鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

1 試題呈現(xiàn)

(1)試問:此子彈的運動是總在云里？總在云外？還是有時在云里，有時在云外？

(2)求子彈運動軌道的轉(zhuǎn)折點到氣體云中心的距離.

(3)討論子彈運動軌道的形狀，并求其運動的周期.

這是一道難度很大的力學(xué)競賽題，突出考查一些重要知識點，目標(biāo)明確，多點發(fā)散，環(huán)環(huán)相扣，具有很強的綜合性與創(chuàng)新性.對于這道題的完整解答詳見文獻(xiàn)[1]，其主要特點是利用萬有引力勢能曲線和徑向有效勢能曲線以及掃動面積速率公式進(jìn)行推斷或求解.雖然圖像法比較直觀，但在根據(jù)勢能函數(shù)描繪勢能曲線時難度較大，而且比較繁瑣.那么在解題時可否避免畫勢能曲線呢？是否有更簡單的解法呢？通過對試題的深度探究，發(fā)現(xiàn)多種巧妙的解法.

2 試題解答

原題有3個設(shè)問，其中第(3)問包括兩方面，可分為兩個小問題，下面對各問分別進(jìn)行一題多解.

2.1 利用引力勢能的取值范圍推斷子彈運動區(qū)域

分析：無論子彈在氣體云里運動還是在云外運動，系統(tǒng)的機(jī)械能都是守恒的，即E=Ek+U(r)保持不變，由于子彈的動能大于零，則引力勢能小于機(jī)械能總量，即U(r)

已知子彈的總能量，只要推導(dǎo)出子彈在不同區(qū)域受到的引力及其引力勢能，再根據(jù)引力勢能的取值范圍分別列出能量不等式，然后求出子彈到氣體云中心的距離與半徑的關(guān)系，即可判斷子彈的運動區(qū)域.

解法1：利用微積分求引力勢能

取無窮遠(yuǎn)處為引力勢能的零點，根據(jù)“物體在某點具有的勢能等于該物體從所在位置移到勢能零點的過程中保守力做的功”可知，在r≥R的區(qū)域，引力勢能為

在r

已知子彈的總能量

由于子彈的引力勢能小于機(jī)械能總量，即U(r)

(1)

(2)

由此可知，子彈到氣體云中心的距離總小于氣體云的半徑，所以子彈總在云里運動.

解法2：利用特殊方法求引力勢能

在r≥R的區(qū)域，子彈受到氣體云的萬有引力大小為

選擇無窮遠(yuǎn)處的引力勢能為零，根據(jù)兩個質(zhì)點的萬有引力公式與引力勢能公式之間的關(guān)系可知引力勢能為

在r

跟距離r成正比，則引力在區(qū)間r～R上的平均值為

可知子彈從氣體云內(nèi)部所在位置運動到氣體云表面的過程中引力做的功為

子彈從氣體云表面運動到無窮遠(yuǎn)處即勢能零點的過程中引力做的功為

所以引力勢能為

2.2 由方程或不等式求子彈運動軌道轉(zhuǎn)折點位置

分析：子彈在有心力的作用下做曲線運動，在軌道的轉(zhuǎn)折點處，瞬時速度垂直于矢徑，則角動量大小為L=mvr，總能量為

在轉(zhuǎn)動參考系中的總能量為

解法1:利用角動量守恒定律和能量守恒定律

設(shè)子彈軌道的轉(zhuǎn)折點到氣體云中心的距離為r，瞬時速度為v，由角動量守恒定律可知子彈相對于氣體云中心的角動量大小為

由于子彈在云里運動，可知系統(tǒng)的機(jī)械能總量為

化簡為

聯(lián)立方程可得

32r4-16R2r2+R4=0

解此方程得

可知子彈運動軌道的轉(zhuǎn)折點到氣體云中心的最小距離和最大距離分別為

這表明子彈運動軌道的轉(zhuǎn)折點至少為兩個.

解法2:利用徑向有效勢能的極值條件

子彈在有心力的作用下做曲線運動，角動量保持不變，由于子彈總在云里，則徑向有效勢能為

在軌道的轉(zhuǎn)折點處，徑向速度為零，則徑向動能為零，因此有效勢能等于總能量，即Ueff=E.

聯(lián)立方程可得

32r4-16R2r2+R4=0

解法3:利用徑向有效勢能的取值范圍

根據(jù)有效勢能的取值范圍Ueff≤E可知，

化簡得

32r4-16R2r2+R4≤0

若以x=r2為自變量，則y=32x2-16R2x+R4的圖像是開口向上的拋物線，如圖1所示，可知拋物線與橫軸相交于兩點的橫坐標(biāo)分別為

為了滿足y≤0，即函數(shù)y=32x2-16R2x+R4取值不大于零，對應(yīng)自變量的區(qū)間為x1≤x≤x2，其等價不等式為

可得

由此可知子彈到氣體云中心的最小距離和最大距離分別為

子彈在運動過程中到氣體云中心的最小距離和最大距離就是徑向運動的轉(zhuǎn)折點到氣體云中心的距離.

2.3 利用兩種方法討論力心在橢圓中的位置

分析：氣體云為質(zhì)量均勻分布的球體，由對稱性可知，無論子彈在云里還是云外，受到萬有引力的力心都在氣體云的中心，即力心的位置固定不動.由于子彈在有心力的作用下做曲線運動，總在云里運動；而且運動軌道的轉(zhuǎn)折點不少于兩個，因此運動軌道不可能是圓周、拋物線或雙曲線，只能是橢圓.

解法1：利用對比法分析力心在橢圓中的位置

解法2：利用假設(shè)法分析力心在橢圓中的位置

總之，線性正比力的力心位于橢圓軌道的中心，那么長軸的兩個端點和短軸的兩個端點是軌道的轉(zhuǎn)折點即徑向速度為零的點，則轉(zhuǎn)折點共有4個.

2.4 利用兩種方法推導(dǎo)子彈做橢圓運動的周期

分析：對于有心力作用下的曲線運動，由于角動量守恒，則矢徑掃動的面積速率恒定，只要求出面積速率以及橢圓的面積，即可求出環(huán)繞周期；當(dāng)力心位于橢圓中心時，在子彈環(huán)繞一周的過程中，徑向運動通過4個轉(zhuǎn)折點，則徑向簡諧運動經(jīng)歷兩個周期，可知環(huán)繞周期等于徑向運動周期的2倍.對于線性正比力作用下的橢圓運動，徑向運動為簡諧運動，只要在平衡點對徑向有效勢能取二階導(dǎo)數(shù)求出等效勁度系數(shù)以及徑向運動的周期，即可得到環(huán)繞運動的周期.

解法1：利用面積速率求環(huán)繞運動的周期

由于力心位于橢圓的中心，則長軸端點和短軸端點對應(yīng)的矢徑都與瞬時速度方向垂直，且矢徑的長度分別為半長軸a和半短軸b，對于質(zhì)點從長軸端點運動到短軸端點的過程，由角動量守恒定律有

mvAa=mvBb

有心力

類似于彈簧的彈力，設(shè)橢圓中心即r=0處為等效彈性勢能的零點，由機(jī)械能守恒定律有

兩個方程聯(lián)立可得

可知子彈經(jīng)過橢圓頂點處的面積速率為

由于角動量守恒，因此面積速率處處相等.

橢圓的面積為S=πab，可知子彈沿橢圓運動的周期為

由于

所以

解法2：利用有效勢能求徑向運動的周期

由于子彈在線性正比力的作用下做橢圓運動，則與彈簧振子類比可知，子彈沿徑向運動是相對于平衡位置的簡諧運動.徑向有效勢能為

將有效勢能函數(shù)兩邊取一階導(dǎo)數(shù)，可得

那么

可知徑向簡諧運動的周期為

所以子彈環(huán)繞周期為

該題原解是利用面積速率公式

得到

利用轉(zhuǎn)折點到氣體云中心的距離求出橢圓的面積

由此計算子彈環(huán)繞運動的周期為

值得注意的是，環(huán)繞運動周期與徑向運動周期不同，對應(yīng)的等效勁度系數(shù)也不同，即k≠k′.

特別有趣的是，由線性正比力決定的橢圓運動的周期公式跟簡諧運動的周期公式相同，都為

3 結(jié)束語