孫 亮，成國慶，蘇擁政，王 東

（上海海洋大學(xué) 工程學(xué)院，上海 201306）

0 引言

在工業(yè)生產(chǎn)和軍事領(lǐng)域，通常要求裝備系統(tǒng)相繼地執(zhí)行多個任務(wù)，任務(wù)之間的間隔是有限的，在有限的任務(wù)間隔期無法對所有劣化和故障部件進(jìn)行維修，只能選擇一部分部件進(jìn)行維護(hù)，這種在維護(hù)時間和費(fèi)用等資源的約束下制定維護(hù)決策的問題叫做選擇性維護(hù)。

Rice等[1]人首先討論了兩狀態(tài)的串并聯(lián)系統(tǒng)的選擇性維護(hù)問題，在每次任務(wù)間隔期，考慮兩種維修行為——不采取任何行動或更換故障部件，建立了一個非線性選擇維修優(yōu)化模型，以在有限的維修時間下最大限度地提高系統(tǒng)在下一任務(wù)中的可靠性。Cassady等[2，3]擴(kuò)展這項(xiàng)工作，系統(tǒng)可以由不同類型的部件構(gòu)成，并增加了維護(hù)成本作為問題的另一個約束。文中提出了三種不同的選擇性維修模型，即在時間和成本約束下的系統(tǒng)可靠性最大化模型、在時間和可靠性要求約束下的系統(tǒng)維修成本最小化模型和在成本和可靠性要求約束下的總維修時間最小化模型。之后Cassady等人[4]進(jìn)一步研究了串并聯(lián)系統(tǒng)中組件壽命服從威布爾分布的選擇性維護(hù)問題。Pandey等人[5]將不完美維修作為一種維護(hù)行為，并表明通過執(zhí)行不完美維護(hù)行為可以提高系統(tǒng)的可靠性。Liu和Huang[6]通過生成函數(shù)建立了兩狀態(tài)部件組成的多狀態(tài)系統(tǒng)的選擇性維護(hù)模型。

在較早的選擇性維修研究中，假設(shè)系統(tǒng)部件在經(jīng)濟(jì)上是獨(dú)立的，即每個部件的維修獨(dú)立于其他部件。然而，在許多工業(yè)系統(tǒng)中，如飛機(jī)、醫(yī)療設(shè)備、汽車機(jī)械和核電站等，由于需要分擔(dān)安裝、工具、材料和勞動力，維修多個部件，特別是相同的部件往往更加經(jīng)濟(jì)。在這種情況下，這些系統(tǒng)中的組件被認(rèn)為是具有經(jīng)濟(jì)相關(guān)性的。文獻(xiàn)[7～14]提出了通過執(zhí)行一組維護(hù)活動來節(jié)約成本的措施。Nourelfath和Chatelet[15]在生產(chǎn)和預(yù)防性維修計(jì)劃問題中研究了并聯(lián)系統(tǒng)各組成部分之間的經(jīng)濟(jì)相關(guān)性和結(jié)構(gòu)相關(guān)性，使生產(chǎn)和維修總成本最小化。Dao和Zuo[16]同時考慮了部件之間結(jié)構(gòu)和經(jīng)濟(jì)上的相關(guān)性，以最大限度地提高系統(tǒng)的可靠性為目標(biāo)建立了多狀態(tài)系統(tǒng)的選擇性維護(hù)模型。Amene[17]建立了部件之間具有隨機(jī)相關(guān)性的串聯(lián)系統(tǒng)的選擇性維護(hù)模型，討論了串聯(lián)部件之間的劣化相關(guān)性。

而實(shí)際的工業(yè)系統(tǒng)和生產(chǎn)裝備中組件之間關(guān)系并不僅僅是串聯(lián)關(guān)系，更多的是串并混聯(lián)的關(guān)系，且系統(tǒng)中組件之間的隨機(jī)相關(guān)性不僅存在于串聯(lián)組件之間，并聯(lián)組件之間也存在隨機(jī)相關(guān)性，如卸船機(jī)的主起升系統(tǒng)中兩個同型號的電動機(jī)為并聯(lián)關(guān)系，而減速器獨(dú)自構(gòu)成一個子系統(tǒng)與兩個電動機(jī)構(gòu)成的子系統(tǒng)串聯(lián)。為了使模型更加符合實(shí)際的工業(yè)系統(tǒng)，本文針對港口機(jī)械卸船機(jī)的主起升系統(tǒng)，在Amene等人研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了部件之間具有隨機(jī)相關(guān)性的串并混聯(lián)系統(tǒng)的選擇性維護(hù)，并分別討論了串聯(lián)子系統(tǒng)之間的隨機(jī)相關(guān)性，以及子系統(tǒng)內(nèi)部相同的并聯(lián)部件之間的劣化關(guān)系，利用各種影響部件之間隨機(jī)相關(guān)性的因素進(jìn)行建模，并通過蒙特卡洛法對串并混聯(lián)系統(tǒng)的劣化過程進(jìn)行了仿真，計(jì)算出系統(tǒng)在下個任務(wù)期的可靠性，得到了部件具有隨即相關(guān)性的串并聯(lián)系統(tǒng)的選擇性維護(hù)模型。

1 模型建立

1.1 劣化模型

本文研究的串并聯(lián)系統(tǒng)由M個相互獨(dú)立的子系統(tǒng)串聯(lián)而成，其中，第i個子系統(tǒng)由Ni個相同的部件并聯(lián)而成。且每個部件具有k+1個不同的狀態(tài)（0，1，2…K-1，K），其中0為部件的故障狀態(tài)，K為部件的正常運(yùn)行狀態(tài)，其余為中間狀態(tài)。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖1所示。

圖1 串-并混聯(lián)系統(tǒng)示意圖

假設(shè)部件的劣化服從馬爾可夫過程，部件狀態(tài)的轉(zhuǎn)移時間服從指數(shù)分布。且部件的劣化過程是連續(xù)的，即部件從狀態(tài)K劣化到K-2之前必定會先劣化到K-1狀態(tài)。系統(tǒng)中的任意部件bij從K劣化至K-1的固有劣化率為λij,k。

圖2 部件性能退化示意圖

此外，部件的的劣化存在隨機(jī)相關(guān)性，在子系統(tǒng)中一個部件狀態(tài)一旦劣化至0，即故障狀態(tài)，便會對子系統(tǒng)中的其他并聯(lián)部件的劣化產(chǎn)生影響，例如在卸船機(jī)的主起升機(jī)構(gòu)中由兩個相同的并聯(lián)電機(jī)提供動力，一旦其中一個電機(jī)狀態(tài)降為0，即故障狀態(tài)，負(fù)荷便全部集中在另一個電機(jī)上，便會對此電機(jī)狀態(tài)產(chǎn)生影響，加速其劣化過程。定義函數(shù)f(.)來表示子系統(tǒng)中部件故障對其他部件劣化的影響，且f(.)的表達(dá)式為：

其中GS(t)為t時刻系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)，GK為系統(tǒng)的最高狀態(tài)，同時子系統(tǒng)的部件劣化還受到故障部件nI(t)個數(shù)的影響，N表示部件所在子系統(tǒng)中部件個數(shù)。另一方面，部件還會受到一些隨機(jī)因素的影響，如系統(tǒng)運(yùn)行環(huán)境，運(yùn)行條件，用一個參數(shù)δ來表示這些隨機(jī)因素所造成的影響，設(shè)δ服從正態(tài)分布。

另一方面，在串聯(lián)的子系統(tǒng)之間也存在著部件劣化相關(guān)性，當(dāng)子系統(tǒng)si(t)從k劣化至k-1時，將對相關(guān)的子系統(tǒng)的劣化產(chǎn)生影響，我們用e丨β丨來表示在串聯(lián)系統(tǒng)中部件之間的劣化影響，β為服從正態(tài)分布。

當(dāng)部件處于完美運(yùn)行狀態(tài)時，f(.)=1，Gs(t)=Gk，δ=1，此時當(dāng)部件劣化，子系統(tǒng)的狀態(tài)下降，

1.2 系統(tǒng)部件的可靠性

在對多狀態(tài)組件的劣化過程建模完成后，本節(jié)將討論系統(tǒng)在下一個任務(wù)周期的可靠性。系統(tǒng)可靠性可以定義為系統(tǒng)可以成功執(zhí)行下一個相鄰任務(wù)的概率，且任務(wù)的時間為τ。換句話說，系統(tǒng)的可靠度可以定義為系統(tǒng)在運(yùn)行τ時間后系統(tǒng)的狀態(tài)仍然大于等于狀態(tài)a的概率，即：

其中Rs(τ，a)代表系統(tǒng)的可靠度，Gs(τ)為系統(tǒng)運(yùn)行τ時間后的狀態(tài)，φi(τ)描述了子系統(tǒng)i運(yùn)行τ時間后的狀態(tài)，而pij,k(t)則代表部件bij運(yùn)行τ時間后處于狀態(tài)k的概率。在部件不存在相關(guān)性的系統(tǒng)中，pij,k(t)的值可以通過求解Chapman-Kolmogorov微分方程組獲得，而在本模型中由于部件之間的劣化存在隨機(jī)相關(guān)性，所以原有的求解方式不能適用于此。

為了描述部件具有劣化相關(guān)性的串并聯(lián)系統(tǒng)中部件狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率，本文利用蒙特卡洛方法仿真了系統(tǒng)在一個任務(wù)周期的劣化過程。該方法首先模擬各部件bij狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程。產(chǎn)生一個（0，1）的隨機(jī)數(shù)U，部件bij在t時刻狀態(tài)不發(fā)生轉(zhuǎn)移的概率為qij，且qij表達(dá)式為：

如果U大于等于qij則部件的狀態(tài)由k劣化為k-1，同時利用和β對同一子系統(tǒng)中的部件和相鄰子系統(tǒng)中的部件狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行更新；反之若U小于qij則部件的狀態(tài)不發(fā)生改變。當(dāng)時間到達(dá)任務(wù)的終點(diǎn)，或者系統(tǒng)的性能狀態(tài)低于需求水平a時，一次仿真停止。將整個仿真過程進(jìn)行NMCS次，最終得到系統(tǒng)的可靠性為：

其中count為仿真失敗的次數(shù)。

2 考慮隨機(jī)不完全維修的選擇性維修優(yōu)化問題

通常來說，對于一個多態(tài)部件有多種維修或維護(hù)方案可供選擇，包括更換，非完美維護(hù)，和不維修等。部件在維修之后可能處于維護(hù)前的狀態(tài)和完美狀態(tài)之間的某個狀態(tài)，可以歸納如下：

事實(shí)上，非完美維護(hù)的效果主要由兩個因素決定：一為部件的非完美維護(hù)次數(shù)zij，非完美維護(hù)次數(shù)越多的部件，再次接受非完美維護(hù)后達(dá)到預(yù)期狀態(tài)的概率就越低；另一個因素為非完美維護(hù)期望提升的狀態(tài)級別lij，期望提升的狀態(tài)級別li越大，達(dá)到期望效果的概率也就越低。例如，一個期望狀態(tài)提升30%的非完美維護(hù)成功的概率一般大于期望提升80%的非完美維護(hù)。鑒于此，非完美維護(hù)達(dá)到預(yù)期狀態(tài)的概率設(shè)為：

由于維護(hù)效果的不確定性，部件在接受維護(hù)之后，系統(tǒng)可能處于多個不同的狀態(tài)。例如，對于一個由兩并聯(lián)部件組成的子系統(tǒng)和一個單部件構(gòu)成的子系統(tǒng)串聯(lián)后組成的一個串并混聯(lián)系統(tǒng)在經(jīng)過維護(hù)后系統(tǒng)的狀態(tài)有2M個。假設(shè)系統(tǒng)維護(hù)前的狀態(tài)為Y=[12，1]，對每個部件所進(jìn)行的維護(hù)等級為l11=1，l12=2，l21=1，且部件共有四種狀態(tài)，{0，1，2，3}，維修之后部件1的狀態(tài)可能為2也可能為1，部件2所接受的維護(hù)為完美維護(hù)，所以維護(hù)后的狀態(tài)一定為3，部件3在經(jīng)過維護(hù)級別1的維護(hù)后，狀態(tài)可能為1也可能為0。即系統(tǒng)的維護(hù)后狀態(tài)有22種可能，S1=[13，0]，S2=[13，1]，S3=[23，0]，S4=[23，1]，且系統(tǒng)處于這四種狀態(tài)的概率是確定的。部件經(jīng)過li等級的維護(hù)后，狀態(tài)xij=yij+lij概率為而狀態(tài)不發(fā)生改變的概率xij=yij的概率為。維護(hù)后的系統(tǒng)狀態(tài)概率表達(dá)式為：

于是，下一個任務(wù)階段系統(tǒng)的可靠度期望可以計(jì)算為：

維修期間所有部件的維護(hù)費(fèi)用之和為：

維修期間所有部件花費(fèi)的時間之和為：

最后，建立選擇性維護(hù)優(yōu)化模型，以找到下一個任務(wù)期內(nèi)使得系統(tǒng)可靠度最大的維護(hù)行為水平。決策變量是上文定義的對單個組件所采取的維護(hù)行為水平，維護(hù)時間和費(fèi)用則被視為約束條件。選擇性維護(hù)優(yōu)化問題模型如下：

式(14)為模型的目標(biāo)函數(shù)，其中W為部件進(jìn)行維護(hù)后系統(tǒng)狀態(tài)的集合；式(15)、式(16)表示維修費(fèi)用和時間的約束；式(17)表示部件bij只能接受一種維護(hù)行為；式(18)表示決策變量的值只能為0或1；lij為部件維修行為的級別。通過建模最終得到了一個混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型，在對此模型求解時，如果問題規(guī)模較大，通常采用各種智能算法進(jìn)行求解，如粒子群算法，遺傳算法，模擬退火算法等。而當(dāng)部件狀態(tài)和維護(hù)行為的選擇組合數(shù)較少時，可采用枚舉法進(jìn)行求解。

3 算例分析

本節(jié)以港口機(jī)械系統(tǒng)卸船機(jī)的主起升機(jī)構(gòu)為維修對象進(jìn)行建模優(yōu)化，以驗(yàn)證文中方法的有效性。卸船機(jī)的主起升機(jī)構(gòu)由兩個并聯(lián)電機(jī)和一個減速器串聯(lián)而成，其系統(tǒng)的可靠性示意圖如圖3所示。該系統(tǒng)由兩個子系統(tǒng)串聯(lián)而成，子系統(tǒng)1由相同的部件（電機(jī)）并聯(lián)而成，子系統(tǒng)2由一個單部件（減速器）構(gòu)成。不同部件維修所花費(fèi)的時間（天）和費(fèi)用（萬元）如下：

圖3 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

系統(tǒng)中的部件均有四種不同的狀態(tài)（0，1，2，3），其中0代表部件的故障狀態(tài)，而3則代表部件的完美運(yùn)行狀態(tài)，其余為中間狀態(tài)。維修開始前部件的初始狀態(tài)為Y=[1 1，1]，且維修之前的部件接受非完美維護(hù)的次數(shù)Z11=1，Z12=1，Z21=1，部件1和部件2的初始維護(hù)成功概率維修預(yù)算中T=3，C=20，此外假設(shè)δ服從（5.24，0.001）的正態(tài)分布，β服從（4.91，0.001）的正態(tài)分布，且相鄰任務(wù)間的維修時間τ=0.5（年）。

表1 部件狀態(tài)轉(zhuǎn)移率

利用上述數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，使用Matlab R2018b進(jìn)行求解。為了分析仿真組件依賴的影響和維護(hù)操作的隨機(jī)性質(zhì)，我們考慮四個不同的維護(hù)情況；1）獨(dú)立的組件和維護(hù)效果確定；2）獨(dú)立的組件和隨機(jī)非完美的維護(hù)行為；3）具有隨機(jī)相關(guān)性組件和非完美維護(hù)效果確定；4）具有隨機(jī)相關(guān)性的組件和非完美維護(hù)效果不確定。根據(jù)系統(tǒng)可靠性目標(biāo)，維護(hù)成本和時間，對從這些場景中獲得的結(jié)果進(jìn)行比較。

蒙特卡羅仿真（MCS）需要找到合適的仿真次數(shù)。為此，使用不同的仿真次數(shù)運(yùn)行MCS，以第三種情形中部件維護(hù)后的狀態(tài)為X=[2 2，2]為例，得到的仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 不同仿真次數(shù)的系統(tǒng)可靠度

從圖4可以看出當(dāng)仿真次數(shù)N=10000次時仿真的結(jié)果與N=100000次時相同，而N=100000的計(jì)算量是N=10000次時的10倍，故選擇N=10000。

在第一和第二種情況下，假設(shè)組件是相互獨(dú)立的。然而在第二種情況下，維修行動的結(jié)果被視為隨機(jī)的，以分析其不確定性對系統(tǒng)可靠性的影響。實(shí)驗(yàn)中部件的狀態(tài)均為1，且選擇維修行為等級均為1即L（1 1，1）。當(dāng)不完全維護(hù)行為為確定性時即場景一中的情況，維修后的部件的狀態(tài)為X=[2 2，2]，系統(tǒng)可達(dá)到的最大可靠性為0.999。在第二種場景中，所選維護(hù)水平動作的最大可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)可靠性為0.981。這近2%的系統(tǒng)可靠性下降正是因?yàn)榫S修結(jié)果的隨機(jī)性導(dǎo)致，這也證實(shí)了將維修結(jié)果當(dāng)成確定的考慮導(dǎo)致對系統(tǒng)可靠性不切實(shí)際的過高估計(jì)。

為了分析部件之間的隨機(jī)相關(guān)性對系統(tǒng)可靠性的影響，以及組件隨機(jī)相關(guān)性和不完全維修的隨機(jī)性對系統(tǒng)可靠性的綜合影響，現(xiàn)在考慮最后兩種情況。在第三個情景中，組件被認(rèn)為是隨機(jī)相關(guān)的，而不完全維護(hù)動作的結(jié)果被視為確定性的。結(jié)果表明，當(dāng)維護(hù)行為等級均為1時，系統(tǒng)的可靠性為0.97。這一結(jié)果和場景一的相比，由于部件之間的劣化存在隨機(jī)相關(guān)性，系統(tǒng)的可靠性有所下降，它從本質(zhì)上表明了系統(tǒng)建模時考慮部件之間的相關(guān)性對準(zhǔn)確描述系統(tǒng)可靠性重要性。在第四個場景中，我們考慮組件之間的隨機(jī)相關(guān)性和不完全維護(hù)的隨機(jī)性，使模型更加符合現(xiàn)實(shí)中的情景，在此情景下綜合考慮了多個方面所引起不確定性。在非完美維護(hù)后系統(tǒng)的可靠性為0.941，與其他場景的比較分析清楚地表明了了組件間的隨機(jī)相關(guān)性和不完全維修結(jié)果的不確定性對系統(tǒng)可靠性的估計(jì)產(chǎn)生了明顯的聯(lián)合效應(yīng)。伴隨著由這些不確定性的增加，系統(tǒng)可靠性大幅下降。這個結(jié)果更直接地表明了綜合考慮部件間的隨機(jī)相關(guān)性和非完美維護(hù)的隨機(jī)性，對準(zhǔn)確估算系統(tǒng)可靠性的重要性。

實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)不僅部件之間的劣化隨即相關(guān)性對系統(tǒng)可靠性產(chǎn)生影響，維護(hù)結(jié)果的隨機(jī)性也會對系統(tǒng)的可靠性產(chǎn)生較大的影響。維護(hù)結(jié)果的隨機(jī)性會對系統(tǒng)可靠度產(chǎn)生影響的主要因素為部件非完美維護(hù)成功概率的變化，而在本實(shí)驗(yàn)中的值主要由部件在維修前所接受非完美維護(hù)的次數(shù)Zij決定。部件的維護(hù)前狀態(tài)均為1，且維護(hù)行為均為1，在情景四中的不同非完美維護(hù)次數(shù)的部件的可靠度結(jié)果如圖5所示，維護(hù)前接受非完美維護(hù)次數(shù)為（0 0，0）和（2 2，2）的系統(tǒng)可靠度分別為0.95和0.9，可靠度的差值為0.05，所以在考慮系統(tǒng)可靠度的估算時，需要考慮部件接受非完美維護(hù)的次數(shù)Zij。

圖5 不同非完美維護(hù)次數(shù)下的系統(tǒng)可靠度

假設(shè)系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)最低要求為1，且系統(tǒng)的各個部件的初始狀態(tài)均為1，一共有27種不同的維護(hù)方式使系統(tǒng)在任務(wù)開始前滿足最低狀態(tài)要求。因?yàn)樽酉到y(tǒng)1中的兩個部件為相同的并聯(lián)部件，所以維護(hù)效果相同，除去重復(fù)的維護(hù)策略，和時間費(fèi)用約束之外的維護(hù)策略，一共還有13種可行的維修策略。從表2中我們可知對系統(tǒng)采取L（0 2，1）的維修策略，即對部件b11不維修，對部件b12進(jìn)行更換，對部件b21進(jìn)行非完美維護(hù)，可使系統(tǒng)的靠性最優(yōu)，可靠度最大為0.965。

表2 不同維護(hù)行為下的系統(tǒng)相關(guān)指標(biāo)

4 結(jié)語

本文研究了具有多狀態(tài)部件的串并聯(lián)系統(tǒng)的選擇維修問題。該系統(tǒng)需要執(zhí)行序貫任務(wù)，在任務(wù)中斷期間，對其組件進(jìn)行維護(hù)。一些實(shí)際的工程系統(tǒng)，如港口機(jī)械、飛機(jī)發(fā)動機(jī)、重型設(shè)備機(jī)械和發(fā)電系統(tǒng)就是執(zhí)行序貫任務(wù)和定期維修的典型例子。組件可以接受不同的維護(hù)行為，這些維護(hù)行為的級別和成功率各不相同。本文考慮了系統(tǒng)各部件之間的隨機(jī)相關(guān)性，并分別討論了串聯(lián)部件之間以及并聯(lián)部件之間的隨機(jī)相關(guān)性。此外，本文還考慮了部件維護(hù)前接受非完美維護(hù)的次數(shù)對非完美維護(hù)成功概率的影響并對其進(jìn)行了建模。由于這種隨機(jī)不完美維護(hù)行為，系統(tǒng)維修后可能以一定的概率處于不同狀態(tài)，從而導(dǎo)致下一次任務(wù)中可靠性的不確定性。采用蒙特卡洛仿真計(jì)算了系統(tǒng)在下一次任務(wù)中的期望可靠性，以最大化可靠性為目標(biāo)、以維修時間和費(fèi)用為約束，建立了部件具有隨機(jī)相關(guān)性的串并混聯(lián)系統(tǒng)的選擇性維護(hù)模型。最后以港口機(jī)械系統(tǒng)卸船機(jī)的主起升機(jī)構(gòu)為研究對象，演示了本模型并驗(yàn)證了其有效性。