范 繼 蘇曉莉

(華中科技大學(xué)物理學(xué)院 湖北 武漢 430074)

1 引言

角動量定理與剛體定軸轉(zhuǎn)動定律是大一學(xué)生在學(xué)習(xí)“大學(xué)物理”力學(xué)部分時的難點內(nèi)容[1～4]．由于在中學(xué)階段學(xué)生們并沒有接觸過相應(yīng)的知識點，因而在大學(xué)階段的學(xué)習(xí)過程中很容易對相關(guān)概念的理解及應(yīng)用產(chǎn)生較大誤解．特別在學(xué)習(xí)完剛體的角動量定理后，學(xué)生們處理滑輪懸掛物體問題時有了多種解法，這時反而容易對物理概念混淆不清．質(zhì)點的角動量定理表述為，質(zhì)點對任一固定點的角動量的時間變化率，等于質(zhì)點所受的合外力對該固定點的力矩[5]．剛體定軸轉(zhuǎn)動定律可表述為，在定軸轉(zhuǎn)動中，剛體受到的所有外力對轉(zhuǎn)軸的合外力矩等于剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量和角加速度的乘積[5]．滑輪懸掛物體問題常常可利用這兩個知識點進行分析，然而到底應(yīng)該利用角動量定理還是利用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律進行求解，部分學(xué)生因?qū)ξ锢磉^程判斷不清而用錯公式．盡管角動量定理與剛體定軸轉(zhuǎn)動定律都能用來求解此類問題，但其相應(yīng)的問題分析方式并不相同．這使得學(xué)生們在分析相關(guān)物理過程時容易感到困難，不利于他們形成正確的知識體系．同時，“大學(xué)物理”課堂的新手教師們在初次遇到個別學(xué)生對此類問題的解答時也很容易誤判．為此，本文針對角動量定理與剛體定軸轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用于滑輪懸掛物體問題進行了詳細(xì)的說明，分析了錯誤應(yīng)用物理概念卻得到正確結(jié)果的原因．本文對滑輪懸掛物體這一類問題的特殊性進行了闡述，最后說明了利用這種特殊性進行求解以簡化解題的過程，但不推薦學(xué)生采用這種分析方式．本文強調(diào)在授課過程中應(yīng)盡可能做到讓學(xué)生們正確理解基本物理概念，讓他們明確可能存在的錯誤的起因，以幫助學(xué)生對物理過程進行理解．

2 滑輪懸掛物體問題的一道典型例題及其經(jīng)典解法

在學(xué)習(xí)剛體定軸轉(zhuǎn)動定律時，通常會給學(xué)生們講授如下典型例題：

這道題目涉及一個剛體(滑輪)的定軸轉(zhuǎn)動與質(zhì)點(物體)線運動的混合，在分析此類問題時，我們一般采用剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律來分析剛體的運動，而對線運動的物體一般則采用牛頓第二運動定律去分析．根據(jù)題意，我們首先可對系統(tǒng)中的每個研究對象分別進行受力分析，如圖1所示．

圖1 滑輪懸掛物體的受力分析圖

懸掛的物體m受到兩個力的作用，即重力mg與繩的拉力T．滑輪受到自身重力Mg，支撐點的支撐力N以及繩的拉力．很明顯，滑輪的重力與支撐點的支撐力均通過其軸心，故它們不對滑輪產(chǎn)生力矩．有了上述分析過程后，可定義沿鉛垂線豎直向下為正方向．對懸掛的物體m，根據(jù)牛頓第二運動定律，可得

mg-T=ma

(1)

式中，a為懸掛物體下落的加速度．對滑輪M，運用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律可得

TR=JMβM

(2)

式中，JM為滑輪對過O點且與紙面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，βM為滑輪的角加速度．由于繩子與定滑輪之間無相對滑動，因此，線加速度與角加速度存在如下的關(guān)系

a=RβM

(3)

聯(lián)立式(1)、(2)，以及式(3)，可得

(4)

上述解法是在授課過程中較為常用的一種解題方法．在課程進行到剛體轉(zhuǎn)動的機械能守恒時，亦可利用機械能守恒進行求解．由于該解法的分析超出本文范圍，這里不作討論．

3 學(xué)生常犯的幾種錯誤

學(xué)生在遇到上述問題進行求解時，有幾種常犯的錯誤，但最終卻都得出了正確的答案，這需要引起教師們的重視．下面我們將進行詳細(xì)闡述．

3.1 利用角動量定理時存在的錯誤概念

有學(xué)生在解題時會直接給出這樣的解答過程：

因為繩和滑輪之間無滑動，所以根據(jù)剛體角動量定理的微分形式，可以得出

(5)

(6)

由上式可以解得與式(4)相同的結(jié)果．

這種解題方法是否正確呢？所謂剛體，就是在任何情況下，大小和形狀都不會發(fā)生變化的物體．很顯然，根據(jù)剛體的定義[5]，此類滑輪懸掛物體問題中滑輪與物體構(gòu)成的系統(tǒng)并不是剛體，因而不能利用剛體角動量定理進行解題．雖然最后結(jié)果是對的，但該學(xué)生對剛體的概念理解錯誤．

那到底能否應(yīng)用角動量定理進行求解？答案是肯定的，我們可從質(zhì)點系角動量定理進行分析(剛體可以看成質(zhì)點系)．質(zhì)點系角動量定理可描述為質(zhì)點系對慣性系中某給定參考點的角動量的時間變化率，等于作用在該質(zhì)點系上所有外力對該給定參考點的總力矩．對于圖1中所描述的滑輪與物體組成的系統(tǒng)而言，雖然滑輪是圍繞轉(zhuǎn)軸在做定軸轉(zhuǎn)動，但是所懸掛的物體是做線運動．如果將O點視為整個系統(tǒng)的給定參考點，物體m看成一質(zhì)點，則整個質(zhì)點系的角動量L可寫為

L=r×p+JMω

(7)

式中，r為物體m到O點距離，p為物體m的動量，ω為滑輪轉(zhuǎn)動的角速度．

我們對整個系統(tǒng)的運動再次進行分析，如圖2所示，假設(shè)在t時刻物體m運動到某一位置時，它擁有垂直向下的速度為v．因此物體m對于O點角動量r×p可表示為

r×p=rpsinθe=

(8)

式中，e為垂直于紙面向外的單位矢量．滑輪的角動量JMω可表示為

(9)

將M與m看作一個系統(tǒng)，系統(tǒng)所受外力包括M所受的重力與支撐力，以及m所受重力．其中，M所受的重力與支撐力是經(jīng)過整個系統(tǒng)的給定參考點的中心，因此它們不產(chǎn)生力矩，即力矩為零．m所受重力對O點的力矩為

M=r×F=rmgsinθe=mgRe

(10)

方向為垂直于紙面向外．結(jié)合式(7)～(10)，運用角動量定理的微分形式Mdt=dL有

(11)

可見式(11)與式(5)相同，對等式兩邊同時做積分可得與式(4)相同的結(jié)果．

圖2 利用質(zhì)點系角動量定理求解的速度分析圖

由此可看出，雖然利用剛體角動量定理和質(zhì)點系角動量定理得到了相同的結(jié)果，但是對其物理過程的理解是完全不同的．利用質(zhì)點系角動量定理求解是正確的，而利用剛體角動量定理則存在對剛體定義的錯誤理解，錯誤的概念運用得到正確的結(jié)果，這由一系列特殊的幾何關(guān)系所導(dǎo)致的，后面我們還會進行詳細(xì)的分析．

3.2 利用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律時存在的錯誤概念

也有學(xué)生在解題時會直接給出這樣的解答過程：

因為繩和滑輪之間無滑動，所以利用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律M=Jβ可得

(12)

由上式可解得

(13)

再結(jié)合式(3)可以得到與式(4)相同的結(jié)果．

雖然得到了正確的結(jié)果，但是這種解題思路是否正確呢？首先根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的形式，式(12)認(rèn)為物體m與滑輪M是繞O點做轉(zhuǎn)動的，同時式(12)也認(rèn)為物體m與滑輪M有相同的角加速度βM，這顯然是不正確的．如果將m和M看作都是繞O點做轉(zhuǎn)動，那么由于轉(zhuǎn)動的半徑不同，他們的角加速度是不相同的，所以根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動定律列出的式(12)是不正確的．為什么不正確的表達(dá)式會得出正確的答案呢？

伯克利物理學(xué)教程第一卷《力學(xué)》(科學(xué)出版社，1979年，P339)寫道：“因為轉(zhuǎn)軸的方向被限制固定在空間，而且相對于物體也是固定的，所以物體的慣量特性相對于軸是不變的．”剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律M力矩=Jβ可理解為角動量定理的一種特殊情況的表達(dá)方式，它所強調(diào)的是整個剛體圍繞某一固定的轉(zhuǎn)軸在做轉(zhuǎn)動時的角加速度與外力之間的關(guān)系[6]．對于圖1所描述的滑輪與物體組成的系統(tǒng)而言，雖然滑輪是圍繞轉(zhuǎn)軸在做定軸轉(zhuǎn)動，但由于物體做線運動，因而它們整體的運動情況并不是圍繞某一轉(zhuǎn)軸在做定軸轉(zhuǎn)動．但是，這類問題是否可以整體利用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律進行求解呢？我們知道剛體是一種理想的模型，在轉(zhuǎn)動中沒有形變．對于做線運動的質(zhì)點而言，它可被看成一種很特殊的剛體，所以可以用剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律來分析質(zhì)點的線運動．

此時利用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律求解，強調(diào)的是整個系統(tǒng)繞固定的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)．在圖2所示的求解方式中，我們將t時刻的m看成圍繞O點進行轉(zhuǎn)動，此時它的轉(zhuǎn)動慣量可寫為

(13)

若物體m下落的加速度為a，則它在t時刻繞O的切線方向的角加速度可表示為

(14)

若將M與m看做一個系統(tǒng)，在t時刻圍繞O點做定軸轉(zhuǎn)動，則系統(tǒng)只受到物體m重力的力矩作用，利用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律，我們可以得到

mgR=JMβM+Jmβm

(15)

(16)

再結(jié)合式(3)，可以解得

(17)

則在t時刻，物體m下落的速度可由v=at求得與式(4)相同的結(jié)果．

可以發(fā)現(xiàn)式(12)與式(16)是等價的，這是由一系列特殊的幾何關(guān)系所導(dǎo)致的．所以此類問題是可以用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律進行求解的．但是對其物理過程的理解是需要仔細(xì)推敲的．在給學(xué)生講述時要特別強調(diào)不能單純地利用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律得出式(12)，而應(yīng)該利用幾何關(guān)系一步一步地推導(dǎo)出式(16)．因為嚴(yán)格講來，式(16)已不是“剛體轉(zhuǎn)動定律”了，因為它是兩個剛體組合而成的剛體，一旦這種組合剛體沒有了相互作用力，式(16)就不成立了．

4 推廣分析

圖3 利用臨界狀態(tài)分析法示意圖

為什么這種根據(jù)初始(臨界)狀態(tài)列出的方程可以解得正確的結(jié)果？首先，在這樣一個系統(tǒng)中，m的線加速度以及M對O點的角加速度為一定值，它們并不隨著時間而發(fā)生改變，所以無論在系統(tǒng)的任何階段，只要能夠求出其在任意時刻的線加速度或者角加速度就可以求出下落速度與時間的準(zhǔn)確關(guān)系．其次，在我們只利用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律求解時，在不同的位置m對O點的轉(zhuǎn)動動量不同，如式(13)所示．m的運動過程中對O點的角加速度也在時刻變化，如式(14)所示．我們代入一系列典型值利用MATLAB進行計算，可得從圖3時刻開始1 s內(nèi)m對O點的轉(zhuǎn)動慣量以及角加速度的結(jié)果,如圖4所示．我們可以發(fā)現(xiàn)在下落過程中m對O點的轉(zhuǎn)動慣量以及角加速度在不斷的變化，且這種變化是非線性的．但是如果將m對O點的轉(zhuǎn)動慣量以及角加速度相乘，我們可以發(fā)現(xiàn)有關(guān)物體位置信息的變量θ就會被約掉，此時整個系統(tǒng)的Jβ就與臨界狀態(tài)時的表達(dá)式完全一樣，為一定值,如圖5所示．

圖4 滑輪所懸掛物體的角加速度與轉(zhuǎn)動慣量分析

圖5 滑輪所懸掛物體的角加速度與轉(zhuǎn)動慣量乘積的分析

可以得出這樣的結(jié)論，在滑輪懸掛物體這類問題中，物體與滑輪相對于O點的轉(zhuǎn)動慣量與它們相對于O的角加速度乘積之和為一定值．那么，利用這種特殊性能否為我們的解題帶來一定的方便呢？下面我們將一個滑輪與一個物體的情況推廣至兩個滑輪與兩個懸掛物體的情況，如以下典型例題：

圖6 兩個滑輪懸掛兩個物體的受力分析圖

此題的典型解法是首先針對兩個滑輪分別利用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律進行分析，由于右邊的物體會向下運動，左邊的物體會向上運動，連接兩物體的繩水平向右運動，設(shè)水平向右為正方向，因而對滑輪和物體分別進行受力分析(圖6)后可得如下結(jié)論.

對左邊滑輪

(18)

對右邊滑輪

(19)

對懸掛的物體分別利用牛頓第二運動定律.

對左邊物體

T1-mg=ma

(20)

對右邊物體

2mg-T2=2ma

(21)

對于此類滑輪物塊問題，因為所懸掛的物體對相近的滑輪中心的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度乘積為一定值，我們利用前述的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度乘積之和為一定值的特殊性進行解題，看是否會得到正確的結(jié)果．首先，因為右邊的物體重量大于左邊的物體重量，所以整個系統(tǒng)運動時右邊懸掛的物體向下運動，左邊懸掛的物體向上運動．我們首先認(rèn)為在最初階段，右邊懸掛的物體貼近右邊的滑輪，把它當(dāng)成一質(zhì)點來對待，根據(jù)其運動方向設(shè)定沿鉛垂線向下為y軸正方向，水平向右為x軸正方向，此時右邊滑輪與右邊物體組成的系統(tǒng)應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律可得

(22)

若將左邊的懸掛物體當(dāng)成一質(zhì)點來處理，然后在最末時刻它必將運動至左邊的滑輪邊緣處，根據(jù)其運動方向，設(shè)沿鉛垂線豎直向上為y軸正方向，水平向右為x軸正方向，此時左邊滑輪與左邊物體組成的系統(tǒng)可利用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律可得

(23)

將式(19)與(18)相除可得

(24)

求解可得兩繩之間張力為

很明顯，利用這種特殊性求解多個滑輪與多個懸掛物體組成的系統(tǒng)問題時是比較簡便的．但是有一點必須明確指出，因為在整個運動過程中，有關(guān)物體位置信息的變量θ會在計算過程中被約掉，所以在利用物體貼近滑輪時所得到懸掛物體對相鄰滑輪中心的轉(zhuǎn)動慣量以及角加速度乘積的表達(dá)式，在任意時刻都是相同的，正是因為這一點我們可以利用這種方法進行求解以簡化計算．在授課過程中我們必須讓學(xué)生對物理概念有清楚的理解，因而不推薦學(xué)生采用此種解法．這里介紹該方法僅為了讓大家認(rèn)識到滑輪懸掛物體問題的特殊性．

5 結(jié)束語

綜上所述，在求解滑輪懸掛物體這一類問題時，學(xué)生容易對一些物理概念產(chǎn)生誤解，但是這種錯誤的認(rèn)識卻能得到正確的答案，這需要引起教師們的重視．這種錯誤認(rèn)識能得到正確答案的具體原因在于所懸掛物體對滑輪中心轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積與物體所處的位置無關(guān)，這種巧合完全是由這類題目幾何關(guān)系的特殊性造成的．在多個滑輪與物體所組成的系統(tǒng)中，我們利用這種特殊性進行解題可簡化分析與計算．但是在教學(xué)過程中一定要讓學(xué)生對物理概念有清晰的理解，以免因這種特殊性的存在讓學(xué)生們對物理概念認(rèn)識錯誤．