華南師范大學數(shù)學科學學院(510631) 陳偉連

外接球問題是高考的高頻考點,僅近三年的全國卷就一共考查了4 次. 為突破該考點,通常將其作為一個專題進行復習,而2022 年新高考Ⅰ卷第8 題就屬于該專題的范疇. 本文對本道題進行分析,并給出該題的多種解法. 接著對本題條件進行特殊化變式探究和一般化變式推廣,研究球的內(nèi)接棱錐體積何時取得最大值和最小值. 最后,根據(jù)對本題的研究提出一些教學啟示,為一線教師和高三學生備考提供一些思路和幫助.

1 試題呈現(xiàn)

2 試題剖析

本題以正四棱錐的外接球為載體,考查了球心到截面距離的勾股關(guān)系、余弦定理、三角函數(shù)、四棱錐的體積、球的體積、三次函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識. 能力素養(yǎng)層面主要考查了空間想象、邏輯推理和數(shù)學運算能力,體現(xiàn)了函數(shù)與方程、化歸的思想方法. 試題的設(shè)置簡潔明了,但跨度較大,要求學生有較強的問題分析能力和扎實的數(shù)學基礎(chǔ). 此外,本題解法多樣,學生能夠從不同的角度入手,可以較好地檢驗學生對基礎(chǔ)知識和基本思想方法的綜合運用能力,具有較高的區(qū)分度.

本題的解題思路主要分為四步: ①求出球的半徑,明確球內(nèi)接正四棱錐中的三個直角三角形: RtΔPAO′,RtΔOAO′,RtΔAO′B和等腰ΔPOA(如圖1); ②用字母表示相關(guān)的邊長和角度,構(gòu)造正四棱錐體積的表達式; ③尋找各字母之間的數(shù)量關(guān)系,將多元降為一元; ④換元,并利用導數(shù)求正四棱錐體積的最小值和最大值.

圖1

圖2

圖3

3 試題解答

3.1 設(shè)邊法

解法二 (以側(cè)棱長的平方為變元) 根據(jù)題意易求球的半徑為R= 3. 設(shè)正四棱錐的高為h,底面邊長為a(如圖4),于是根據(jù)勾股定理可構(gòu)建如下方程組:

圖4

3.2 設(shè)角法

4 試題推廣

評注 變式1 將四棱錐改為三棱錐,保持球的半徑不變.根據(jù)求解過程可知,正三棱錐體積取得最值時的側(cè)棱長與正四棱錐體積取得最值時的側(cè)棱長相等. 于是提出猜想: 球內(nèi)接正n棱錐的體積取得最值時的側(cè)棱長只與球的半徑有關(guān),與n的值無關(guān). 接下來將條件一般化進行推廣探究,探究其中蘊含的本質(zhì)知識.

圖5

5 教學啟示

5.1 采取“微專題”復習,實現(xiàn)考點突破

“微專題”復習是指圍繞復習的重點和關(guān)鍵點設(shè)計的、利用具有緊密相關(guān)性的知識或方法形成的專項研究,或者結(jié)合學生的疑點和易錯點整合的、能夠在短時間內(nèi)專門解決的問題集[1]. 這種復習方法比較靈活,可以基于試卷評講拓展,和大專題復習相結(jié)合,有利于促進學生對數(shù)學概念與原理的理解. 例如,評講本道題時便可以采取“微專題”復習法,通過設(shè)置問題串,發(fā)揮學生的主體性,引導學生從特殊到一般進行主動探究,發(fā)現(xiàn)正n棱錐的體積取得最值時側(cè)棱的長度與球半徑的關(guān)系,突破該考點.

5.2 一題多解發(fā)散思維,多題一解總結(jié)方法

一題多解有利于加深對知識的理解,滲透數(shù)學思想方法,有利于提高思維能力,培養(yǎng)創(chuàng)新意識,有利于調(diào)動學習興趣,培養(yǎng)主動探究的精神[3]. 對本道題進行一題多解解題教學,有利于學生重溫球內(nèi)的勾股定理、余弦定理和棱錐的體積公式等基本知識,更重要的是看到了知識的內(nèi)在聯(lián)系,從整體上把握解決求球的內(nèi)接正棱錐體積最值的一些基本方法,促進認知結(jié)構(gòu)的完善. 但是一題多解之后,應(yīng)引導學生對各種解法的思維過程進行再認識,對其進行分析、比較和概括,提煉出典型的和可遷移的解題方法. 而多題一解旨在找到求體積最值的通性通法,做到舉一反三[3],如解法二便是解該類題的通法.

5.3 注重變式探究,把握數(shù)學本質(zhì)

鮑建生等學者認為,變式教學是有效教學的中國式經(jīng)驗,這是一種有意義的學習[4]. 其中,過程式變式教學策略——鋪墊,和腳手架功能類似. 在對本題進行教學時,可以參考試題推廣的研究過程,從正四棱錐到特殊化變式為正三棱錐,再一般化推廣到正n棱錐,最后推廣到普通四棱錐. 通過轉(zhuǎn)化用變式2 的結(jié)論解決變式3 的問題,經(jīng)過層層鋪墊,引導學生認識球內(nèi)接n棱錐體積何時取到最大值的本質(zhì).

5.4 滲透模型思想,體會數(shù)學概括之美

弗賴登塔爾認為,學數(shù)學就是學數(shù)學化,教數(shù)學就是教數(shù)學化. 何小亞教授認為數(shù)學具有精確、嚴謹、簡潔、概括和統(tǒng)一的特點. 其中, 最精彩的是概括性, 即能夠以一個有限的模式駕馭無窮的具體[5].《義務(wù)課程標準(2022 年版)》和《普通高中課程標準(2020 年修訂)》都分別將模型意識、模型觀念和數(shù)學建模作為數(shù)學核心素養(yǎng),可見模型思想的重要性[6-7]. 他們都屬于數(shù)學化的范疇,其中垂直數(shù)學化指從現(xiàn)有的數(shù)學世界中抽象概括出更高級的數(shù)學模式的過程,是從低層數(shù)學到高層數(shù)學的過程[8]. 例如在本題的解題教學中就可以在一般化推廣后滲透模型化思想,引導學生體會數(shù)學的概括之美.