黃 山

（安徽警官職業(yè)學(xué)院，安徽，合肥 230031）

0 引言

量子糾錯(cuò)碼在量子信息和量子計(jì)算領(lǐng)域有重要應(yīng)用。Shor[1]和Steane[2]搭建了量子糾錯(cuò)碼的基本理論框架。Calderbank 等人[3]利用經(jīng)典自正交碼構(gòu)造了二元量子糾錯(cuò)碼。Ashikhmin 等人[4]利用經(jīng)典自正交碼構(gòu)造了非二元量子糾錯(cuò)碼。此后，利用經(jīng)典的自正交碼，量子糾錯(cuò)碼的構(gòu)造得到了發(fā)展。自正交碼的結(jié)構(gòu)較強(qiáng)，因而限制了經(jīng)典糾錯(cuò)碼在量子糾錯(cuò)領(lǐng)域的應(yīng)用。為了打破這一限制，2006 年，Brun等人[5]利用量子糾纏理論發(fā)明了糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼。Hsieh 等人[6]給出了利用Calderbank-Shor-Steane方法構(gòu)造二元糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼時(shí)所需的最優(yōu)糾纏比特?cái)?shù)。Wilde 等人[7]給出了利用更一般方法構(gòu)造二元糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼時(shí)所需的最優(yōu)糾纏比特?cái)?shù)。Luo 等人[8]研究了P元糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼的構(gòu)造方法。最近，Galindo 等人[9]給出了q元糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼的構(gòu)造方法，并給出了所構(gòu)造的糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼所需的最優(yōu)糾纏比特?cái)?shù)。

循環(huán)碼是構(gòu)造糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼的重要經(jīng)具有最大糾纏比特?cái)?shù)的二元糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼。2019 年，Qian 等人[11]利用循環(huán)碼構(gòu)造了糾纏輔助量子MDS 碼和幾乎MDS 碼。2020 年，Wang 等人[12]利用循環(huán)碼構(gòu)造了七類具有較小糾纏比特?cái)?shù)的糾纏輔助量子MDS 碼。Zhu 等人[13]利用循環(huán)碼構(gòu)造了碼長為 (q2+1) 5的q元糾纏輔助量子MDS 碼。2021 年，Galindo 等人[14]利用擴(kuò)張次數(shù)為2 的BCH碼構(gòu)造了糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼。Chen 等人[15]利用循環(huán)碼構(gòu)造了六類糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼。Lu 等人[16]利用循環(huán)碼構(gòu)造了兩類新的糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼。

重根循環(huán)碼是一類特殊的循環(huán)碼，利用重根循環(huán)碼可以構(gòu)造參數(shù)好的經(jīng)典糾錯(cuò)碼。2004 年，Li等人[17]利用二元重根循環(huán)碼構(gòu)造了幾類二元量子糾錯(cuò)碼。2013 年，Qian 等人[18]利用長度為ps的重根循環(huán)碼構(gòu)造了p元量子糾錯(cuò)碼。2014 年，Wang等人[19]利用長度為2ps的重根循環(huán)碼構(gòu)造了p元量子糾錯(cuò)碼。2018 年，Li 等人[20]利用GF(2ɑ)上長度為2ɑα( 2ɑ- 1)的重根循環(huán)碼構(gòu)造了參數(shù)較好的2ɑ元量子糾錯(cuò)碼。最近，Eani 等人[21]利用長度為4ps的重根循環(huán)碼構(gòu)造了量子糾錯(cuò)碼。與經(jīng)典的量子重根循環(huán)碼相比，糾纏輔助量子重根循環(huán)碼的研究相對(duì)較少，因而本研究將重根循環(huán)碼應(yīng)用于構(gòu)造糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼，構(gòu)造了幾類糾纏輔助量子重根循環(huán)碼。

2008 年，Dinh[22]確定了GF(pɑ)上長度為ps的重根循環(huán)碼的代數(shù)結(jié)構(gòu)和最小距離。2012 年，Dinh[23]確定了GF(pɑ)上長度為2ps的重根循環(huán)碼的代數(shù)結(jié)構(gòu)。?zadam 等人[24]確定了GF(pɑ)上長度為2ps的重根循環(huán)碼的最小距離。本研究將長度為2ps的重根循環(huán)碼應(yīng)用于糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼的構(gòu)造，得到了幾類糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼。我們研究主要內(nèi)容安排如下：首先，給出本文所需的基本概念和已有結(jié)果。然后，將重根循環(huán)碼應(yīng)用于糾纏輔助典碼。2015 年，Lv 等人[10]利用四元BCH 碼構(gòu)造了量子糾錯(cuò)碼的構(gòu)造。最后，為全文的總結(jié)。

1 基礎(chǔ)知識(shí)

2 糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼的構(gòu)造

3 結(jié)束語

通過確定有限域GF(p)上長度為2ps的循環(huán)碼的Hull 維數(shù)，并將其應(yīng)用于糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼的構(gòu)造，得到了幾類糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼，與現(xiàn)有文獻(xiàn)進(jìn)行比較，這些糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼的參數(shù)是新的。特別地，利用重根循環(huán)碼，構(gòu)造了兩類最優(yōu)糾纏比特?cái)?shù)為1 的糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼。我們下一步打算，將研究其他類型的糾纏輔助量子重根循環(huán)碼，并構(gòu)造糾纏輔助量子MDS 碼。