xiàn)[4]中綜合評(píng)價(jià)函數(shù)一致,即式(7)綜合了模、方向的評(píng)價(jià),表明決策者完全忽視了文獻(xiàn)[4]的不利影響。

2.3 多屬性評(píng)價(jià)步驟

基于以上理想偏移向量和綜合評(píng)價(jià)函數(shù),多屬性評(píng)價(jià)基本步驟如下。

根據(jù)決策者的偏好確定偏好系數(shù)。

按照值的大小進(jìn)行評(píng)價(jià)與決策。

3 有效性分析

3.1 決策向量與理想偏移向量的關(guān)系

決策向量與理想偏移向量之間的幾何關(guān)系如圖4所示。

圖4 決策向量Ai與理想偏移向量Ui之間的幾何關(guān)系Fig.4 Geometric relationship between the decision vector Aiand the ideal offset vector Ui

(1) 由可以計(jì)算出:

① 當(dāng)=1時(shí),則=1=,反之也成立。

② 當(dāng)=0時(shí),則=0=,反之也成立。

③ 可得:

==1-=0

綜上所述,本文給出的理想偏移向量具有調(diào)節(jié)作用。由式(7)～式(12)可知:文獻(xiàn)[4,35-38,40]給出的方法各有優(yōu)勢,但本文基于理想偏移向量構(gòu)造的一種新的綜合評(píng)價(jià)函數(shù)集成了文獻(xiàn)[4,35-38,40]的優(yōu)勢,起到了改進(jìn)、擴(kuò)展和補(bǔ)充的作用。

3.2 決策向量之間的評(píng)價(jià)關(guān)系

決策向量之間的綜合評(píng)價(jià)效果如圖5所示。

圖5 決策向量之間的綜合評(píng)價(jià)效果圖Fig.5 Comprehensive evaluation effect diagram between decision vectors

在平面幾何中,向量之間不僅存在模和方向的差異,還存在距離測度的不同。當(dāng)一個(gè)方案3個(gè)方面的相似度都優(yōu)于另一個(gè)方案,則能直接評(píng)價(jià)兩個(gè)方案的優(yōu)劣;當(dāng)一個(gè)方案3個(gè)方面的相似度不劣于并有至少一個(gè)方面優(yōu)于另一個(gè)方案,如圖5所示,從直觀上也能評(píng)價(jià)兩個(gè)方案的優(yōu)劣。因此,考慮在空間評(píng)價(jià)中方案至少存在一個(gè)方面的差異,同時(shí)研究模長、方向和距離測度的評(píng)價(jià)方法顯得十分有必要。

其次,由圖5可知,當(dāng)在臨近1時(shí),1=1(2=1)>5=1>3=1(4=1)能使相對(duì)綜合評(píng)價(jià)位置不變;當(dāng)從右邊靠近1時(shí),2>1>1>1>5>1>3>1>4>1,這體現(xiàn)了決策者注重距離相似度的評(píng)價(jià);當(dāng)從左邊靠近1時(shí),1<1>2<1>5<1>4<1>3<1,這體現(xiàn)了決策者注重模相似度的評(píng)價(jià)。

然后,綜合式(10)和圖5可以判斷,單一相似度的衍生綜合評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)可能會(huì)導(dǎo)致評(píng)價(jià)失效。

最后,通過圖5可以得出,數(shù)據(jù)尺度的不同將直接影響數(shù)據(jù)綜合評(píng)價(jià)失效的數(shù)量。例如百分制評(píng)分和十分制打分的數(shù)據(jù)分布離散程度是不同的。

4 案例及分析

4.1 案例分析

為了方便比較,本文選用文獻(xiàn)[4]中1992年我國16個(gè)省份主要工業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(見表1)。

表1 1992年全國部分省、直轄市主要工業(yè)經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)Table 1 Comparison of main industrial economic benefit indexes in some provinces and municipalities of China in 1992

續(xù)表1Continued Table 1

已知方案集為={北京(),天津(),上海(),…,山西()},屬性集為

式中:是成本型屬性,其余均為效益性屬性。各屬性權(quán)向量為

=(0229 6,0187 6,0155 7,0265 6,0161 4)

下面利用本文提出的多屬性相似度一致性投影決策法進(jìn)行分析,計(jì)算步驟如下:

得到的決策矩陣如表1所示。

對(duì)不同的屬性進(jìn)行規(guī)范化處理得到規(guī)范后的決策矩陣(見表2)和理想決策向量。

表2 規(guī)范化后的決策矩陣Table 2 Normalized decision matrix

根據(jù)表2得到理想決策向量為

由式(13)可得各個(gè)方案的理想偏移向量為

根據(jù)表2可得加權(quán)決策矩陣(見表3)和加權(quán)理想決策向量。

表3 加權(quán)決策矩陣Table 3 Weighted decision matrix

根據(jù)表3可得加權(quán)理想決策向量:

由式(13)可得各個(gè)方案的加權(quán)理想偏移向量為

=(1-)+

根據(jù)決策者的偏好確定偏好系數(shù),不妨取偏好系數(shù)=12。

計(jì)算各個(gè)方案的綜合評(píng)價(jià)值。

在偏好系數(shù)=12下,本文提出方法的綜合評(píng)價(jià)函數(shù)可表示為

從而可得各方案綜合評(píng)價(jià)值,如表4所示。

表4 各方案的綜合評(píng)價(jià)值Table 4 Comprehensive evaluation value of each scheme

由綜合評(píng)價(jià)值可知>>>>>>>>>>>>>>>,則在偏好系數(shù)的綜合評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)下,最佳方案是()。

4.2 不同偏好系數(shù)下的綜合評(píng)價(jià)值

為了進(jìn)一步說明本文得到的排序在均衡考慮決策向量與理想向量接近程度的關(guān)鍵因素方面哪個(gè)更合理,根據(jù)表3計(jì)算了方案在不同偏好系數(shù)下的綜合評(píng)價(jià)值,如圖6所示。

圖6 方案在不同偏好系數(shù)β的情況下的綜合評(píng)價(jià)值Fig.6 Comprehensive evaluation value of the scheme under different preference coefficients β

表5 按照單一相似度排序Table 5 Sort by single similarity

首先,從圖6和表5可以看出,當(dāng)增加時(shí),方案與方案之間的相對(duì)位置變化穩(wěn)定,這表明相應(yīng)相似度的權(quán)重緩慢變化。

最后,綜合圖6和表5還可以看出,方案3(上海)與方案9(遼寧)的相對(duì)位置不發(fā)生變化,體現(xiàn)了所提方法不因偏好系數(shù)的變化而影響絕對(duì)優(yōu)勢、相對(duì)優(yōu)勢(上海、遼寧)和絕對(duì)劣勢的客觀評(píng)價(jià),本文的方法保留了相似度之間的客觀優(yōu)勢。

4.3 算例結(jié)果的比較分析

表6 7種方法的決策結(jié)果比較Table 6 Comparison of decision results of seven methods

通過表6可以看出,除了采用雙向投影法外,是最好的方案,是最差的方案。

綜合表4、表5和圖6,為了避免重復(fù)表述,下面對(duì)文獻(xiàn)[4,36,40]的方法與本文方法得到的排序結(jié)果進(jìn)行比較分析。

本文與文獻(xiàn)[4]所提方法的排序結(jié)果相同,這驗(yàn)證了本文方法的有效性。同時(shí),本文取=12的式(14)提高了距離相似度和方向相似度的權(quán)重,降低了模相似度的權(quán)重,從而導(dǎo)致的值發(fā)生變化。同理,當(dāng)偏好系數(shù)∈[097,15]時(shí),其排序結(jié)果與文獻(xiàn)[4]相同;當(dāng)偏好系數(shù)∈[17,18]時(shí),其排序結(jié)果與文獻(xiàn)[36]相同;當(dāng)偏好系數(shù)∈[09,095]時(shí),其排序結(jié)果與文獻(xiàn)[40]相同。這進(jìn)一步表明所提方法綜合考慮了模相似度、距離相似度、投影的一致性。

綜上所述,本文所提方法主要有以下幾方面的優(yōu)勢:

(1) 綜合考慮了4種相似度,能避免單一相似度的不全面和綜合評(píng)價(jià)函數(shù)的失效;

(2) 評(píng)價(jià)函數(shù)相比文獻(xiàn)[36,40]更簡單,當(dāng)備選方案和屬性個(gè)數(shù)較多時(shí),該優(yōu)勢將會(huì)體現(xiàn)得更加明顯;

(3) 考慮到主觀因素對(duì)理想向量的調(diào)整;

(4) 有利于融入決策者的偏好,還有利于評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一;

(5) 相似度之間的客觀優(yōu)勢不隨偏好系數(shù)的變化而改變,能一定程度上限制決策者的隨意性,更好地發(fā)揮決策者的主觀能動(dòng)性,體現(xiàn)了在復(fù)雜環(huán)境下主觀與客觀評(píng)價(jià)相互有益的補(bǔ)充。

5 結(jié) 論

本文給出了多屬性決策與評(píng)價(jià)的新方法——相似度一致性的投影決策法,并對(duì)現(xiàn)有相關(guān)方法進(jìn)行了梳理和評(píng)價(jià)。然而,本文給出的理想偏移向量容易受到?jīng)Q策者之間偏好的影響,如何綜合所有的評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)擬合一條穩(wěn)定的理想偏移曲線值得考慮。對(duì)于高維空間數(shù)據(jù)映射到平面空間進(jìn)行評(píng)價(jià)可能存在信息重疊的現(xiàn)象,不僅要考慮決策者的標(biāo)準(zhǔn)偏好,還要考慮與具體目標(biāo)結(jié)合建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型,才可能避免高維曲線這類問題。在影響決策者偏好因素方面,還需要進(jìn)一步的研究。

隨著其他理論的多元發(fā)展,結(jié)合本文提出的方法,對(duì)于不同的數(shù)據(jù)類型,決策規(guī)則更加多樣;對(duì)于不同評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)分布,評(píng)價(jià)角度更加靈活。還需要指出的是,本文的方法與密度中間算子結(jié)合,在決策的兩個(gè)層面表達(dá)了決策者的標(biāo)準(zhǔn)一致性和群體評(píng)價(jià)意見偏向,更有利于決策者精細(xì)化的表達(dá),這可能會(huì)促使群決策問題新的思考。