隨歲寒 李成

(1. 商丘工學院 機械工程學院， 商丘 476000)(2. 常州工學院 汽車工程學院，常州 213032)(3. 暨南大學 “重大工程災害與控制”教育部重點實驗室， 廣州 510632)

引言

輸流管道廣泛應用于石油化工、航空航天和海洋工程等領域，對其彎曲和振動特性進行研究能夠為工程設計、結構優(yōu)化和應用提供重要參考.輸流管道力學問題的研究涉及流體力學、固體力學、動力學與控制等多個學科，已有大量文獻研究輸流管道的流固耦合振動特性[1-22]，這些工作主要聚焦在輸流管道的動力學響應及穩(wěn)定性，大部分為宏觀輸流管道，也涉及微觀情形，如輸流碳納米管[5,7].然而，以往對輸流管道在外力作用下的彎曲變形問題研究不多.Dai和Wang[4]基于Euler梁模型給出了輸流管道的彎曲及振動的控制方程，應用有限元法對控制方程進行求解，其中考慮管道受到集中磁鐵引力載荷.為分析管道彎曲問題，本文利用加速度合成定理推導了流體橫向加速度的表達式，具體包括三項，即牽連加速度、科氏加速度和向心加速度，具有明確的物理意義.這與2019年田耀宗和蹇開林根據速度場概念推得的形式一致[23]，但途徑不同.隨后本文基于Timoshenko梁模型推導了重力作用下水平布置輸流管道彎曲問題的有限元格式，分析了兩端簡支和懸臂兩種邊界條件下流體流速對管道撓度和轉角的影響.此外，在兩端簡支邊界條件下還考慮了預應力的因素.

另外，以往應用有限元法研究輸流管道流固耦合振動問題的文獻相對較少[1-4].梁波等[2]基于Timoshenko梁模型，根據Hamilton原理推導出了輸流管道系統(tǒng)動力學有限元方程，分析了輸流管道的動力特性與穩(wěn)態(tài)響應.王世忠等[3]基于Euler梁模型建立了輸流管道流固耦合振動的有限元方程，分別討論了流速、壓強變化等因素對管道固有頻率的影響.與其不同的是，本文利用虛功原理推導了輸流管道系統(tǒng)動力學的有限元方程，考慮到管道在熱脹冷縮以及安裝等外界條件下承受的軸向預應力，因此動力學方程中計入了預應力因素.此外，與以往研究專門將預應力單列，分析預應力做功不同，本文將預應力作用效應直接體現(xiàn)在總的應變能中.

本文主要框架如下：首先，基于虛功原理建立了輸流管道系統(tǒng)的有限元方程；其次，分析了兩端簡支和懸臂兩種邊界條件下管道受重力作用時的彎曲以及流速對結果的影響，研究了兩端簡支邊界條件下管道預應力與撓度間的關系；最后，分析了兩端簡支和懸臂邊界條件下管道的自由振動與流速的關系，討論了在兩端簡支邊界條件下管道預應力與系統(tǒng)固有頻率間的關系.

1 物理模型

為建立輸流管道流固耦合振動的有限元方程，對輸流管道建立如圖1所示的坐標系，輸流管道在兩支撐間的距離為L，受到軸向預應力σ0，管道內徑r1，外徑r2.

圖1 輸流管道示意圖

根據Timoshenko梁理論，梁的位移場可表達為

u(x,z,t)=-zψ(x,t)

w(x,z,t)=w(x,t)

(1)

其中，u(x,z,t)和w(x,z,t)分別是軸向位移和橫向位移，ψ為轉角，t為時間.正應變εxx及切應力γxz可表達為[24]

(2)

對于各向同性彈性材料，應力在虛應變上所做虛功為

(3)

如圖2所示建立管道微段動坐標系O′x′y′，流體橫向加速度可由點的加速度合成定理得到

圖2 流體加速度分析

aa=ae+ar+aC

(4)

牽連加速度大小為

(5)

微管段中性面斜率、中性面旋轉角速度分別為

(6)

(7)

從而科氏加速度大小為

(8)

管道曲率為

(9)

(10)

考慮流體向心加速度方向后得到

(11)

將式(5)、式(8)和式(11)代入式(4)，得到流體橫向加速度大小為

(12)

與按照場概念計算結果相同[23].

管道和流體的慣性力虛功為

(13)

其中，A1代表流體截面，A2代表管道截面.

外力虛功為

(14)

其中，g為重力加速度并假設其方向沿y軸正方向.

將式(3)、式(13)和式(14)代入如下虛功原理表達式

δU+δWin=δWE

(15)

并略去應變能高階項得到

6）加強庫內通風換氣。經常檢查，一旦發(fā)現(xiàn)虎皮病有發(fā)生苗頭，立即組織出庫銷售，杜絕病害蔓延，避免整庫果實染病，造成重大損失。

(16)

采用如下形函數(shù)

(17)

其中

將式(17)代入式(16)得到輸流管道系統(tǒng)有限元方程

(18)

其中，質量矩陣M、陀螺矩陣C、剛度矩陣K和外力矩陣F分別為

(19)

2 數(shù)值算例

設管道長度L=8 m，彈性模量E=210 GPa，泊松比為0.3，密度7850 kg/m3；管外壁半徑r2=0.1885 m，內壁半徑r1=0.1825 m；流體密度為800 kg/m3.

2.1 管道彎曲分析

在分析管道在自重下的彎曲時，將式(18)中與時間相關的項略去，對懸臂管道還須令預應力σ0=0，得到如下靜力學方程

Kcmieokq=F

(20)

其中，剛度矩陣K與無流體管道對比，增加項代表的是管道受到的流體離心力，即式(11).求解式(20)可得管道橫向位移和轉角.

兩端簡支邊界條件下，管道受重力而產生y正方向的撓度，流體離心力總是垂直于管道且和重力方向相同，因此流體速度越大，管道的撓度和轉角越大.圖3和圖4分別為兩端簡支管道的撓度和轉角，其與流體速度的關系符合理論預測.圖5給出了流體速度v=80 m/s的條件下軸向預應力的變化對兩端簡支管道的撓度的影響，可見預應力越大則撓度越小，預應力的存在有效增強了輸流管的抗彎剛度.

圖3 兩端簡支管道的撓度(σ0=0)

圖4 兩端簡支管道的轉角(σ0=0)

圖5 軸向預應力對兩端簡支管道的撓度的影響

在懸臂條件下，流體離心力總是和重力方向相反，因此隨著流速的增大管道撓度和轉角逐漸減小，圖6和圖7分別為懸臂管道的撓度和轉角，其與流體速度的關系符合理論預測.

圖6 懸臂管道的撓度

圖7 懸臂管道的轉角

2.2 管道自由振動分析

略去式(18)中外力矩陣，同樣對懸臂管道須令預應力σ0=0，得到如下自由振動方程

(21)

求解式(21)得到管道系統(tǒng)各階振動頻率.文獻[11]基于Euler梁理論，利用直接解法得到前三階固有頻率的解析解為

(22)

(23)

(24)

表1給出了簡支管道流速為零時的前三階固有頻率與ANSYS所得結果的對比，誤差在4%以內，證明本文分析方法有效.圖8給出了兩端簡支管道系統(tǒng)前三階固有頻率與流速的關系，其中虛部代表固有頻率，實部表征系統(tǒng)穩(wěn)定性.當流體速度為220 m/s時，第一階固有頻率虛部為零，這一速度可稱為臨界速度，此時實部開始分岔提示系統(tǒng)失穩(wěn)，這一失穩(wěn)形式屬于動態(tài)失穩(wěn)，因為系統(tǒng)第一階模態(tài)類似靜態(tài)彎曲撓度(圖3)，當流體速度超過臨界速度時，過大的流體離心力將對管道造成破壞.本文得出的有限元結果與文獻[11]的結果在速度改變時規(guī)律相同，即流體速度越大，各階固有頻率越小，且數(shù)值結果一致.表2給出了前三階固有頻率隨管道預應力的改變規(guī)律，可見隨著管道預應力的增大，前三階固有頻率均表現(xiàn)出增大趨勢，在管道軸向預應力從-100 MPa到100 MPa的增大過程中，前三階固有頻率的增加幅度分別為29.46%、5.17%和2.22%.

表1 簡支管道固有頻率對比(v=0 m/s)

表2 簡支管道預應力與固有頻率的關系(v=100 m/s)

表3給出了懸臂管道流速為零時的前三階固有頻率與ANSYS所得結果的對比，誤差也在4%以內.圖9給出了懸臂管道系統(tǒng)前三階固有頻率與流速的關系，可見流體速度增大則各階頻率減小，這一規(guī)律與兩端簡支管道相同，不同在于懸臂支撐條件下各階固有頻率低于兩端簡支情況.值得一提的是，本文在彎曲部分只考慮重力和流體離心力，而在振動部分還考慮了慣性離心力和科氏力，因此流速的增大使得懸臂輸流管道的變形和振動頻率均降低.與圖8兩端簡支的邊界條件不同，即使流體速度大于臨界速度，圖9前三階固有頻率的實部都為負，這表示此時系統(tǒng)仍然穩(wěn)定.針對這一現(xiàn)象，以第一階模態(tài)為例說明如下：輸流管道偏離平衡位置振動時，離心力和科氏力與恢復力方向相同，即阻止了振動的發(fā)生.第一階固有頻率為零意味著在這些流速數(shù)值下不產生第一階模態(tài)振動，因此懸臂管道第一階固有頻率為零的狀態(tài)可歸為靜態(tài)失穩(wěn).

(a)虛部

表3 懸臂管道固有頻率對比(v=0 m/s)

(a)虛部

3 結論

根據Timoshenko梁模型并利用虛功原理建立了輸流管道彎曲和振動的有限元方程.考慮重力帶來的管道彎曲變形和管道預應力效應推導了應力在虛應變上所做虛功，利用加速度合成定理分析了流體的加速度.隨后分別分析了兩端簡支和懸臂邊界條件下流速對管道彎曲和振動的影響，在兩端簡支條件下可退化為基于Euler梁模型的前三階固有頻率的解析表達，并分析了預應力效應.研究總結如下：

(1)兩端簡支條件下，流速越大，撓度和轉角越大，管道軸向預應力增大撓度減小.流速提高，則前三階固有頻率減小，管道軸向預應力增大使得前三階固有頻率增大.

(2)懸臂邊界條件下，流速越大，撓度和轉角越??；較高的流速使得前三階固有頻率降低.

(3)輸流管道作為典型的含有科氏力、離心力的動力學系統(tǒng)，求解得到系統(tǒng)復頻率，并從中揭示了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.