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        周期軸向力作用下旋轉(zhuǎn)圓錐薄殼動力穩(wěn)定性研究*

        2022-08-31 14:50:50韓勤鍇秦朝燁褚福磊
        動力學與控制學報 2022年4期
        關(guān)鍵詞:模態(tài)

        韓勤鍇 秦朝燁 褚福磊

        (清華大學 機械系,北京 100084)

        引言

        薄壁殼體結(jié)構(gòu)在土木工程、機械工程和航空航天工程中有著廣泛的應用.在載荷參數(shù)值和橫向振動固有頻率的特定組合下,殼體結(jié)構(gòu)在面內(nèi)周期力作用下可能發(fā)生不穩(wěn)定的橫向振動,導致參數(shù)失穩(wěn),危及結(jié)構(gòu)安全.半個世紀以來,具有不同幾何、邊界條件和荷載類型的殼體結(jié)構(gòu)參數(shù)失穩(wěn)問題得到了廣泛研究[1,2].

        從研究對象看,現(xiàn)有研究[3-7]多數(shù)集中于圓柱殼,而對圓錐殼的參數(shù)失穩(wěn)研究相對較少.基于Marguerre型動力方程,Ye[8]分析了扁錐薄殼在周期性橫向和面內(nèi)載荷作用下的非線性振動和動力失穩(wěn).Ng等[9]利用廣義微分求積(GDQ)方法研究了邊界條件對周期邊緣載荷作用下截錐殼參數(shù)失穩(wěn)的影響.Sofiyev[10-12]對復合材料層合錐殼的熱致動力失穩(wěn)和屈曲行為進行了一系列研究.近期,不少學者探索了由碳納米管增強復合材料[13]、功能梯度材料[14]以及金屬泡沫材料[15]制成的截錐殼非線性動力失穩(wěn)問題.

        上述研究并未考慮旋轉(zhuǎn)效應.對于周期性軸向載荷作用下的旋轉(zhuǎn)圓柱殼,Ng等[16]和Liew等[17]報道了旋轉(zhuǎn)引起的科里奧利力和離心力對失穩(wěn)區(qū)域有顯著影響.Lam和Hua[18]指出,將研究從旋轉(zhuǎn)圓柱殼擴展到旋轉(zhuǎn)圓錐殼所需的分析量相當大.此外,圓錐殼是更為一般的殼體結(jié)構(gòu)形式.因此,研究旋轉(zhuǎn)對周期軸向載荷作用下旋轉(zhuǎn)錐殼參數(shù)失穩(wěn)的影響具有重要意義.

        GDQ方法最早由Shu和Richards[19]提出,用于直接求解工程問題的控制方程.目前,GDQ方法已廣泛應用于殼體結(jié)構(gòu)的振動分析[20-22].本文將基于該方法建立旋轉(zhuǎn)錐殼的振動模型.考慮旋轉(zhuǎn)效應后,周期軸向載荷作用下薄壁錐殼結(jié)構(gòu)的動力學問題屬于一類具有參數(shù)激勵的陀螺動力系統(tǒng).由于Floquet乘數(shù)假設不滿足陀螺系統(tǒng),經(jīng)典Bolotin方法不能用于此類系統(tǒng)的參數(shù)穩(wěn)定性分析[23,24].需借助更為普適的Hill方法[25].

        因此,本文擬開展周期軸向力作用下旋轉(zhuǎn)圓錐薄殼動力穩(wěn)定性研究.基于Donnell薄殼理論[26]推導旋轉(zhuǎn)錐殼的動力學方程,采用GDQ法和Hill法分析系統(tǒng)在周期軸向載荷作用下的參數(shù)不穩(wěn)定性.通過與文獻結(jié)果的對比,驗證分析模型的準確性.研究不同轉(zhuǎn)速和邊界條件時系統(tǒng)主參數(shù)穩(wěn)定區(qū)的變化,討論軸向力相對變化幅值以及幾何設計參數(shù)(錐角、長徑比和厚徑比)對不穩(wěn)定區(qū)的影響規(guī)律.

        1 分析模型

        1.1 周期軸向力

        本文考慮各向同性的截斷型圓錐薄殼,其彈性模量為E,密度為ρ,泊松比為υ.圖1給出了以角速度Ω繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)的圓錐薄殼的幾何結(jié)構(gòu)和坐標系.其中,α為錐角,L為軸向長度,h為厚度,a和b是錐殼兩端的半徑.錐殼的基準面取其厚度中面,其中正交坐標系(x-θ-z)是固定的,r=r(x)是任意坐標點(x,θ,z)的半徑.旋轉(zhuǎn)錐殼在經(jīng)向x、周向θ和法向z方向上的變形分別由u,v,w定義.

        圖1 旋轉(zhuǎn)圓錐薄殼的幾何結(jié)構(gòu)和坐標系

        旋轉(zhuǎn)錐殼在圖1所示的子午方向上承受周期性載荷Na(t),其形式可假定為恒定載荷上疊加一個小正弦擾動量,即表示為如下形式

        Na(t)=ηaNcr(1+εcosωat)

        (1)

        式中,ηa和ε分別表示恒定軸向力的幅值和相對變化幅值.Ncr表示當錐角α=0時的圓柱薄殼的屈曲載荷,有Ncr=Eh/[R(2(1-υ2)]1/2,其中R表示柱殼的半徑.本研究中,令R=a.

        1.2 旋轉(zhuǎn)薄壁錐殼振動模型

        根據(jù)Donnell薄殼理論[26],圖1所示的旋轉(zhuǎn)圓錐殼體結(jié)構(gòu)的動力學方程可表示為

        (L+LT+LI+LN)u=0

        (2)

        式中,u=[u,v,w]T.L表示非旋轉(zhuǎn)錐殼的微分算子矩陣,可參考文獻[18].LT表示初始環(huán)向張力引起的微分算子矩陣,可表示為

        (3)

        式中

        (4a)

        (4b)

        (4c)

        (4d)

        (4e)

        (4f)

        式中,r=a+xsinα.LI表示慣性力微分算子矩陣,可表示為

        (5)

        式中

        (6a)

        (6b)

        LI13=LI31=ρhΩ2sinαcosα

        (6c)

        (6d)

        (6e)

        (6f)

        LN表示軸向力微分算子矩陣,可表示為

        (7)

        其中

        (8a)

        (8b)

        后續(xù)分析中,將考慮四種邊界條件:小端固支和大端固支(Cs-Cl)、小端簡支和大端固支(Ss-Cl)、小端固支和大端簡支(Cs-Sl)以及小端簡支和大端簡支(Ss-Sl).

        1.3 基于GDQ方法的離散模型

        在應用GDQ方法之前,需確定圓錐薄殼自由振動的位移場為

        (9)

        L*u*=0

        (10)

        其中,u*=[U(x),V(x),W(x)]T是未知的振型空間函數(shù)向量,L*是維度為3×3的微分算子矩陣.GDQ方法的思路[19]:一個足夠光滑的函數(shù)在一個離散點上相對于坐標方向的導數(shù)可以近似地表示為所有離散點上函數(shù)值的加權(quán)線性和.以函數(shù)U(x)為例,GDQ方法的基本做法如下:

        (11)

        其中,N是x方向上離散網(wǎng)格點的總數(shù).Cijm是與第m階導數(shù)相關(guān)的加權(quán)系數(shù).選取x方向上余弦函數(shù)點作為離散網(wǎng)格點,即xi={1-cos[(i-1)/(N-1)π]}/2L,(i=1,2,…,N).顯然,越靠近錐殼的端點,離散網(wǎng)格點的分布就越密集.值得注意的是,錐殼兩個端點的坐標為x1=0和xN=L.V(x)和W(x)導數(shù)的離散表達式可與式(11)中U(x)的表達式類似.

        將這些GDQ方法的表達式應用于常微分控制方程組[式(10)],得到一組線性代數(shù)方程組:

        (12)

        (13)

        式中U(m)(xi),V(m)(xi)和W(m)(xi)可分別由式(11)確定,且m=1,2,3,4.

        (14)

        式中H0,H1,H2,Ha分別表示維度為系數(shù)矩陣J×J的系數(shù)矩陣(J=3N-8).需要說明的是,Ha僅由軸向力作用而引起的.d表示第J階模態(tài)振型列向量,有

        (15)

        通過求解方程(14)的多項式特征值問題,可以得到給定轉(zhuǎn)速下旋轉(zhuǎn)錐殼的前后行波振動頻率.在運動方程的推導中,錐殼的位移場可以視作

        (16)

        與多項式特征值問題的推導類似,旋轉(zhuǎn)錐殼在周期性軸向載荷作用下的運動方程可表示如下:

        (17)

        式中f=[q1(t),q2(t), …,qJ(t),p1(t),p2(t), …,pJ(t)]T表示維度為2J×1廣義自由度列向量,而質(zhì)量、陀螺和剛度系數(shù)矩陣可表示為

        (18)

        顯然,在考慮周期性軸向載荷的情況下,圓錐薄殼的控制方程具有Mathieu-Hill型的周期性變化系數(shù).這類系統(tǒng)又稱為參數(shù)激勵系統(tǒng),系統(tǒng)的參數(shù)穩(wěn)定性是人們關(guān)注的主要問題.

        2 參數(shù)穩(wěn)定性分析方法

        公式(17)的解的穩(wěn)定性將通過Hill方法[25]進行研究.該方法基于Floquet理論,其主要思路是式(17)的解可以寫成指數(shù)部分和周期部分的乘積.用復Fourier級數(shù)展開表示周期部分,這個解可以寫成

        (19)

        f=eλωatΦA(chǔ)n

        (20)

        (21)

        (22)

        式中,J1=diag([…kI…])和J2=diag([…k2I…]).通過三角函數(shù)運算,cosωatΦ可重新表示為

        (23)

        式中

        (24)

        將式(20)~式(24)代入式(17),應用諧波平衡條件,得到如下代數(shù)方程:

        (25)

        式中,IM=diag([…M…]),IG=diag([…G…]),IK=diag([…K0…])和IK=diag([…Ka…]).為了使式(17)具有式(19)形式的非零解,式(25)的系數(shù)矩陣的行列式需為零(ωa≠0):

        (26)

        式(26)可用于分析給定軸向力的變化頻率ωa和相對振幅ε的系統(tǒng)穩(wěn)定性.如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的,所有特征值λ的實部為負,指數(shù)部分隨著時間的推移而減小.另一方面,如果至少有一個特征值λ具有正實部,則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.為了得到穩(wěn)定分析的近似數(shù)值特征值,只需少量的Nk就可以滿足精度要求.

        3 分析實例

        3.1 模型驗證

        在開展穩(wěn)定性研究之前,需要對所提出的薄壁錐殼模型和GDQ方法的結(jié)果進行驗證.采用ωs表示非旋轉(zhuǎn)錐殼的固有頻率.考慮旋轉(zhuǎn)后,特定模態(tài)(m,n)的前/后行波頻率用ωb和ωf表示,其中,n=1, 2, …表示周向波的數(shù)量,而m=1, 2, …則表示相應駐波模式中軸向半波的數(shù)量.以[ρa2(1-υ2)/E]1/2為轉(zhuǎn)速、頻率的量綱,則無量綱化后的轉(zhuǎn)速和行波頻率分別表示為Ω*,ωa*,ωs*,ωb*,ωf*.

        表1給出了具有Cs-Cl和Ss-Sl邊界條件的非旋轉(zhuǎn)各向同性圓錐殼的固有頻率ωs*的比較.以Irie等[27]的數(shù)值積分方法得到的結(jié)果為基準值,所分析的圓錐殼參數(shù)為m=1,υ=0.3,α=30°,h/a=0.01.結(jié)果表明,在增加離散網(wǎng)格點的情況下GDQ方法的結(jié)果很快得到收斂,且與文獻結(jié)果具有較好的一致性.將旋轉(zhuǎn)各向同性圓柱殼在不同轉(zhuǎn)速下的前后行波頻率與Sun等[28]的結(jié)果進行比較,如表2所示.結(jié)構(gòu)參數(shù)為υ=0.3,α=0°,h=a/500,L=5a,邊界條件為Ss-Sl.從中也可發(fā)現(xiàn)類似的一致性,表明本研究所建立的分析模型是正確的,用GDQ方法得到的固有頻率結(jié)果是可信的.為了精度要求,在后續(xù)分析中將總網(wǎng)格點數(shù)設為16.

        表1 不同邊界條件時非旋轉(zhuǎn)圓錐殼的固有頻率比較

        表2 旋轉(zhuǎn)圓柱殼在不同轉(zhuǎn)速下的前后行波頻率比較

        3.2 不同轉(zhuǎn)速下的參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)

        分析的圓錐薄殼參數(shù)為m=1,n=2,υ=0.3,α=20°,h/a=0.008,L/a=10,邊界條件為Cs-Cl.計算了不同轉(zhuǎn)速時周期軸向力作用下主參數(shù)不穩(wěn)定區(qū),如圖2所示.考慮拉伸軸向力(ηa=0.2),且相對變化幅值ε由0.05增加至0.5.可以看出,隨著ε的增加,不穩(wěn)定區(qū)域?qū)ΨQ地擴大.與對稱軸相對應的激勵頻率即為前后行波頻率之和,即ωa*=ωb*+ωf*.顯然,對于不旋轉(zhuǎn)的錐殼,有ωa*=2ωs*.考慮旋轉(zhuǎn)后,不穩(wěn)定區(qū)域向高頻率范圍整體移動,尤其是當轉(zhuǎn)速大于0.002時,如圖4(c)所示.但在一定的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi),不穩(wěn)定區(qū)域的位置受轉(zhuǎn)速的影響不大.當邊界條件改為Ss-Sl、Cs-Sl或Ss-Cl時,也有類似現(xiàn)象.由于篇幅的限制,這里不給出結(jié)果.在后續(xù)分析中,只考慮Cs-Cl邊界條件,并討論系統(tǒng)參數(shù)對不穩(wěn)定區(qū)域的影響.

        圖2 不同轉(zhuǎn)速時周期軸向力作用下旋轉(zhuǎn)錐殼的主參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)

        3.3 參數(shù)影響分析

        3.3.1 定常軸向力幅值

        圖3繪制了具有不同定常軸向力幅值時對應不同模態(tài)的不穩(wěn)定區(qū)域變化.考慮了三種軸向力幅值(ηa=0.1,0.2,0.3),相對幅值固定為ε=0.5,轉(zhuǎn)速為Ω*=0.005,其他參數(shù)與上一節(jié)模型參數(shù)相同.隨著ηa的增加,不穩(wěn)定區(qū)向高頻區(qū)整體移動.這是由于增加恒定軸向載荷會增加固有頻率值,進而使失穩(wěn)區(qū)域的起始點向更高的頻率范圍移動.對于給定的ε,增加恒定軸向載荷ηa也會增加周期軸向載荷的變化幅值,剛度參數(shù)激勵得到加強,使得不穩(wěn)定區(qū)的范圍有所擴大,如圖3(a)所示.隨著周向波數(shù)的增加[模態(tài)(1,3)和模態(tài)(1,4),如圖3(b)和圖3(c)所示],不穩(wěn)定區(qū)的變化規(guī)律與模態(tài)(1,1)類似.

        圖3 定常軸向力幅值對不穩(wěn)定區(qū)的影響

        3.3.2 錐角

        本節(jié)討論錐角對不穩(wěn)定區(qū)的影響.分析的圓錐薄殼參數(shù)為υ=0.3,h/a=0.008,L/a=10, Ω*=0.005,ηa=0.2,ε=0.5.考慮三種錐角值(α=20°, 40°, 60°),結(jié)果如圖4所示.對于模態(tài)(1,1),增大α值,失穩(wěn)區(qū)整體向低頻段移動,且不穩(wěn)定區(qū)范圍有所擴大.對于模態(tài)(1,3)和模態(tài)(1,4),首先使不穩(wěn)定區(qū)域向高頻段移動而后向低頻段移動,如圖4(b)和圖4(c)所示.不穩(wěn)定區(qū)范圍也有所增加.與模態(tài)(1,1)的情況相比,模態(tài)(1,3)和模態(tài)(1,4)的不穩(wěn)定區(qū)的移動和范圍擴大量相對較小.這表明,隨著周向波的增加,錐角對失穩(wěn)區(qū)的影響呈減弱趨勢.這一現(xiàn)象也與Ng等[9]的發(fā)現(xiàn)一致.

        圖4 錐角對不穩(wěn)定區(qū)的影響

        3.3.3 厚徑比

        本節(jié)研究厚徑比對不同模態(tài)的不穩(wěn)定區(qū)影響,如圖5所示.分析的圓錐薄殼參數(shù)為υ=0.3,α=20°,L/a=10, Ω*=0.005,ηa=0.2,ε=0.5.分析了三種厚徑比值,即h/a=0.005, 0.008, 0.012.結(jié)果表明,增大h/a值不僅會使不穩(wěn)定區(qū)向高頻段移動,而且會使不穩(wěn)定區(qū)明顯擴大.對于周向波較大的情況,如圖5(c)所示的模態(tài)(1,4),不穩(wěn)定區(qū)隨h/a的移動和擴大并未減弱.

        圖5 厚徑比對不穩(wěn)定區(qū)的影響

        3.3.4 長徑比

        討論長徑比對不穩(wěn)定區(qū)的影響.分析的圓錐薄殼參數(shù)為υ=0.3,α=20°,h/a=0.008,Ω*=0.005,ηa=0.2,ε=0.5.當L/a=10, 15和20時,不穩(wěn)定區(qū)的結(jié)果如圖6所示.可以發(fā)現(xiàn),隨著L/a的增加,不穩(wěn)定區(qū)主要出現(xiàn)在低頻段.對于周向波數(shù)較少的失穩(wěn)模態(tài),如模態(tài)(1,1),除失穩(wěn)區(qū)的整體移動外,失穩(wěn)區(qū)寬度的變化不大.但是,對于周向波數(shù)較多的失穩(wěn)模態(tài),增大L/a值也會減小失穩(wěn)區(qū)寬度,如圖6(c)所示.

        圖6 長徑比對不穩(wěn)定區(qū)的影響

        4 結(jié)論

        本文首先推導了旋轉(zhuǎn)錐殼的動力學方程,采用GDQ法和Hill法分析了系統(tǒng)在周期軸向載荷作用下的參數(shù)不穩(wěn)定性.計算并討論了多個不穩(wěn)定區(qū)隨工況和幾何參數(shù)的變化規(guī)律.結(jié)果表明:提高轉(zhuǎn)速會導致不穩(wěn)定區(qū)沿頻率軸移動,但對不穩(wěn)定寬度影響不大.增加恒定拉伸軸向載荷,不僅會顯著增加失穩(wěn)寬度,而且會導致失穩(wěn)區(qū)域向更高的頻率范圍移動.錐角、厚徑比或長徑比的變化都會導致不穩(wěn)定區(qū)沿頻率軸移動.錐角和厚徑比會增大失穩(wěn)寬度(長徑比會減小).隨著周向波個數(shù)的增加,錐角對失穩(wěn)區(qū)的影響逐漸減弱,而厚徑比的影響則基本保持不變.

        上述研究基于線性和各向同性薄壁殼體假設.若殼體是非線性的且各向異性,例如考慮大變形、功能梯度或復合材料層合殼材料.進一步的工作應重點探討非線性因素的引入對系統(tǒng)動力穩(wěn)定性的影響.

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