苑新喜

[中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院 武漢 湖北 430074]

電荷的量子性是電荷最基本和最深刻的特征之一. 我們已經(jīng)知道，電荷的基本量子單元就是一個(gè)電子或質(zhì)子所帶電荷量的絕對(duì)值，電荷的電荷量總是這個(gè)絕對(duì)值的整數(shù)倍.電子和質(zhì)子不妨都可以稱為基本單元電荷，簡稱基元電荷.

相對(duì)靜止的電荷在周圍空間產(chǎn)生的電場稱為靜電場. 靜電場是電磁場的一種具體表現(xiàn)，同樣具有能量、質(zhì)量和動(dòng)量等物質(zhì)屬性，電荷之間的庫侖力就是經(jīng)過靜電場傳遞的.

自然，基元電荷自身固有一個(gè)靜電場，該電場的能量稱為基元電荷的電場固有能，也稱為該電場的自能.作為基元電荷之一的電子，它的電場固有能及其對(duì)應(yīng)(相對(duì)論意義上)的電磁質(zhì)量至今仍然懸而未決[1].

在經(jīng)典電磁場理論中帶電體系的電荷由于數(shù)量巨大而通常被看成是宏觀上連續(xù)分布的，從而忽略電荷微觀上的量子性. 電荷的微觀量子性與宏觀連續(xù)性之間畢竟還是有本質(zhì)區(qū)別的. 因此，應(yīng)用經(jīng)典電磁場理論計(jì)算宏觀帶電體的靜電場能量時(shí)，最終計(jì)算結(jié)果只能局限于給出基元電荷之間一定體系范圍內(nèi)的相互作用能，根本上不包含基元電荷的固有能(自能).靜電場能量計(jì)算上的這么一點(diǎn)局限性正是電荷微觀量子性與宏觀連續(xù)化之間本質(zhì)區(qū)別的一種必然表現(xiàn). 這點(diǎn)局限性讓我們看到了靜電場能量計(jì)算與場源特性之間所存在的一種內(nèi)在關(guān)聯(lián)性.

由于牛頓萬有引力定律與靜電場的庫侖定律表達(dá)形式上的高度相似性，理論上很容易把靜電場的能量密度公式推廣到牛頓的萬有引力場. 如果把靜電場的能量計(jì)算與場源的特性之間那種關(guān)聯(lián)性也同時(shí)推廣到引力場，這樣就可以幫助我們從一個(gè)特殊的角度認(rèn)識(shí)和化解引力場的負(fù)能量問題.

1 靜電場能量的計(jì)算

有關(guān)電磁學(xué)和電磁場的課程中都要涉及到一些靜電場能量的計(jì)算問題[2～4]. 經(jīng)典電磁場理論給出了幾種不同的靜電場能量計(jì)算的方法，這幾種方法的計(jì)算結(jié)果彼此都可以相互呼應(yīng)和驗(yàn)證. 其中，對(duì)靜電場的能量密度進(jìn)行積分是最基本和最重要的計(jì)算方法.經(jīng)典電磁場理論給出真空中靜電場E的能量密度

式中ε0為真空介電常數(shù).宏觀帶電體的靜電場總能量

由此可以求出一個(gè)半徑為R、電荷量為Q的宏觀均勻帶電球面S的靜電場總能量為

用此方法也可以求出一個(gè)半徑為R、電荷量為Q的宏觀均勻帶電球V的靜電場總能量為

在這里，我們首先要說明的是，本文所涉及的計(jì)算都是一般電磁學(xué)和電磁場課程中的常見計(jì)算，故本文只給出計(jì)算結(jié)果，過程從略，下面也一樣.其次，此處計(jì)算中帶電球面S上和帶電球V內(nèi)電荷分布均看成是連續(xù)分布的. 最后，我們想強(qiáng)調(diào)的是，上面的計(jì)算結(jié)果無論W(S,R,Q)還是W(V,R,Q)肯定都不包含基元電荷的電場固有能(自能)，它們只能是組成電荷量Q的所有那些基元電荷之間一定程度或一定范圍的相互作用能！也就是說用能量密度we計(jì)算靜電場能量時(shí)存在一個(gè)無法突破的局限或界限.

電荷量Q所激發(fā)的靜電場E從根本上說完全是由基元電荷的電場疊加構(gòu)成的，但靜電場E的能量卻不包含基元電荷的電場固有能，這一點(diǎn)不能不讓人覺得多少有些驚奇！造成這種情況的根本原因，就在于把電荷量Q看成是空間連續(xù)分布，這就完全忽略或屏蔽了電荷量子化的本質(zhì). 為了能更清楚地說明這個(gè)問題，下面我們再用另外一種常見的方法計(jì)算W(S,R,Q)和W(V,R,Q).

在經(jīng)典電磁場理論中，也可以通過計(jì)算電勢能的方法計(jì)算靜電場的能量.首先，經(jīng)典電磁場理論給出了由n個(gè)點(diǎn)電荷組成的宏觀帶電體系的相互作用能

式中φi為點(diǎn)電荷qi所在處除它之外的其他電荷所產(chǎn)生的電勢，qiφi為qi的電勢能. 這n個(gè)點(diǎn)電荷屬于離散分布，每個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)分別在空間激發(fā)各自的靜電場. 不妨將點(diǎn)電荷qi激發(fā)的靜電場記為Ei，Ei具有能量Wi，習(xí)慣上稱Wi為點(diǎn)電荷qi的電場自能. 顯然W(n,q)不包含這n個(gè)點(diǎn)電荷各自的電場自能Wi[6]，盡管體系的電場就是由這n個(gè)Ei疊加構(gòu)成.W(n,q)只等于把這n個(gè)點(diǎn)電荷從當(dāng)前位置移到彼此相距無窮遠(yuǎn)處時(shí)電場力所做的功.W(n,q)與點(diǎn)電荷各自的電場自能Wi沒有任何關(guān)系，同時(shí)也就與基元電荷的電場固有能沒有任何關(guān)系.

然后，將

直接推廣到電荷連續(xù)分布的宏觀帶電體系. 不妨設(shè)宏觀帶電體系Q在空間的電勢分布為φ，這時(shí)再將帶電體系的電荷Q分割成一個(gè)個(gè)的電荷微元dQ，把W(n,q)中的累加符號(hào)相應(yīng)地?fù)Q成積分符號(hào)，得到公式

其中φdQ可以理解為dQ的電勢能. 公式W(Q,φ)代表了計(jì)算宏觀帶電體系的電場能量的另外一個(gè)常見和重要方法. 由此，應(yīng)用W(Q,φ)計(jì)算帶電球面S和帶電球V的靜電場能量，同樣得到與前面完全一致的計(jì)算結(jié)果W(S,R,Q)和W(V,R,Q)[2，8,9]. 既然前面的W(n,q)與基元電荷的電場固有能沒有任何關(guān)聯(lián)，W(S,R,Q)和W(V,R,Q)也一樣與基元電荷的電場固有能沒有任何關(guān)聯(lián)！理論上W(S,R,Q)和W(V,R,Q)相當(dāng)于這些基元電荷從當(dāng)前位置移動(dòng)到彼此相距無窮遠(yuǎn)時(shí)電場力所做的功.

對(duì)于“宏觀小，微觀大”的點(diǎn)電荷而言，它實(shí)際上還是具有特定大小的物理尺度的，只要給出相應(yīng)的物理尺度，它的靜電場自能Wi就具有確定的數(shù)值. 比如當(dāng)帶電球面S和帶電球V的半徑R足夠小，都可以看成是一個(gè)點(diǎn)電荷，但無論半徑R多么小，只要給出R，其靜電場自能都是一個(gè)確定的數(shù)值，但這個(gè)確定的計(jì)算結(jié)果依然只是基元電荷之間的相互作用能的總和，不包含基元電荷的各自的固有能. 電荷微元dQ在數(shù)學(xué)形式上可以趨于零(等同于“電荷可以無限細(xì)分下去”)，對(duì)應(yīng)的dQ的靜電場自能也可以趨于零，比如當(dāng)電荷微元dQ均勻分布在球面S上時(shí)，其靜電場自能也同步隨dQ自身無限地趨于零. 顯然，一個(gè)在數(shù)學(xué)形式上能無限地趨于零的電場自能與具有物理實(shí)在意義和大小的基元電荷的電場固有能沒有任何關(guān)聯(lián).

對(duì)于微觀帶電體系如分子、原子，盡管單個(gè)的基元電荷也可以看成一個(gè)點(diǎn)電荷，但也不能計(jì)算出基元電荷的電場固有能. 并且在這些微觀情形下，基元電荷的狀態(tài)比較復(fù)雜，已超出經(jīng)典電磁學(xué)的范疇，在此不展開討論.

從微觀粒子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)上看，基元電荷的電場固有能是帶電粒子質(zhì)量的一個(gè)來源或組成部分，已融于物質(zhì)的結(jié)構(gòu)之中. 因此，不論帶電體系的電磁場發(fā)生什么樣的變化，基元電荷的靜電場固有能(自能)都是一個(gè)保持不變的常數(shù). 所以，在計(jì)算宏觀帶電體系的電磁場能量及其變化時(shí)，自然可以在形式上把基元電荷的電場自能排除在外[5].

最后，再舉一個(gè)常見的計(jì)算電場能量的例子. 充電電容器存儲(chǔ)的電場能量也是可以計(jì)算的，如板面為S、板間距為d的真空平行平板電容器存儲(chǔ)的電場總能量

式中W(S,d,Q)也只表示電容器正極板上的電荷+Q與負(fù)極板上的電荷-Q在特定意義下的相互作用能，與基元電荷的電場固有能無關(guān).

綜上所述，靜電場的能量計(jì)算與場源的特性之間存在著一種內(nèi)在關(guān)聯(lián)性.由于電荷的量子化本質(zhì)，宏觀帶電體系靜電場能量的計(jì)算與微觀上基元電荷的電場固有能無關(guān). 宏觀帶電體系的靜電場能量本質(zhì)上是基元電荷之間的相互作用能，在形式上可正可負(fù)；基元電荷的電場固有能作為物質(zhì)結(jié)構(gòu)的組成部分，只能是正的.

2 對(duì)引力場的負(fù)能量問題的一點(diǎn)啟示

由于牛頓萬有引力定律與靜電場的庫侖定律表達(dá)形式上的高度相似性，不可避免地引起了人們對(duì)引力場與電磁場的類比思考. 麥克斯韋不僅是經(jīng)典電磁場理論的集大成者，也是引力場與電磁場類比研究的一位先行者. 1864年麥克斯韋把靜電場的能量密度公式推廣到引力場. 考慮到引力只有相互吸引作用，引力場的能量密度只能是負(fù)值，麥克斯韋認(rèn)為這個(gè)“負(fù)能量”是不可接受的，并因此放棄了對(duì)引力的進(jìn)一步研究.

在我們今天看來，電磁場是一種客觀存在的特殊物質(zhì)形態(tài)，具有物質(zhì)實(shí)在性. 如果說，類比電磁場，傳遞引力作用的引力場也具有物質(zhì)實(shí)在性，那么從這個(gè)角度看，引力場的“負(fù)能量”問題變得更加不可思議. 因此，引力場的負(fù)能量問題一直被看成是牛頓引力理論的一個(gè)邏輯“漏洞”或“缺陷”！

但是，如果我們在場源的特性上對(duì)引力場與電磁場進(jìn)行類比，引力場的負(fù)能量問題未必不能解決. 電磁場的場源是電荷，具有量子性，那么我們是不是可以簡單地設(shè)想一下引力場的場源(即引力質(zhì)量)也具有和電荷一樣的某些特性？假設(shè)引力質(zhì)量也具有量子性，其量子化單元不妨稱為“基元質(zhì)量荷”， “基元質(zhì)量荷”也有相應(yīng)的引力場固有能(自能). 如果“基元質(zhì)量荷”的引力場固有能存在，它應(yīng)該是物質(zhì)結(jié)構(gòu)的組成部分，和基元電荷的電場自能一樣.

今天我們所能探測到的引力場，都是名副其實(shí)的宏觀引力體系所產(chǎn)生的.我們這里從3個(gè)層面將宏觀引力體系與上述宏觀帶電體系進(jìn)行類比.一是宏觀引力體系的引力場可以認(rèn)為是微觀的“基元質(zhì)量荷”的引力場的疊加構(gòu)成；也就是說，宏觀引力體系的引力質(zhì)量分布在宏觀形式上是連續(xù)的，在微觀本質(zhì)上是離散的.二是一旦把靜電場的能量密度公式推廣到引力場[11]，所計(jì)算出的宏觀引力體系的引力場能量也一定都是“基元質(zhì)量荷”之間的相互作用能.三是宏觀引力體系的引力場能量也應(yīng)該不包含“基元質(zhì)量荷”的引力場固有能(自能)，也就是說，宏觀上引力場能量(相互作用能)與微觀上引力場固有能(自能)無關(guān).因此不妨假設(shè)“基元質(zhì)量荷”的引力場固有能(自能)恒為正，這個(gè)假設(shè)與宏觀引力體系引力場的能量為負(fù)值的事實(shí)不產(chǎn)生矛盾，而且不影響宏觀引力體系引力場能量的計(jì)算！這樣我們把引力場能量問題分隔成宏觀與微觀兩個(gè)不同層次上的問題，為在理論邏輯上化解了引力場負(fù)能量問題提供了一條可行的思路或途徑.

基元電荷有正負(fù)，有電子或質(zhì)子等不同的載體，因此可以說基元電荷的種類或載體不是唯一的. 那么，“基元質(zhì)量荷”的種類或載體也可以類似地認(rèn)為不是唯一的，電子與質(zhì)子等不同的基本粒子是不是因此可以看成是不同種類或載體的“基元質(zhì)量荷”呢？物質(zhì)世界中基本粒子的種類畢竟是有限的，這是不是意味著引力場的場源事實(shí)上就是量子化的？其實(shí)這都是可以商榷的.

3 結(jié)論

由于宏觀帶電體系的電荷分布看成是連續(xù)的，完全屏蔽了電荷的量子性，所能計(jì)算出來的體系的靜電場能量只是基元電荷之間一定程度或一定范圍的相互作用能，不包含基元電荷的電場固有能，盡管宏觀帶電體系的靜電場是由基元電荷的電場疊加構(gòu)成. 類比電場，我們可以假設(shè)引力場的場源也是量子化的，這樣就為解決引力場的負(fù)能量問題提供一個(gè)值得探討的理論邏輯思路.