廣東 周艷祖

高中數(shù)學(xué)教材中的許多例題、練習(xí)題、習(xí)題和復(fù)習(xí)參考題(簡稱“四題”)因?yàn)橛兄鴺O強(qiáng)的“代表性”與“穿透性”，往往因受到命題者的青睞而成為高考的題源.2019年人教A版的習(xí)題分為“復(fù)習(xí)鞏固”“綜合運(yùn)用”“拓廣探索”三個(gè)層次，開展對教材習(xí)題的研究，創(chuàng)設(shè)合理的變式教學(xué)，以“最近發(fā)展區(qū)”為平臺(tái)，拓展學(xué)生的認(rèn)知，在落實(shí)“情境與問題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思”的過程中既夯實(shí)了學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，又培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【源題】(2019年人教A版選擇性必修第一冊第138頁習(xí)題3.3復(fù)習(xí)鞏固第6題)直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A，B兩點(diǎn)，求證：OA⊥OB.(詳細(xì)解答過程略)

一、結(jié)論不變，改裝已知條件

結(jié)論不變，將定直線變?yōu)檫^定點(diǎn)的動(dòng)直線，讓學(xué)生在運(yùn)動(dòng)、變化、發(fā)展中探索不變的元素與性質(zhì).

變式1:已知過點(diǎn)M(2,0)的直線與拋物線y2=2x相交于A，B兩點(diǎn)，求證：OA⊥OB.

【解析】可設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，顯然直線AB的斜率k≠0，則可設(shè)其方程為x=ty+2，將直線的方程代入到y(tǒng)2=2x，化簡得y2-2ty-4=0，由韋達(dá)定理得

y1+y2=2t,y1y2=-4，

x1x2=(ty1+2)(ty2+2)=t2y1y2+2t(y1+y2)+4=4.

【評注】淺顯易懂，將直線與拋物線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理求出兩根之和與積，是解決這一類相關(guān)問題的“通法通解”，思路清晰簡潔，讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉常規(guī)方法.

二、互換結(jié)論與條件，培養(yǎng)逆向思維

將變式1中的結(jié)論變?yōu)闂l件，用同樣的方法與技巧去探索它們之間的關(guān)系，檢驗(yàn)學(xué)生對方法的熟練程度，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維和未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

變式2:設(shè)A，B是拋物線y2=2x上異于原點(diǎn)O的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求證：弦AB過定點(diǎn)(2,0).

【解析】可設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，顯然直線AB的斜率k≠0，則可設(shè)其方程為x=ty+m，將直線的方程代入到y(tǒng)2=2x，化簡得y2-2ty-2m=0，由此得到

y1+y2=2t,y1y2=-2m，

x1x2=(ty1+m)(ty2+m)=t2y1y2+mt(y1+y2)+m2=m2.

因?yàn)镺A⊥OB，所以kOA·kOB=-1，

直線AB的方程為x=ty+2，

當(dāng)y=0時(shí)，x=2,所以弦AB過定點(diǎn)(2,0).

【評注】基于學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理核心素養(yǎng).

在變式1和變式2的基礎(chǔ)上，歸納總結(jié)得到一般性的結(jié)論，由于證明過程有很大的相似性，此處不再做詳細(xì)的證明.

結(jié)論1:設(shè)A，B是拋物線y2=2px上異于原點(diǎn)O的兩點(diǎn)，若OA⊥OB，則弦AB過定點(diǎn)(2p,0)，反之亦然.

三、變特殊角為任意角，培養(yǎng)發(fā)散思維

變特殊角為任意角，在斜率積為定值的條件下，探索直線的斜率積與過定點(diǎn)之間的關(guān)系，進(jìn)一步推廣已有的結(jié)論.

變式3:設(shè)A，B是拋物線y2=2x上異于原點(diǎn)O的兩點(diǎn)，且kOA·kOB=-2，求證：弦AB過定點(diǎn)(1,0).

路徑1(常規(guī)解法):可設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，顯然直線AB的斜率k≠0，

則可設(shè)其方程為x=ty+m，

將直線的方程代入到y(tǒng)2=2x，化簡得

y2-2ty-2m=0，由韋達(dá)定理得

y1+y2=2t,y1y2=-2m，

x1x2=(ty1+m)(ty2+m)=t2y1y2+mt(y1+y2)+m2=m2.

解得m=1或m=0(舍去)，

直線AB的方程為x=ty+1，

當(dāng)y=0時(shí)，x=1，所以弦AB過定點(diǎn)(1,0).

【評注】將兩條互相垂直的直線變?yōu)槌扇我饨堑膬蓷l相交直線，既檢驗(yàn)學(xué)生對方法的熟練程度，又可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

路徑2(齊次化):可設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

直線AB的方程為mx+ny=1，

將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，

即y2=2(mx+ny)x，

化簡得y2-2mx2-2nxy=0，

兩邊同時(shí)除以x2，

解得m=1所以直線AB的方程為x+ny=1，

當(dāng)y=0時(shí)，x=1，因此弦AB過定點(diǎn)(1,0).

【評注】這種方法基于“整體的思想”下應(yīng)用韋達(dá)定理，與路徑1相比，運(yùn)算量大大減少，由此可見齊次化的方法在解決圓錐曲線的雙斜率模型問題的強(qiáng)大功效，往往可以事半功倍，當(dāng)然在處理過程中也要有一定的技巧性，比如：將直線的方程設(shè)為mx+ny=1，聯(lián)立時(shí)將系數(shù)“2”變換為“2mx+2ny”，這些都為后面的齊次化掃清了障礙.

變式4:過點(diǎn)M(1,0)的直線與拋物線y2=2x相交于A，B兩點(diǎn)，求證：kOA·kOB=-2.

【評注】將變式3的條件與結(jié)論互換，由于證明過程有很大的相似性，此處不再做詳細(xì)的證明，目的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

在變式3和變式4的基礎(chǔ)上，歸納總結(jié)得到一般性的結(jié)論，由于證明過程有很大的相似性，此處不再做詳細(xì)的證明.

四、換斜率積為和，變式更豐富

將已知條件中斜率積為定值變成斜率和為零，讓學(xué)生在新情境下探索直線過定點(diǎn)與斜率的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生利用已有經(jīng)驗(yàn)獲得新知識(shí)的能力，進(jìn)一步夯實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所必需的“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”.

路徑1(常規(guī)解法):可設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

顯然直線AB的斜率k≠0，

將直線的方程代入到y(tǒng)2=2x，

化簡得y2-2ty-1=0，由韋達(dá)定理得

y1+y2=2t,y1y2=-1，

因?yàn)閗MA+kMB=0，所以∠OMA=∠OMB.

【評注】表面上求角度相等，實(shí)質(zhì)上可化歸與轉(zhuǎn)化為斜率和問題.將斜率和為零的問題“包裝”為角度相等問題，在新情境下解決舊問題，本質(zhì)是方程的聯(lián)立與韋達(dá)定理的應(yīng)用，進(jìn)而求出斜率和.

可設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)(1,0)，

則直線AB的方程為x+ny=1，

將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，

即y2=2(x+ny)x-(x+ny)2，

化簡得(1+n2)y2-x2=0，兩邊同時(shí)除以x2，

因?yàn)槠揭撇粫?huì)改變斜率的值，

所以kMA+kMB=0，所以∠OMA=∠OMB.

【評注】先平移再做齊次化，減少了運(yùn)算量，方便了計(jì)算，提高了解題速度，但也有一定的技巧性.

在變式5的基礎(chǔ)上，歸納總結(jié)得到一般性的結(jié)論，由于證明過程有很大的相似性，此處不再做詳細(xì)的證明.

推論3.1:已知過點(diǎn)N(a,0)(a>0)的直線與拋物線y2=2px相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-a,0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則∠OMA=∠OMB.

五、與橢圓和雙曲線結(jié)合，變式更精彩

由于橢圓、雙曲線和拋物線都是二次曲線，通過設(shè)計(jì)有層次性的變式訓(xùn)練的方式類比橫向拓展這些性質(zhì)，探索橢圓、雙曲線是否有類似結(jié)論？

【評注】該變式與題源非常相似，此處不做詳細(xì)解析.

即(x+2)2+2y2=4，

將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，

即2y2+x2-(3x+3ny)x=0，

化簡得2y2-2x2-3nxy=0，兩邊同時(shí)除以2x2，

因?yàn)槠揭撇粫?huì)改變斜率的值，

所以kMA·kMB=-1，所以MA⊥MB.

【評注】先平移再做齊次化，減少了運(yùn)算量，給解題帶來了很大的方便.

在變式7和變式8的基礎(chǔ)上，歸納總結(jié)得到一般性的結(jié)論，由于證明過程有很大的相似性，此處不再做詳細(xì)的證明.

即4y2+3x2+24x+36=0，

因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)(-3,0)，

則直線AB的方程為x+ny=-3，

將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，

即4y2+3x2-(8x+8ny)x+4(x+ny)2=0，

化簡得(4+4n2)y2-x2=0，兩邊同時(shí)除以x2，

因?yàn)槠揭撇粫?huì)改變斜率的值，

所以kMA+kMB=0，所以∠OMA=∠OMB.

在變式9的基礎(chǔ)上，歸納總結(jié)得到一般性的結(jié)論，由于證明過程有很大的相似性，此處不再做詳細(xì)的證明.

繼續(xù)追問學(xué)生雙曲線是否有類似性質(zhì)，經(jīng)探索得到如下結(jié)論：

六、應(yīng)用結(jié)論，鏈接考題

【例1】(2019·湖南高三月考理·16)已知F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，kOA·kOB=-2，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB面積的最小值是．

【解析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，

由前面的結(jié)論2可知直線AB過定點(diǎn)(2,0)，

顯然直線AB的斜率k≠0，

則可設(shè)其方程為x=ty+2，

將直線的方程代入到y(tǒng)2=4x，

化簡得y2-4ty-8=0，由韋達(dá)定理得

y1+y2=4t,y1y2=-8．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A，過橢圓長軸上一點(diǎn)N(t,0)作直線l，直線l與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，若AP⊥AQ，求t的值．

七、變式教學(xué)與培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的思考