李小樂 陳龍祥

(上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海 200240)

引言

遙操作系統(tǒng)在航空、航天、醫(yī)療和海洋開發(fā)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景[1-3].典型的遙操作系統(tǒng)由操作者、主端系統(tǒng)、通信信道、從端系統(tǒng)和從端環(huán)境幾部分組成，操作者通過操控主端系統(tǒng)產(chǎn)生指令信號(hào)，該指令信號(hào)通過通信信道遠(yuǎn)距離傳輸給從端系統(tǒng)，從端系統(tǒng)接收指令后跟蹤主端系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)與從端環(huán)境交互，并將從端環(huán)境的相關(guān)信息反饋給主端系統(tǒng).因此遙操作控制系統(tǒng)一方面要保證主從端控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，另一方面要求主端系統(tǒng)能夠及時(shí)感受到從端環(huán)境的變化.遠(yuǎn)距離操控所面臨的主要問題是從端系統(tǒng)與主端系統(tǒng)的通信過程中存在時(shí)間延遲，通信時(shí)滯對(duì)遙操作控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和透明性造成了嚴(yán)重的不利影響[2-4].

為了消除時(shí)滯對(duì)遙操作系統(tǒng)的影響，常見的穩(wěn)定性控制方法有無源性控制[4]、監(jiān)督控制[5, 6]、基于事件的控制方法[7]、模型預(yù)測(cè)控制[8]、Lyapunov函數(shù)[9, 10]、局部自主控制[11]等.這些方法能夠保證遙操作系統(tǒng)的穩(wěn)定性和透明性，但是大部分都無法明確給出主從端系統(tǒng)跟蹤誤差的收斂速度[12].為平衡主從端系統(tǒng)跟蹤誤差收斂速度和系統(tǒng)穩(wěn)定性的矛盾，許多學(xué)者對(duì)有限時(shí)間內(nèi)遙操作系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究[13, 14]，由于遙操作系統(tǒng)的控制目標(biāo)相互沖突，有限時(shí)間控制設(shè)計(jì)方法往往只能獲得某種程度上的控制性能最優(yōu).考慮到多目標(biāo)優(yōu)化控制設(shè)計(jì)方法可以根據(jù)所需要的控制目標(biāo)獲得對(duì)應(yīng)控制增益的Pareto最優(yōu)解集[15]，操作者可以根據(jù)需要選擇合適的控制增益實(shí)現(xiàn)遙操作任務(wù)，這對(duì)提高遙操作系統(tǒng)的控制性能有很好的意義，而且目前對(duì)于遙操作系統(tǒng)的控制尚未見多目標(biāo)優(yōu)化相關(guān)研究報(bào)道.

本文基于Lyapunov穩(wěn)定性，將多目標(biāo)優(yōu)化方法引入遙操作系統(tǒng)雙邊控制設(shè)計(jì).第一節(jié)以旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)柔性梁為對(duì)象建立雙邊遙操作系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型；第二節(jié)采用Lyapunov穩(wěn)定性理論得到保證遙操作閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的控制增益需要滿足的條件；第三節(jié)采用基于胞映射的多目標(biāo)優(yōu)化方法獲取保證系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)的Pareto最優(yōu)解集；第四節(jié)進(jìn)行數(shù)值仿真并分析得出結(jié)論.

1 遙操作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)柔性梁系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

考慮如圖1所示的遙操作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)柔性梁系統(tǒng)，主端和從端均為在水平面內(nèi)作回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)柔性梁，系統(tǒng)信號(hào)傳輸中存在時(shí)滯，其中τm(t)為自主端到從端的信號(hào)傳輸時(shí)滯，τs(t)為自從端到主端的信號(hào)傳輸時(shí)滯.假定在旋轉(zhuǎn)梁基座O處施加控制扭矩，以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的大范圍運(yùn)動(dòng).同時(shí)在柔性梁根部施加控制力矩以控制柔性梁大范圍運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生的彈性振動(dòng).忽略重力和摩擦的影響，基于Hamilton原理和假設(shè)模態(tài)離散化方法，主端和從端旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)柔性梁的一次近似動(dòng)力學(xué)方程分別表示為[16]：

圖1 遙操作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)柔性梁系統(tǒng)

(1)

(2)

(3)

(4)

其中,uh0、ue0分別表示外部操作者和外界環(huán)境施加在主從端關(guān)節(jié)上的等效力矩；kh、ke和ch、ce分別表示主端與操作者、從端與外界環(huán)境間相互作用力的等效剛度和等效阻尼系數(shù).

考慮方程(3)和方程(4)，并對(duì)方程(1)和方程(2)進(jìn)行線性化，得到遙操作系統(tǒng)的線性化動(dòng)力學(xué)方程為：

(5)

(6)

2 控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析

如圖1所示，遙操作系統(tǒng)通信網(wǎng)絡(luò)中存在時(shí)滯，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)柔性梁遙操作系統(tǒng)中主端與從端之間的誤差可定義為：

em=ym(t)-ys(t-τs(t))

(7)

es=ys(t)-ym(t-τm(t))

(8)

控制設(shè)計(jì)的目的是使得從端系統(tǒng)盡可能快地跟蹤主端系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，并同時(shí)抑制柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，考慮誤差(7)和誤差(8)，如圖2所示設(shè)計(jì)主端控制律和從端控制律分別如下：

圖2 閉環(huán)遙操作系統(tǒng)控制示意圖

(9)

(10)

其中，Kdi、Kpi和Kvi為控制增益，且Kli=dig(kl1,kl2,…,kln)>0(1=d,p,v).

Kpmys(t-τs)+Kvmps(t-τs)+uh0

(11)

Kpsym(t-τm)+Kvspm(t-τm)-ue0

(12)

(13)

(14)

由于擾動(dòng)方程(13)和方程(14)的零解與遙操作閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解完全等價(jià)，因此下面考慮采用Lyapunov-Krasovskii泛函對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行分析，同時(shí)設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制律.選取如下Lyapunov-Krasovskii泛函[9]：

V=V1+V2+V3

(15)

其中：

其中，P為對(duì)稱正定矩陣.

將V1關(guān)于時(shí)間t沿?cái)_動(dòng)方程(13)和方程(14)求導(dǎo)得：

(16)

方程(16)利用不等式關(guān)系2aTb≤aTM-1a+bTMb，有

PXm(t-τm)

(17)

將V2關(guān)于時(shí)間t沿?cái)_動(dòng)方程(13)和方程(14)求導(dǎo)，可得：

(18)

將V3關(guān)于時(shí)間t沿?cái)_動(dòng)方程(13)和方程(14)求導(dǎo)得：

(19)

整理方程(17)～方程(19)，可得：

(20)

(21)

(22)

3 多目標(biāo)優(yōu)化控制設(shè)計(jì)

方程(21)和方程(22)所得到的控制增益能夠保證遙操作閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定，但無法判斷所給出的控制增益的控制效果，而且在直接求解控制增益上有一定的困難.控制設(shè)計(jì)要求從端系統(tǒng)較好地跟蹤主端系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，同時(shí)能夠有效地抑制柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，這兩個(gè)目標(biāo)之間存在一定的矛盾.為協(xié)調(diào)這一矛盾，同時(shí)獲得具體的最優(yōu)控制增益集，下面基于方程(21)和方程(22)采用基于胞映射的多目標(biāo)優(yōu)化控制設(shè)計(jì)方法[15]進(jìn)行控制設(shè)計(jì).

由于方程(21)和方程(22)具有相同的形式，為減少多目標(biāo)優(yōu)化計(jì)算時(shí)間，假定主端和從端具有相同的控制增益，Kvi中對(duì)角線元素相同均為kv，考慮一階模態(tài)，則所設(shè)計(jì)的控制增益向量為：

K=[kp1,kp2,kd1,kd2,kv]T

(23)

其中，元素kp1，kp2，kd1，kd2分別為方程(9)和(10)中Kpi和Kdi的對(duì)角線元素，且控制增益滿足約束關(guān)系方程(21)和方程(22).

遙操作系統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題可表述為：

(24)

其中，ts,θ為主端柔性梁的振動(dòng)趨向于0所需時(shí)間，eIAE為主從端大范圍運(yùn)動(dòng)誤差絕對(duì)值的積分，即

(25)

其中，Tss為系統(tǒng)大范圍運(yùn)動(dòng)趨近穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間.

4 數(shù)值仿真

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的有效性，進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證.考慮主端旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)梁與從端旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)梁參數(shù)相同的情況，旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)半徑為0.03 m，對(duì)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.000765 kg·m2，柔性梁尺寸為0.7 m×0.0395 m×0.0018 m，材料密度為2150 kg/m3，彈性模量為28.0 GPa.

首先采用基于胞映射的多目標(biāo)優(yōu)化控制設(shè)計(jì)，此時(shí)假定從端環(huán)境自由，外界操作者施加在主端關(guān)節(jié)上的力矩為0.04 N·m，操作者與主端相互作用力的等效剛度為0.1 N·m/rad，從而保證主端大范圍運(yùn)動(dòng)角度為0.4 rad時(shí)操作者施加在主端的力矩為零.為便于優(yōu)化，最大時(shí)滯量hm=0.5 s和hs=0.4 s為優(yōu)化過程中遙操作系統(tǒng)的信號(hào)傳輸時(shí)滯，時(shí)滯變化率均為零.選取參數(shù)空間如下：

Q={K∈R5|[-0.0275,-17.8275,1.51, 1.51,-0.0375]≤pK≤p[0.1275, 20, 2.51, 202, 0.1875]}

(26)

將參數(shù)空間劃分為3×5×4×8×3個(gè)胞，對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化控制目標(biāo)(24)的約束條件為：

[ts,θ,eIAE]≤p[17 s,0.7 rad]

(27)

同時(shí)控制增益之間的關(guān)系需要滿足方程(21)和方程(22).

通過優(yōu)化在給定區(qū)間內(nèi)得到的Pareto最優(yōu)解集共8組，表1給出某一項(xiàng)指標(biāo)最優(yōu)時(shí)所獲得的控制增益.圖3給出了多目標(biāo)優(yōu)化所得到的最優(yōu)解與對(duì)應(yīng)目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系.利用表1和圖3，可以根據(jù)需要選擇合適的控制增益參數(shù)對(duì)遙操作系統(tǒng)進(jìn)行有效的控制.由于將方程(21)和方程(22)引入多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，原本1440個(gè)單元需要約2880min的計(jì)算量減少僅需計(jì)算208個(gè)單元為416min，極大地節(jié)省了多目標(biāo)優(yōu)化的時(shí)間.

表1 極端控制設(shè)計(jì)所對(duì)應(yīng)控制增益

圖3 Pareto解集與控制目標(biāo)關(guān)系圖

為更好地說明控制的有效性，K=[0.1081,-1.2780,2.3433,21.5590,0.15]為圖3中框點(diǎn)對(duì)應(yīng)的控制增益，其控制目標(biāo)為[ts,θ,eIAE]=[8.2220 s,0.4066 rad].相比控制增益中不考慮Kvi的情況，所對(duì)應(yīng)的控制目標(biāo)為[ts,θ,eIAE]=[8.2780 s,0.4172 rad]，本文所設(shè)計(jì)的控制器取得了更好的控制效果.

然后考慮外部操作者施加在主端關(guān)節(jié)上的等效力矩uh0的不同對(duì)控制效果的影響.假定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)工況與多目標(biāo)優(yōu)化時(shí)相同，即從端環(huán)境自由，操作者與主端相互作用力的等效剛度為0.1 N·m/rad.圖4給出了外界操作者施加在主端關(guān)節(jié)上的等效力矩分別為0.04 N·m，0.06 N·m，0.08 N·m以及0.10 N·m時(shí)的控制響應(yīng).由圖4可以看出，所設(shè)計(jì)的控制器能夠保證遙操作系統(tǒng)的控制效果，但隨著主端關(guān)節(jié)處施加力矩的增大，主從端系統(tǒng)響應(yīng)的跟蹤時(shí)間及相對(duì)誤差也會(huì)增加，可見隨主端受驅(qū)動(dòng)運(yùn)動(dòng)角速度的增大，受時(shí)間延遲影響，從端在控制下跟蹤的難度會(huì)隨之加大.

圖4 主端不同操作力矩時(shí)系統(tǒng)主從端響應(yīng)

下面考慮不同工況下控制效果的有效性，在0～20s內(nèi)系統(tǒng)處于自由狀態(tài)，即主從端系統(tǒng)初始位置不同，主端操作者和從端環(huán)境無外部施加力，主端關(guān)節(jié)初始轉(zhuǎn)角為0，從端關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角為0.3rad；20～40s內(nèi)從端與外界環(huán)境間作用力中ke=0.1 N·m/rad，40～60s內(nèi)從端環(huán)境受到等效力矩ue0=0.02 N·m.圖5給出了信號(hào)傳輸時(shí)滯量為常時(shí)滯τm=0.5 s，τs=0.4 s時(shí)主從端系統(tǒng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角和柔性梁末端變形跟蹤曲線和跟蹤誤差曲線.圖6給出了信號(hào)傳輸時(shí)滯量為時(shí)變時(shí)滯τm=(0.25+0.125sin (0.02t)) s，τs=(0.2+0.1sin(0.02t)) s時(shí)主從端系統(tǒng)跟蹤情況.由圖5和圖6可以看出，在受到時(shí)滯和從端外部環(huán)境的影響時(shí)，本文所提出的方法能夠使得從端系統(tǒng)有效地跟蹤主端系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng).

圖5 主從端旋轉(zhuǎn)柔性梁關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角和梁末端跟蹤曲線(τm=0.5 s，τs=0.4 s)

圖6 時(shí)變時(shí)滯下主從端旋轉(zhuǎn)柔性梁關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角和梁末端跟蹤曲線(τm=(0.25+0.125sin (0.02t)) s，τs=(0.2+0.1sin (0.02t)) s)

考慮從端與剛性墻壁接觸的情況，假定主從端機(jī)械臂初始時(shí)均處于θm=θs=0.4 rad位置，主端操作者在柔性梁末端y0方向施加大小為0.005 N的力使系統(tǒng)開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)從端柔性梁末端運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)0=0.4 m處梁末端與剛性墻壁發(fā)生接觸，為保證接觸后柔性梁與墻壁不再發(fā)生分離，通過仿真定義該接觸為Fe=20×(y-y0) N，其中y為從端梁末端在y0方向上位移[18]，然后將接觸力當(dāng)作外力考慮，等效為控制力矩施加于方程(5)和方程(6)中，仿真中信號(hào)傳輸時(shí)滯量為τm=0.5 s，τs=0.4 s.圖7給出了遙操作系統(tǒng)與剛性墻壁發(fā)生碰撞時(shí)主從端關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角和末端變形跟蹤情況.由圖中可以看出，大約6s從端機(jī)械臂與墻面發(fā)生接觸，由于傳輸時(shí)滯和主端受到恒定力的影響，主端繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)從端信號(hào)返回主端后，主端在控制力的作用下停止移動(dòng)，從端與剛性壁的接觸情況及時(shí)反饋到主端系統(tǒng).仿真結(jié)果可以看出系統(tǒng)穩(wěn)定后主從端系統(tǒng)保持固定有界的跟蹤誤差且柔性部件的彈性振動(dòng)得到有效的抑制，反映了所設(shè)計(jì)控制器的有效性.

圖7 與剛性墻壁發(fā)生接觸，主從端旋轉(zhuǎn)柔性梁關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角和梁末端跟蹤曲線

最后考慮主從端結(jié)構(gòu)參數(shù)存在差異的情況，假定其他參數(shù)相同的情況下，改變從端柔性機(jī)械臂尺寸為0.9 m×0.0295 m×0.0018 m，此時(shí)主從端柔性梁一階固有頻率分別為13.10 Hz及7.92 Hz.首先對(duì)主從端剛度不同的遙操作系統(tǒng)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化控制設(shè)計(jì).多目標(biāo)優(yōu)化中參數(shù)空間、空間劃分及優(yōu)化目標(biāo)與方程(26)和方程(27)相同.通過優(yōu)化得到的Pareto最優(yōu)解集共11組，圖8給出了多目標(biāo)優(yōu)化所得到的最優(yōu)解與對(duì)應(yīng)目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系，從圖3和圖8中可以看出，當(dāng)主從端結(jié)構(gòu)參數(shù)出現(xiàn)差異時(shí)，與主從端結(jié)構(gòu)參數(shù)相同的遙操作系統(tǒng)相比，Pareto解集中控制系統(tǒng)跟蹤時(shí)間和跟蹤誤差都會(huì)增加，因此更需要選擇合適的控制增益對(duì)遙操作系統(tǒng)進(jìn)行控制.然后利用圖8框點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的控制增益K=[0.1081,-1.2780,2.0100,21.5590,0.15]進(jìn)行主從端結(jié)構(gòu)不同工況下的數(shù)值仿真，由圖9所示主從端跟蹤情況可以看出，當(dāng)主從端梁柔性存在差異時(shí)，本文所提出的控制方法能夠使得從端系統(tǒng)有效地跟蹤主端系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng).

圖8 Pareto解集與控制目標(biāo)關(guān)系圖

圖9 主從端旋轉(zhuǎn)柔性梁關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角和梁末端跟蹤曲線(主從端參數(shù)不同時(shí))

5 結(jié)論

基于穩(wěn)定性理論，本文采用多目標(biāo)優(yōu)化控制方法對(duì)遙操作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)柔性梁系統(tǒng)進(jìn)行雙邊控制研究.首先利用Lyapunov穩(wěn)定性理論獲得保證遙操作閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，然后采用多目標(biāo)優(yōu)化控制設(shè)計(jì)獲得有效控制遙操作系統(tǒng)的控制增益.研究表明穩(wěn)定性條件能夠有效地減少多目標(biāo)優(yōu)化的計(jì)算時(shí)間，而基于胞映射的多目標(biāo)優(yōu)化方法能夠在所給參數(shù)空間獲得滿足控制目標(biāo)的Pareto最優(yōu)控制增益集，能夠更有效地對(duì)遙操作系統(tǒng)進(jìn)行控制.考慮時(shí)滯變化和從端剛性接觸的仿真結(jié)果表明本文所獲得的控制增益能夠保證從端系統(tǒng)對(duì)主端系統(tǒng)進(jìn)行有效的跟蹤，而且從端環(huán)境的變化能夠及時(shí)有效地反饋到主端系統(tǒng).