廣東 雷雄軍 吳開震

外接球問題是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的一個(gè)非常好的載體，因此是高考命題的熱點(diǎn).縱觀近五年的全國(guó)卷試題及各地模擬卷，球的知識(shí)大都以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，綜合考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.在一輪、二輪的復(fù)習(xí)過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)球的相關(guān)題目有種畏難心理，不能很好地作答，究其原因主要是學(xué)生對(duì)外接球問題的本質(zhì)理解不清晰以及空間想象能力差等.因此筆者對(duì)此專題進(jìn)行了一個(gè)微專題梳理復(fù)習(xí).在整理近幾年有關(guān)球的考題過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)球的考題大多與三棱錐結(jié)合，考查三棱錐的外接球及其變式.因此筆者由2019年的高考真題出發(fā)，就三棱錐外接球知識(shí)展開了微專題復(fù)習(xí)，借助學(xué)生熟悉的長(zhǎng)方體為背景層層變式，對(duì)三棱錐外接球考題從尋找球心位置這一本源角度出發(fā)進(jìn)行了分類探究，通過(guò)例題及其層層變式，提升學(xué)生應(yīng)對(duì)外接球考題的策略和能力.

一、母題的選取及分析

【母題】(2019·全國(guó)卷Ⅰ理·12)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E,F分別是PA,AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為( )

【解析】如圖1三棱錐P-ABC為正三棱錐，取AC的中點(diǎn)M，連接PM,BM，

則AC⊥PM，AC⊥BM，PM∩BM=M,可得AC⊥平面PBM，從而AC⊥PB，

又E,F分別是PA,AB的中點(diǎn)，所以PB∥EF.

因?yàn)椤螩EF=90°,所以EF⊥CE，可得PB⊥CE，

又AC∩CE=C,所以PB⊥平面PAC，

圖1

圖2

此題在解答的過(guò)程中，由題目條件推導(dǎo)出側(cè)棱兩兩垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)變?yōu)殚L(zhǎng)方體的外接球問題，而長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，因此很容易得到球心和半徑.因?yàn)殚L(zhǎng)方體有8個(gè)頂點(diǎn)，任選其中不共面的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐，其外接球和長(zhǎng)方體的外接球?yàn)橥粋€(gè)球.此類三棱錐外接球容易找到球心和半徑.筆者以此題為契機(jī)，展開了對(duì)各種三棱錐外接球球心和半徑的深入探究及其變式研究.

二、側(cè)棱垂直底面的三棱錐外接球探究及相關(guān)變式

由于長(zhǎng)方體有8個(gè)頂點(diǎn)，且側(cè)棱和底面垂直，因此任意選取不共面的四個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)造出側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，此時(shí)其外接球與長(zhǎng)方體為同一個(gè)外接球，直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，球心為體對(duì)角線的中點(diǎn).常見題型是側(cè)棱垂直于底面，且底面是直角三角形.如圖3、圖4、圖5所示.

圖3

圖4

圖5

【例題】《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑，若三棱錐P-ABC為鱉臑，其中PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=3,三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則該球的體積是( )

【解析】如圖6，該三棱錐有一條側(cè)棱垂直于底面且底面是直角三角形，可以將四個(gè)頂點(diǎn)放入正方體中,且PC為體對(duì)角線，即為外接球的直徑，中心為球心.

圖6

圖7

圖8

圖9

【解析】此題的三棱錐中側(cè)棱PA⊥底面ABC，PA長(zhǎng)度已知,按照上面的分析只需要求出底面外接圓的半徑，由題意可知底面是等邊三角形，因此外接圓的半徑

三、正三棱錐外接球球心的探究及相關(guān)變式

正三棱錐作為一種特殊的三棱錐，其外接球問題也是?？紗栴}，根據(jù)正三棱錐的定義，正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)不可能為長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn).由于球心到底面三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，因此球心在正三棱錐的高上，如圖10所示，半徑可以在直角三角形AO1O中求解.

【例題】已知△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，三棱錐P-ABC全部頂點(diǎn)都在表面積為16π的球O的球面上，則三棱錐P-ABC的體積的最大值為( )

圖10

由于底面三角形的截面為一個(gè)圓，因此此種題型常見的變式為圓錐的外接球問題，球心及其半徑的求法與正三棱錐一致.

設(shè)外接球半徑為R，在Rt△OO1A中，

圖11

四、正四面體外接球探究及相關(guān)變式

圖12

【常見變式】此種類型題目常見的變式是考查完美四面體(即三組對(duì)棱兩兩相等的三棱錐)外接球問題，此時(shí)等同于對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方體的外接球如圖13所示，因此外接球的直徑為體對(duì)角線，球心為體對(duì)角線中點(diǎn).當(dāng)然還可以變式為一組對(duì)棱相等，其余四條棱都相等的三棱錐外接球問題，等同于對(duì)應(yīng)正四棱柱外接球如圖14所示.

圖13

圖14

如圖13設(shè)對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c，

【解析】經(jīng)過(guò)分析得知該四面體為完美四面體，由上面的分析可以得出直徑

五、有兩個(gè)側(cè)面互相垂直的三棱錐外接球探究及相關(guān)變式

正方體中側(cè)面和底面垂直，因此在側(cè)面和底面中各取一個(gè)三角形可以組成有兩個(gè)面互相垂直的三棱錐如圖15所示.此題型的一般解法是先找兩個(gè)互相垂直面的外心，然后過(guò)外心分別作面的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)就是三棱錐外接球的球心，如圖16所示.

圖15

圖16

【例題】已知三棱錐A-BCD中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，DB⊥DA且平面DAB⊥平面ABC，則該三棱錐外接球的表面積為( ).

【解析】如圖17所示，Rt△DAB的外心為斜邊AB的中點(diǎn)O1，由于平面DAB⊥平面ABC，因此過(guò)O1且垂直平面DAB的直線為CO1，等邊△ABC的外接圓圓心為O2，O2在CO1上，因此過(guò)O2作平面ABC的垂線與CO1交于點(diǎn)O2，即O2為球心，O2A為球的半徑，所以

圖17

【常見變式】此種題型常見的考查變式有以下兩種：1.互相垂直的兩個(gè)面都是特殊三角形如都為等邊三角形，或者都為直角三角形等(見變式一)；2.兩個(gè)垂直的面變成不垂直而是成一個(gè)特殊角如30°，60°或者120°等(見變式二、變式三).

【變式一】已知三棱錐D-ABC中，平面DAB⊥平面ABC，△ABC和△DAB均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為________.

所以外接球半徑

圖18

取AC的中點(diǎn)D，連接BD和SD，

則∠SDB為二面角B-AC-S的平面角，即∠SDB=120°.

因?yàn)椤鰽BC為直角三角形，因此D為△ABC的外心，

設(shè)△SAC的外心為O1，過(guò)點(diǎn)D作平面ABC的垂線，過(guò)點(diǎn)O1作平面SAC的垂線，則交點(diǎn)O為球心.

由已知得，∠SDO=30°，

在△SOD中,由余弦定理得，

SO2=OD2+SD2-2OD·SD·cos∠SDO，

圖19

如果上面變式二中的△SAC是以∠ASC為直角的直角三角形，這個(gè)時(shí)候不管二面角B-AC-S的大小為多少，斜邊AC的中點(diǎn)到三棱錐四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即AC的中點(diǎn)為球心.因此兩個(gè)共斜邊的直角三角形構(gòu)成的三棱錐，其外接球的球心是公共斜邊的中點(diǎn).

圖20