黃振明

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部, 江蘇 蘇州215104)

眾所周知，Riemann流形上最基本的橢圓型算子是拉普拉斯算子Δ，也稱調(diào)和算子，如果流形是緊致的，則Δ有離散譜，其所有離散譜構(gòu)成的集合蘊(yùn)含了流形的重要的幾何和拓?fù)湫畔?。國?nèi)外眾多學(xué)者運(yùn)用算子法和分析法等多種方法，對(duì)調(diào)和算子Δ[1-2]、雙調(diào)和算子Δ2[3-5]和多調(diào)和算子Δn[6-7]的離散譜問題進(jìn)行了全面深入的研究，并推廣討論了一些由Δ構(gòu)成的算子組的譜問題[8-9]，得到了相應(yīng)問題譜的近似值或估計(jì)不等式，他們更感興趣的是推出不受區(qū)域度量限制的譜的萬有不等式。最近，筆者在文獻(xiàn)[8]中討論了如下一類偏微分算子組的譜問題：

(1)

(2)

將問題(1)中的方程個(gè)數(shù)和左右算子階數(shù)進(jìn)行推廣，討論問題(1)的一般情形，即下列多調(diào)和算子組的廣義譜問題：

(3)

其中，常數(shù)ai≥0(i=1,2,…,l)。因?yàn)橄噜弮勺V的差具有很強(qiáng)的實(shí)際意義，例如在物理學(xué)中描述原子、分子等微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的方程中，相鄰譜的差就對(duì)應(yīng)了粒子由一種能級(jí)狀態(tài)躍遷到鄰近另一種狀態(tài)時(shí)所吸收或釋放的能量。所以，對(duì)相鄰兩譜，尤其是前兩個(gè)譜的間隙估計(jì)受到了國內(nèi)外多位學(xué)者的重視[10-12]，本文也僅探討問題(3)的主、次譜間隙的估計(jì)，運(yùn)用變分原理[13]，對(duì)滿足s>r≥1,l≥2的任意整數(shù)得到了估計(jì)問題(3)主次譜間隙的一個(gè)上界不等式，主要成果如下：

定理1問題(3)的主、次譜λ1和λ2的間隙有如下的萬有估計(jì)①：

(4)

注①: 特別地，當(dāng)s=l=2,ai=0(i=1,2),r=1時(shí)，估計(jì)結(jié)論式(4)恰好就成為了式(2)，即文獻(xiàn)[8]中定理1的等價(jià)形式。

1 預(yù)備知識(shí)

(5)

假設(shè)問題(5)的主譜λ1對(duì)應(yīng)的主特征向量為u，滿足正規(guī)化條件：

(6)

這里，?表示梯度算子，利用式(5)、分部積分、邊界條件和式(6)，有：

(7)

(8)

利用φk的定義、式(5)和簡單的計(jì)算可得：

Rs(-Δ)φk+Aφk=(xk-ck)Rs(-Δ)u-2BRs-1(-Δ)uxk+(xk-ck)Au=xkλ1(-Δ)ru-2BRs-1(-Δ)uxk-ckλ1(-Δ)ru，

這里，B=diag[s,s+1,…,s+l-1]，再利用測試函數(shù)φk與u的廣義正交性，有：

(9)

另一方面，利用分部積分，有：

(10)

從式 (9) 和 (10)，可得 ：

(11)

2 定理的證明

引理1 設(shè)u是問題(5)對(duì)應(yīng)主譜λ1的特征向量，則：

這里，C=diag[c1,c2,…,cl],ci≥0(i=1,2,…,l),j=r+1,r+2,…,s。

證明: (a) 首先，用數(shù)學(xué)歸納法證明在齊次邊界條件下，方程(-Δ)s+i-1vi+aivi=λ(-Δ)rvi對(duì)應(yīng)主譜λ1的特征函數(shù)vi滿足下列估計(jì)式：

(12)

當(dāng)ki=r+1時(shí)，由分部積分公式、Schwarz不等式和式(6)，有：

此時(shí)，式(12)成立。假設(shè)ki=r+n≤s+i-3時(shí)，式(12)成立，則當(dāng)ki=r+n+1時(shí)，利用分部積分、Schwarz不等式和假設(shè)前提，有：

化簡上式，得：

即ki=r+n+1時(shí)，式(12)也成立，于是式(12)得證。其次，反復(fù)運(yùn)用式(12)和(7)，有：

(13)

于是：

引理1(a)得證。

(b)利用式(6)、分部積分、Schwarz不等式和(13) (其中，取ki=r+1,i=1,2,…,l)，有：

引理1(b)證畢。

引理2設(shè)u是問題(5)對(duì)應(yīng)主譜λ1的特征向量，則：

(j=1,2,…,s-1)

證明: (a) 利用分部積分和Δ的定義，有：

上述D=diag[c1,-c2,…,(-1)l-1cl]，于是引理2(a)得證。

(b)類似地，

引理2(b)得證。

證明: 運(yùn)用分部積分，有：

移項(xiàng)得：

于是，根據(jù)引理1(b) ，有：

引理3得證。

證明: 運(yùn)用分部積分，有：

這里F=diag[s-1,s,…,s+l-2]，上式移項(xiàng)后，有：

利用引理2(a)和引理1(a)，有：

引理4成立。

引理5 測試函數(shù)φk和主譜λ1滿足下列不等式：

證明: 利用φk的定義和分部積分，有：

上式移項(xiàng)求和，并利用引理2(b)和式(6)可得：

(14)

利用式(14)、Schwarz不等式、引理2(b)和式(13)，有：

(15)

根據(jù)式(14)和(15)，引理5成立。

定理1的證明: 在式(11)中將k從1到m求和，有：

將上式代入式(8)，可得：

(16)

從引理5，可得：

(17)

于是，將引理3、4中的估計(jì)結(jié)論和式(17)同時(shí)代入式(16)，化簡即得定理1中的式(4)。

3 結(jié)語

自然界、工程技術(shù)中許多的復(fù)雜問題都可歸結(jié)為高階微分系統(tǒng)的譜問題，在有關(guān)調(diào)和算子譜估計(jì)等問題的研究基礎(chǔ)上，推廣討論了高階調(diào)和算子組的譜問題，借助變分原理，得到了估計(jì)主次譜間隙的一個(gè)上界不等式，結(jié)果顯示，參考文獻(xiàn)[8]中討論的問題僅是本文問題的特殊情形，因此，本研究結(jié)論在微分算子的譜理論以及物理等學(xué)科中有著更廣的應(yīng)用價(jià)值。