鐘凱澎，張 翼，鄧 華

(1.中南大學(xué) 高性能復(fù)雜制造國家重點實驗室，長沙 410083；2.中南大學(xué) 機電工程學(xué)院，長沙 410083)

0 引言

液壓機械臂具有結(jié)構(gòu)緊湊，負(fù)重比大，靈敏度高和抗干擾能力強等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于各類基礎(chǔ)建設(shè)和維搶修作業(yè)工程中[1]。但多自由度液壓機械臂的數(shù)學(xué)模型復(fù)雜，各關(guān)節(jié)的運動學(xué)和動力學(xué)耦合嚴(yán)重，增加了各關(guān)節(jié)控制器設(shè)計的難度。

多自由度液壓機械臂一般具有閉鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)和非獨立軸系驅(qū)動形式[2]，一般通過忽略液壓缸和傳動桿等剛體的動力學(xué)特性，將系統(tǒng)簡化為開鏈連桿形式再進行建模[3]。此方法可簡化動力學(xué)建模過程，但忽略液壓缸和傳動桿的影響，會增加建模誤差和影響控制器設(shè)計及控制性能。Ding等人提出利用拉格朗日原理和螺旋理論，對一種鍛造操作機工作裝置進行系統(tǒng)建模，該方法可以有效反映閉鏈結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性[4]。但基于廣義笛卡爾坐標(biāo)系所建的數(shù)學(xué)模型中，各關(guān)節(jié)狀態(tài)之間耦合嚴(yán)重，各關(guān)節(jié)的控制器很難獨立設(shè)計，需要考慮各關(guān)節(jié)控制的相互作用，控制器參數(shù)調(diào)整困難。而且，慣性矩陣和科氏力矩陣均為時變矩陣，會導(dǎo)致正逆動力學(xué)的運算增多。有學(xué)者表明，基于廣義笛卡爾坐標(biāo)系下的串聯(lián)空間機械系統(tǒng)模型在某些狀態(tài)下存在慣性矩陣奇異的情況[5]，故以該類模型為基礎(chǔ)的仿真可能存在誤差。另外，對于液壓驅(qū)動系統(tǒng)而言，不能忽略關(guān)節(jié)間和液壓缸的摩擦力對系統(tǒng)帶來的誤差影響[6]。

近年，Zhu提出了一種針對多自由度，多閉鏈結(jié)構(gòu)機器人的建模方法--虛擬分解理論[7]。該方法基于關(guān)節(jié)坐標(biāo)系建模，避免了慣性矩陣奇異的情況，有效減少了正逆動力學(xué)的運算次數(shù)[8，9]。特別是采用虛擬分解法建立的動力學(xué)模型具有各關(guān)節(jié)運動解耦的形式，簡化了控制器設(shè)計的難度，可直接針對各關(guān)節(jié)獨立設(shè)計控制器[10，11]。

本文基于虛擬分解理論，對一種三自由度液壓機械臂進行運動學(xué)、動力學(xué)和電液比例系統(tǒng)建模，并整合得到系統(tǒng)的各關(guān)節(jié)解耦的動力學(xué)模型。在此基礎(chǔ)上針對每個關(guān)節(jié)獨立設(shè)計PID控制器并進行了軌跡跟蹤控制實驗，結(jié)果驗證了所提方法的有效性。

1 三自由度液壓機械臂的虛擬分解

通過設(shè)置虛擬分解點，將三自由度機械臂虛擬分解為5個子系統(tǒng)，包括2個連桿子系統(tǒng)，3個閉鏈子系統(tǒng)，如圖1(a)所示。分解后可用導(dǎo)向圖表示分解系統(tǒng)，如圖1(b)所示。

圖1 工作裝置虛擬分解示意圖

閉鏈1、3、5子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)類似，可將其進一步分解為兩個開鏈結(jié)構(gòu)并聯(lián)的子系統(tǒng)，如圖2所示。

圖2 閉鏈結(jié)構(gòu)分解圖

虛擬分解后，對各子系統(tǒng)剛體標(biāo)記對應(yīng)的固定坐標(biāo)系，用于描述運動和力的方向。在每個閉鏈系統(tǒng)的兩端增設(shè)兩個坐標(biāo)系

用于描述閉鏈內(nèi)兩條開鏈的合力作用，如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)坐標(biāo)系示意圖

設(shè)坐標(biāo)系{A}為圖3中各剛體對應(yīng)的坐標(biāo)系。參照坐標(biāo)系{A}，剛體的速度和角速度矢量分別為Av∈R3，Aω∈R3，則表示該剛體的速度/角速度矢量為：

同理，表示該剛體的所受到力矢量和轉(zhuǎn)矩矢量分別為A f∈R3，Am∈R3，則力/轉(zhuǎn)矩矢量為：

2 運動學(xué)

在同一個液壓閉鏈系統(tǒng)內(nèi)，角度和連桿邊長的定義如圖4所示。

圖4 閉鏈內(nèi)部關(guān)節(jié)角度關(guān)系

關(guān)節(jié)角qi1、qi2、qi3和xi1之間的關(guān)系可以為：

求得各閉鏈內(nèi)液壓缸長度與閉鏈關(guān)節(jié)角之間的關(guān)系后，所有分解后的剛體的速度矢量可以從基座推導(dǎo)到末端。該處基座的速度矢量為已知值，記為B0V=[0 0 0 0 0 0]T。因此，連桿與閉鏈間的速度轉(zhuǎn)換可表示為：

式(4)中AUB表示速度和力矢量參考從坐標(biāo)系{B}到坐標(biāo)系{A}的轉(zhuǎn)換矩陣。

則閉鏈內(nèi)各連桿的運動速度可表示為：

式(5)中，xf=[1 0 0 0 0 0]T，zτ=[0 0 0 0 0 1]T。

末端的速度/角速度矢量可用相同方法求解，由于篇幅問題，不再一一討論。

3 機電液耦合動力學(xué)

3.1 虛擬作用力

在上述章節(jié)中已通過運動學(xué)推導(dǎo)出被分解后各剛體的速度/角速度矢量。當(dāng)剛體在自由運動時，參考自身坐標(biāo)系{A}的合力/轉(zhuǎn)矩方程為：

其中，MA∈R6×6為質(zhì)量矩陣，CA∈R6×6為科氏加速度和離心加速度矩陣，GA∈R6為重力矩陣，詳細求解過程可參考相關(guān)文獻[6]。

根據(jù)虛擬分解理論，連桿和閉鏈間的虛擬作用力有以下關(guān)系：

由于閉鏈1、2結(jié)構(gòu)類似，可用相同方法求解各個虛擬作用力。在同一閉鏈系統(tǒng)內(nèi)，桿li1和桿li2、桿li3和桿li4的合力/轉(zhuǎn)矩方程可通過公式(5)求得。設(shè)Tiη=[xiyi0 0 0zi]T為兩條開鏈間的內(nèi)部作用力，它的方向是從油缸指向連桿，并且以坐標(biāo)系{Tic}為參考。閉鏈的內(nèi)力作用有如下關(guān)系：

其中，α1+a2=1恒成立。根據(jù)油缸閉鏈的力驅(qū)動特性，有三個虛擬力被動，有：

聯(lián)立式(7)和式(8)解方程可求得Tiη。故在不考慮摩擦等情況下，油缸的驅(qū)動力為：

為了使末端的位姿有更大的調(diào)整空間，與于閉鏈1和閉鏈2不同，閉鏈3在結(jié)構(gòu)上增加了雙搖臂結(jié)構(gòu)，故單獨列出閉鏈3的虛擬作用力求解過程。由圖1(b)可知，兩個零質(zhì)量連桿此時只起到力傳遞的作用，設(shè)故各連桿有以下關(guān)系：

其中fF表示末端所受到的外部作用力。系統(tǒng)內(nèi)共有6個虛擬力被動，即：

3.2 電液比例控制系統(tǒng)模型

由于三個驅(qū)動單元的工作原理相同，因此僅對其中一個電液比例控制系統(tǒng)展開討論。閥控缸系統(tǒng)的基本方程如式(14)所示[12]：

式(14)中：i=1，3，5為第i個閉鏈，Kuq為電壓流量增益系數(shù)，ui為輸入電壓，PS、PT分別為進油壓力和回油壓力，βe為油液的體積彈性模量，A1、A2為油缸大小腔的有效面積，Vt為油腔的等效容積，Qi1、Qi2為流進大小腔內(nèi)的流量，Pi1、Pi2為大小腔內(nèi)的壓力，S(*)為符號函數(shù)。

對于液壓機械臂而言，關(guān)節(jié)間已含多個以被動副形式存在的運動副，因而要整合所有運動副的摩擦力模型是十分困難的。因此，將所有的被動副摩擦力等效到主動副上[13]，獲得一個等效的摩擦力模型，即：

式(15)中，fc為庫侖摩擦系數(shù)，fv為粘性摩擦系數(shù)，fs為最大靜摩擦系數(shù)。

忽略缸內(nèi)液壓油質(zhì)量的影響，根據(jù)牛頓第二定律可得：

因此對于某一驅(qū)動連桿，動力學(xué)方程有：

3.3 輸入輸出的表達

式(17)的動力學(xué)模型大大降低了系統(tǒng)耦合的問題，其他關(guān)節(jié)的耦合影響均集中在作用力上。當(dāng)考慮單個系統(tǒng)的運動時，連桿的速度矢量可表示為：

而對于空間坐標(biāo)系下的動力學(xué)模型[3]如式(20)所示：

式(20)中=[θ1θ2θ3]T為簡化后的連桿關(guān)節(jié)角。由于質(zhì)量矩陣M(θ)，科氏加速度矩陣C(θ)，重力矩陣G(θ)是θ和θ的非線性函數(shù)，各關(guān)節(jié)的控制存在較強的耦合，控制器很難針對每個關(guān)節(jié)單獨設(shè)計大大增加了控制器設(shè)計的難度。

因此采用式(19)的各驅(qū)動關(guān)節(jié)動力學(xué)模型的解耦形式，只需考慮系統(tǒng)存在一定擾動的情況下獨立設(shè)計各驅(qū)動關(guān)節(jié)的控制器，很大程度上簡化了控制器設(shè)計的難度。

4 控制器設(shè)計

PID控制器具有結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)，和魯棒性強等優(yōu)點，其廣泛應(yīng)用于各類工業(yè)控制系統(tǒng)。而PID控制器的難點在于其參數(shù)獲得和優(yōu)化問題，特別對于多關(guān)節(jié)運動耦合比較嚴(yán)重的系統(tǒng)。PID參數(shù)一般是通過半經(jīng)驗半實驗的方式獲得，但由于液壓機械臂的工作區(qū)域大，功率輸出大，如直接在實驗樣機上操作，容易因操作不當(dāng)導(dǎo)致事故。因此，準(zhǔn)確的機電液動力學(xué)模型可以為控制器參數(shù)的選取提供一個可靠的仿真平臺。

PID控制算式采用如下離散形式[11]表示：

其中，e(k)為控制偏差，KP為比例系數(shù)，KI為積分系數(shù)，KD為微分系數(shù)。

在設(shè)計控制器時，基于式(19)的數(shù)學(xué)模型，首先針對各個驅(qū)動關(guān)節(jié)設(shè)計合適的初始位置和運動速度，通過所建動力學(xué)模型計算出各個驅(qū)動連桿的驅(qū)動力。然后根據(jù)驅(qū)動力的范圍確定fk的上下界，并將fk看成擾動。采用試湊法獲得各驅(qū)動單元的PID參數(shù)。在試湊時，對參數(shù)調(diào)整實行先比例、再積分，后微分的整定步驟。在獲得每個獨立PID控制器參數(shù)后，再進行基于完整模型的控制仿真，結(jié)合實驗，分別調(diào)整出三組品質(zhì)較為良好的PID參數(shù)，各驅(qū)動單元的PID參數(shù)如表1所示。

表1 各驅(qū)動單元的PID參數(shù)

5 模型驗證與控制實驗

5.1 模型驗證實驗

本文的試驗樣機為某中小型反鏟式挖掘機器人。在上述的建模過程中，關(guān)于系統(tǒng)建模所涉及到的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，可以借助Adams、SolidWords等輔助仿真軟件進行估算或辨識得到。本實驗采用了模擬量輸出型拉線傳感器測量液壓缸長度，傳感器精度為0.02%FS，采樣周期為100Hz。

下面將分別對實驗樣機的三個機電液耦合動力學(xué)模型進行驗證，即單獨對閉鏈1、3、5系統(tǒng)對應(yīng)的比例閥輸入電壓信號。實驗前先確定閥芯電壓死區(qū)，各單元輸入的對應(yīng)電壓信號表2所示，系統(tǒng)模型預(yù)測輸出和液壓缸實際位置輸出比較如圖5～圖7所示。

表2 各閉鏈的輸入電壓

圖5 閉鏈1系統(tǒng)模型驗證

圖6 閉鏈3系統(tǒng)模型驗證

圖7 閉鏈5系統(tǒng)模型驗證

從圖5～圖7可以看出，所建立的機電液耦合動力學(xué)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型能較好地反映該挖掘機器人各關(guān)節(jié)的輸入和輸出情況。

5.2 軌跡跟蹤實驗

為了模擬實際工況，規(guī)劃一組末端軌跡進行實驗。通過幾何關(guān)系和逆運動學(xué)的方法，推導(dǎo)出和各驅(qū)動單元的軌跡和末端軌跡，如圖9～圖11中實線線條所示，實際跟蹤效果用虛線表示。

圖8 閉鏈1系統(tǒng)軌跡跟蹤

圖9 閉鏈3系統(tǒng)軌跡跟蹤

圖10 閉鏈5系統(tǒng)軌跡跟蹤

圖11 末端軌跡跟蹤

從關(guān)節(jié)空間位置跟蹤圖9～圖11可知，閉鏈3和閉鏈5單元的跟蹤軌跡效果良好，僅有較小滯后，三個驅(qū)動油缸系統(tǒng)之間仍然存在一定的液壓耦合問題，導(dǎo)致油源會先流向壓力較小油缸的現(xiàn)象，故閉鏈1驅(qū)動單元的跟蹤軌跡存在一定的誤差。從末端軌跡跟蹤圖11可知，系統(tǒng)可以良好地跟蹤目標(biāo)軌跡。

6 結(jié)語

1）本文對三自由度液壓機械臂進行虛擬分解建模，并結(jié)合液壓系統(tǒng)模型和摩擦模型獲得系統(tǒng)的各關(guān)節(jié)解耦的機電液耦合動力學(xué)模型。該模型能考慮到液壓缸等結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性，使數(shù)學(xué)模型更為準(zhǔn)確。

2）動力學(xué)模型驗證實驗表明，采用虛擬分解法建模，良好地反映液壓機械臂的動力學(xué)特性，可以為后續(xù)的控制工作提供一個可靠的仿真模型。

3）對所建模型進行整合優(yōu)化，獲得了各關(guān)節(jié)驅(qū)動缸獨立的動力學(xué)模型，控制解耦，使得控制器設(shè)計更為簡單。

4）針對單關(guān)節(jié)獨立設(shè)計了三個PID控制器并進行了末端軌跡跟蹤控制實驗，結(jié)果表明末端能有效跟蹤目標(biāo)位置。所方法可應(yīng)用于其他多閉鏈機構(gòu)，為多閉鏈機構(gòu)的動力學(xué)建模與控制提供參考。