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        基于量子概率理論的出行方式選擇模型研究

        2022-09-02 04:05:56王鈺涵趙傳林孫淑敏賀少松
        公路交通技術(shù) 2022年4期
        關(guān)鍵詞:決策者信念量子

        王鈺涵,趙傳林,孫淑敏,賀少松

        (北京建筑大學(xué) 土木與交通工程學(xué)院,北京 102616)

        隨機效用最大化模型已主導(dǎo)出行選擇建模數(shù)十年,但其不能充分解釋行為復(fù)雜性,這一不足使人們不斷探索新的建模方法?;谛в米畲蠡碚摰姆羌嫸囗桳ogit模型因其概念明確、計算方便的特點,逐漸成為目前出行方式選擇研究領(lǐng)域中運用最為廣泛的方法,但模型要求出行者選擇結(jié)果的影響因素彼此之間應(yīng)無相互影響,這在現(xiàn)實條件下難以滿足。其他擴展研究成果如后悔最小化理論、決策場理論等選擇模型也未撼動隨機效用最大化模型的主導(dǎo)地位。

        綜上分析,量子概率的思想跳出了效用最大化和后悔最小化理論的框架,不是通過在模型中加入效用函數(shù)的隨機抽樣來產(chǎn)生概率輸出,而是運用量子理論解決認(rèn)知、決策過程中的不確定性問題,實現(xiàn)了對個體決策過程隨機性的描述。已有研究者通過試驗研究證明,人類的決策行為其實就是量子行為,但目前國內(nèi)并未有將量子概率理論應(yīng)用到出行方式選擇模型問題方面的研究。本文在介紹幾何類量子概率模型基礎(chǔ)上,結(jié)合對模型參數(shù)的敏感性分析,討論出行方式選擇問題。

        1 量子概率模型

        1999年,物理學(xué)家通過延遲選擇量子擦除試驗證明:任何一種基本的量子現(xiàn)象,只有在其被記錄之后才是一種現(xiàn)象,在沒有完成試驗之前,光子的位置和狀態(tài)無法確定,依然處于疊加態(tài)中。據(jù)此,在傳統(tǒng)出行方式預(yù)測模型中,依據(jù)人們對交通方式的選擇傾向預(yù)測最終選擇結(jié)果是不準(zhǔn)確的,因為出行者在未做出決定前,這個傾向便不能被記錄,存在不確定性,人類的推理、決策過程并不能完全刻板遵循古典概率理論。因此,引入量子概率理論可合理描述一種不確定的狀態(tài),稱為疊加態(tài),這就在出行者決策的建模過程中引入了不確定性。同時,在量子概率理論中,系統(tǒng)狀態(tài)以波函數(shù)表示,只要沒有觀測者,波函數(shù)將根據(jù)薛定諤方程平滑確定性地演化,一旦發(fā)生觀測事件,波函數(shù)便坍縮成某一觀測結(jié)果,坍縮本身的結(jié)果是隨機的,波函數(shù)會給每種可能發(fā)生的結(jié)果分配數(shù)值,這種特質(zhì)為實現(xiàn)個體決策者頭腦中決策過程的隨機性提供了可能。

        1.1 量子概率基本思想

        量子概率是在量子力學(xué)中引入概率概念,量子概率與古典概率既有聯(lián)系又有區(qū)別。在古典概率框架中,概率值是通過大量實踐和總結(jié)或推論之后得出的,而在量子概率理論下,人們的信念-行動狀態(tài)由希爾伯特空間中的向量描述。希爾伯特空間是歐幾里得空間的推廣,可視為“無限維的歐幾里得空間”,其不再局限于有限維的情形,是量子力學(xué)的關(guān)鍵性概念和描述量子物理的基本工具之一。

        從數(shù)學(xué)形式來看,量子概率不是直接把古典概率論中的概率改寫成復(fù)數(shù)形式,而是引入了一個新量ψ,稱為概率幅,可被認(rèn)為是古典概率在復(fù)數(shù)域的擴展,其在描述粒子的量子行為和位置時又被稱為波函數(shù),具體形式如式(1):

        ψ=ψ(a,b,c,t)

        (1)

        式(1)表示,時刻t在點(a,b,c)附近單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率。

        在古典概率論中,隨機事件X的可能取值為x1,x2,x3,…,xi,其中i∈N*,相應(yīng)的概率為p1,p2,p3,…,pi,這些概率可表示X的概率分布。在量子系統(tǒng)中,隨機事件X的可能取值為|x1〉,|x2〉,|x3〉,…|xj〉,將概率定義為復(fù)數(shù)形式ψ1,ψ2,ψ3,…,ψj,其中j∈N*,由于在量子概率體系中,事件對應(yīng)于希爾伯特空間,因此通常將概率分布寫為向量的形式,表示最終結(jié)果由多個狀態(tài)疊加而成:

        ψ(x)=ψ1|x1〉+ψ2|x2〉+ψ3|x3〉+…+ψj|xj〉

        (2)

        |X〉=ψ1|x1〉+ψ2|x2〉+ψ3|x3〉+…+ψj|xj〉

        (3)

        其中一系列隨機事件的可能取值|x1〉,|x2〉,|x3〉,…|xj〉可看作是j維空間的基向量,也就是坐標(biāo)軸,ψ1,ψ2,ψ3,…,ψj可認(rèn)為是每個維度上的坐標(biāo)。

        2個子空間LA、LB各由1組表示所測量事件可能選項的向量單獨定義,即子空間LA由{|x1〉,|x2〉}定義,子空間LB由{|y1〉,|y2〉}定義,由于|x1〉和|x2〉是事件A的不兼容的取值,所以兩者可用相互垂直的標(biāo)準(zhǔn)正交向量表示,同理|y1〉和|y2〉也可用相互垂直的標(biāo)準(zhǔn)正交向量表示,φ是2個子空間坐標(biāo)的夾角,這些標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成坐標(biāo)軸,分別兩兩構(gòu)成一個平面,如圖1所示。

        圖1 事件在希爾伯特空間的表示Fig.1 Representation of events in Hilbert space

        其中對于事件A有2個選項,事件B也有2個選項,信念-狀態(tài)向量在子空間LA、LB的坐標(biāo)軸上產(chǎn)生的投影長度分別為ψA1,ψA2,ψB1,ψB2,在不同子空間中可能選項發(fā)生的概率值由投影長度與其自身的復(fù)共軛的乘積表示,即

        (4)

        式中:*代表互為共軛。

        如果投影結(jié)果為實數(shù),則概率表示為平方值:

        PA1=|ψA1|2

        PA2=|ψA2|2

        PB1=|ψB1|2

        PB2=|ψB2|2

        (5)

        在第一個子空間中,信念-狀態(tài)向量表示為:

        ψA(x)=ψA1|x1〉+ψA2|x2〉

        (6)

        在第二個子空間中,信念-狀態(tài)向量表示為:

        ψB(y)=ψB1|y1〉+ψB2|y2〉

        (7)

        其中:

        (8)

        由式(6)~式(8)可以看出,ψA(x)和ψB(y)就是同一個向量在不同坐標(biāo)中的不同表示方法。由上述過程可知,事件A與事件B具有某種聯(lián)系,因此A的概率分布與B的概率分布會相互影響,最終的選擇結(jié)果是由A和B共同作用的。

        1.2 幾何類量子模型

        1.2.1 通用模型

        在希爾伯特空間中研究量子概率問題時,可根據(jù)情景需要推廣出無限個多維子空間。每個子空間由1組表示每個測量事件選項的標(biāo)準(zhǔn)正交向量單獨定義,這些標(biāo)準(zhǔn)正交向量形成子空間的一組基,可將其理解為代表不同選項的坐標(biāo)軸。信念-狀態(tài)向量在坐標(biāo)軸上的投影代表了選擇每一個選項的潛在動機,其長度的平方就是該選項對應(yīng)的概率值,因此,概率值可通過幾何形式被直接觀測。在有n個m維子空間的希爾伯特空間的幾何類量子通用模型如式(9):

        (9)

        式中:i=1,2,3…,m;Pi代表一個子空間中每個可能選項發(fā)生的概率值。

        (10)

        式中:P(ζ)為某個決策選項發(fā)生的最終概率值。

        值得注意的是,因為子空間的維度代表了所研究的每個問題可能存在的選項,故每個子空間的維度可以是不相同的。為了便于研究,假設(shè)每個問題可能存在的選項數(shù)量相同,即子空間維度都為m;對于問題可選選項數(shù)量不等的情況,即子空間維度數(shù)不相同,今后會進一步展開討論。

        1.2.2 汽車-火車選擇模型

        基于量子概率,幾何類量子模型連續(xù)二值選擇如圖2所示。由于包含汽車和火車2個選項,故模型可以由子空間為二維的希爾伯特空間描述。

        圖2 連續(xù)二值選擇的示意Fig.2 Schematic representation of two consecutive binary choices

        如圖2所示,決策者選擇汽車還是火車具有初始信念狀態(tài)。在這個測量事件中,所有可能的狀態(tài)都是由基向量|xcar〉,|xtrain〉表示,即初始信念狀態(tài)可表示為:

        |Z〉=ψC1|xcar〉+ψT1|xtrain〉

        (11)

        式中:ψC1和ψT1分別表示初始信念狀態(tài)向量在2個坐標(biāo)軸上的投影長度,是正常數(shù);|xcar〉和|xtrain〉分別表示選擇汽車和火車2個向量??上胂?個既不是選汽車也不是選火車的狀態(tài),在疊加原理作用下作出決策,決策者狀態(tài)的向量越接近某個基向量,信念狀態(tài)向量在坐標(biāo)軸上的投影長度便越長,得到振幅模的平方越大,該方案被選擇的可能性也就越大。

        若決策者先被詢問一個預(yù)備問題(如,問是否傾向于選擇環(huán)保型出行方式,或問是否傾向于選擇更自由的出行方式等),在新問題的視角下,初始信念狀態(tài)雖不會改變,但向量參照系發(fā)生了變化,即在預(yù)備問題Y中選擇備選項的概率與在初始問題X中選擇的概率不同。新的問題Y由一組基向量|y1〉,|y2〉表示,若決策者做出問題Y中的y1選擇,則其信念狀態(tài)穿過希爾伯特空間,投射到向量|y1〉,此時|y1〉成為新的狀態(tài)向量,這會在基向量|xcar〉,|xtrain〉上投射出與初始信念狀態(tài)不同的振幅。由于量子系統(tǒng)的狀態(tài)空間是線性空間,可以讓任意2個狀態(tài)疊加得到新的狀態(tài),故根據(jù)通用模型可以寫出最終選擇火車的概率:

        (12)

        選擇小汽車的概率:

        (13)

        并且:

        (14)

        相較于初始信念狀態(tài)下2種方式的選擇概率,受到新問題影響干擾后,選擇火車或小汽車的概率也隨之改變。也就是說,量子概率模型可解釋不同問題順序、干擾項和情境效應(yīng)等的試驗結(jié)果,展示了隨機效用理論不具備的優(yōu)點。

        2 敏感性分析

        本文假設(shè)在合適的中長途出行中,火車與汽車的成本差距不大,故而不考慮出行成本問題。為驗證不同初始信念狀態(tài)下預(yù)備問題對火車和小汽車選擇概率的影響,對模型進行敏感性分析,不同情景模擬取值情況見表1。

        表1 不同情景模擬取值情況Table 1 Values of different scenarios simulation

        表1中,預(yù)備問題即在決策者做出“汽車或者火車”選擇之前會被問及的問題;初始信念狀態(tài)為決策者沒有受到預(yù)備問題干擾時的對“汽車”和“火車”的初始選擇偏好;※代表決策者支持此選項;φ表示初始坐標(biāo)系與預(yù)備問題坐標(biāo)系的夾角角度,從理論上講,在“環(huán)保型或者不環(huán)保型”預(yù)備問題中,因決策者支持環(huán)保選項,環(huán)保型坐標(biāo)軸應(yīng)更靠近“Train”選項,故φ可取范圍為0°~45°;在“高自由度或者低自由度”預(yù)備問題中,因決策者支持高自由度選項,高自由度坐標(biāo)軸應(yīng)更靠近“Car”選項,故φ可取范圍為45°~90°,為使模擬數(shù)據(jù)效果明顯,選取φ值分別為20°和60°。α為初始信念狀態(tài)向量與初始坐標(biāo)系橫坐標(biāo)的夾角角度,理論上可以為0°~90°中的任意值,為使模擬數(shù)據(jù)效果明顯,避免預(yù)備問題無效修正,此處設(shè)置α取值為15°、30°、45°、60°、75°。

        將上述情景用幾何類量子模型進行連續(xù)二值選擇,當(dāng)預(yù)備問題為{環(huán)保型,不環(huán)保型},以α取15°和75°為例,得到的結(jié)果如圖3所示。

        當(dāng)預(yù)備問題為{高自由度,低自由度},以α取15°和75°為例,得到的結(jié)果如圖4所示。

        分析表2~表4,可以發(fā)現(xiàn):

        表2 環(huán)境預(yù)備問題下概率計算結(jié)果Table 2 Probability calculation results under the environment preparation problems

        表3 自由度預(yù)備問題下概率計算結(jié)果Table 3 Probability calculation results under the degree of freedom preparation problem

        表4 預(yù)備問題干擾下選擇結(jié)果對比Table 4 Comparison of selection results under the interference of preparatory questions

        (a) φ=20°,α=15°

        (a) φ=60°,α=15°

        2) 對火車的初始選擇概率隨著α的增大而增大,對小汽車的初始選擇概率隨著α的增大而減小,即信念向量越靠近某個選擇,其在基向量上的投影越長,該方案被選中的可能性就越大,如隨著α增大,向量逐漸遠(yuǎn)離“Car”選項,小汽車的選擇概率減小,火車的選擇概率上升。

        3) 由表2可以看出,如果決策者傾向環(huán)保出行,α取15°、30°、45°、60°時,對小汽車的選擇意念皆有所減弱,對火車的選擇意念有所增強,即P(C)<|ψC1|2、P(T)>|ψT1|2,而α取75°時則有所不同,即P(C)>|ψC1|2、P(T)<|ψT1|2;同理,由表3可以看出,如果決策者傾向高自由度出行方式,α取45°、60°、75°時,對小汽車的選擇意念皆有所增強,對火車的選擇意念有所減弱,即P(C)>|ψC1|2、P(T)<|ψT1|2,而α取15°時則不同,即P(C)<|ψC1|2、P(T)>|ψT1|2,進一步驗證了決策者最終決策結(jié)果受2個子空間綜合影響。

        4) 由表3可以看出,當(dāng)α+ψ=90°時(表中α取30°),初始信念狀態(tài)與預(yù)備問題存在相同的概率傾向,此時預(yù)備問題不具有更新和修正效果。

        5) 雖傾向環(huán)保出行的決策者對于小汽車的選擇概率均減小,但當(dāng)初始信念對小汽車具有嚴(yán)重偏好時(如α取15°,決策者對小汽車的選擇意愿強烈),會導(dǎo)致P(C)>P(T);同理,雖傾向高自由度出行的決策者對于小汽車的選擇概率均增加,但當(dāng)初始信念對火車具有嚴(yán)重偏好時(如α取75°,決策者對火車的選擇意愿強烈),會導(dǎo)致P(C)

        6) 由表4選擇結(jié)果對比可知,環(huán)境預(yù)備問題下α取30°和45°時,初始選擇狀態(tài)被改變,由(汽車,相等)轉(zhuǎn)為(火車,火車);自由度預(yù)備問題下α取30°和45°時,初始選擇狀態(tài)被改變,由(相等,火車)轉(zhuǎn)為(汽車,相等),但由于α取45°時選擇汽車和火車的概率相等,故認(rèn)為決策者仍有可能堅持初始選擇狀態(tài),這種差異是由不同預(yù)備問題對選項的干擾效果不同造成的,由此可見,決策者對預(yù)備問題某一選項的傾向越強烈,即預(yù)備問題基向量越靠近某一坐標(biāo)軸,概率修正效果越明顯。

        基于幾何類量子模型,環(huán)保傾向的預(yù)備問題會提高火車選擇概率,高自由度預(yù)備問題會提高小汽車選擇概率,交通管理者可以通過信息干擾、情感引導(dǎo)等強化人們對出行方式選擇傾向,對初始信念狀態(tài)進行修正,這為實現(xiàn)出行者在不同交通出行方式的合理分配提供了新的思路。

        3 結(jié)論

        1) 不同于隨機效用理論框架,量子概率作為物理學(xué)的前沿理論,為行為決策建模提供了新的研究方向。

        2) 本文介紹了一種出行方式選擇的幾何類量子概率模型,對火車和汽車2種出行方式選擇情形進行敏感性分析,考慮不同初始信念狀態(tài),并結(jié)合不同預(yù)備問題實現(xiàn)了將初始信念狀態(tài)到最終信念狀態(tài)的轉(zhuǎn)化。研究結(jié)果表明,量子概率理論彌補了效用理論在解釋問題干擾、順序影響、情境效應(yīng)等的不足,進一步驗證了量子概率理論在交通決策建模領(lǐng)域的應(yīng)用可行性。

        3) 下一步將設(shè)計并開展量子概率的試驗研究,結(jié)合試驗結(jié)果進一步分析量子決策行為。此外,基于薛定諤方程考慮量子模型的動態(tài)屬性、結(jié)合交通出行的擁擠效應(yīng)建立量子均衡模型、對比量子理論和效用理論的效果,也是未來的研究方向。

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