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        旋轉(zhuǎn)體體積計算方法的探討

        2022-08-29 06:16:40孟獻青
        關(guān)鍵詞:柱殼旋轉(zhuǎn)體梯形

        孟獻青

        (1.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,山西大同 037009;2.山西大同大學(xué)量子信息科學(xué)研究所,山西大同 037009)

        旋轉(zhuǎn)體是指平面圖形繞平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周所得的立體。旋轉(zhuǎn)體體積的計算是高等數(shù)學(xué)定積分應(yīng)用的一個重要考點,有著非常重要的實際意義。用多種方法研究旋轉(zhuǎn)體體積的計算,不僅有助于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力,而且有助于學(xué)生把碎片知識一體化,形成更容易接受的知識網(wǎng)。多數(shù)教材只介紹了平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積,但是局限性比較大。一方面,有些題型雖然可以寫出體積表達式,但計算難度比較大,很難求出最終解;另一方面,在實際問題中,平面圖形可能繞任意直線進行旋轉(zhuǎn),所以有必要介紹一下旋轉(zhuǎn)體體積的其他求法,簡化計算過程。文中涉及到的定義和術(shù)語參見文獻[1]。

        1 平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)

        利用元素法求體積微元時,把體積微元近似地看成圓柱體的體積。常規(guī)的方法是把體積微元一層一層進行疊加,但是當(dāng)平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)時,有時按常規(guī)方法做起來比較困難,甚至無法求解。通過觀察卷紙發(fā)現(xiàn),體積微元也可以一圈一圈進行疊加,這個思想就是柱殼法[2]。

        定理1設(shè)a,b為常數(shù)且0<a<b,函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且滿足f(x)≥0,則由平面圖形a≤x≤b,0≤y≤f(x)繞y軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體積為V=。

        分析平面圖形雖然繞y軸旋轉(zhuǎn),但是不妨對x軸進行分割,小曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)就近似地看成小矩形繞y軸旋轉(zhuǎn),這樣就得到一個圓柱殼,即體積微元可近似看成兩個小圓柱體的體積差,如圖1。

        圖1 柱殼

        證明從[a,b]上任取小區(qū)間[x,x+dx],

        ΔV≈π(x+dx)2f(x)-πx2f(x)=2πxf(x)dx+πf(x)(dx)2,

        當(dāng)區(qū)間分割很細時,體積元素

        dV=2πxf(x)dx,

        從而可得旋轉(zhuǎn)體體積為

        為了便于理解,也可以把柱殼展開,則柱殼就近似看成長為2πx,寬為dx,高為f(x)的長方體,故長方體的體積為dV=2πxf(x)dx,從而整個旋轉(zhuǎn)體的體積為V=。

        例1計算曲線y=sinx(0≤x≤π)和x軸所圍圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

        解(1)繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積

        (2)繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積

        方法1(常規(guī)方法)繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積可以看成是曲邊梯形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體積減去曲邊梯形OBC繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積的差,如圖2。

        圖2 旋轉(zhuǎn)圖形

        利用常規(guī)方法計算繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積時,涉及到求函數(shù)的反函數(shù)。有些題目反函數(shù)不太容易求解,或者計算難度表較大,所以可以用柱殼法進行計算,以x為積分變量進行計算。

        方法2(柱殼法)繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積可以看成是以2πx為長,以dx為寬,以sinx為高的長方體的體積,所以

        在計算旋轉(zhuǎn)體體積時,是選用常規(guī)方法還是柱殼法,與旋轉(zhuǎn)體的形狀有關(guān)。一般情況下,如果曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn),用常規(guī)方法計算旋轉(zhuǎn)體的體積;若曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn),則利用柱殼法相對簡單。從定理中1很容易得到繞平行于y軸的直線旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

        推論1設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),且f(x)≥0,則平面圖形a≤x≤b,0≤y≤f(x)繞直線x=x0旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為:

        (1)當(dāng)x0≤a時,

        (2)當(dāng)x0≥b時,

        例2求y=x2,y=x所圍成的圖形分別繞y軸,直線L1:x=-1 和L2:x=2 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

        解聯(lián)立方程,可得交點坐標(biāo)為(0,0),(1,1),由柱殼法得,繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積為:

        由推論1 知,繞直線x=-1 旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積為:

        繞直線x=2旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積為:

        2 平面圖形繞任意直線y=kx+b旋轉(zhuǎn)

        定理2由光滑曲線段y=f(x),a≤x≤b與直線y=kx+b所圍平面圖形繞直線y=kx+b旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為:

        證明旋轉(zhuǎn)曲面的橫截面半徑可以看成是光滑曲線段任意一點(x,f(x))到直線y=kx+b的距離d=;

        橫截面對應(yīng)的高為:

        h=,其中θ為直線y=kx+b的傾斜角。故體積元素為:

        從而旋轉(zhuǎn)體體積為:

        當(dāng)k=0,b=0 時,可得繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積。

        例3求y=x2,y=x所圍成的圖形繞直線y=x旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

        解交點坐標(biāo)為(0,0),(1,1),且k=1,b=0,f(x)=x2,由定理2 可知,所得旋轉(zhuǎn)體體積為:

        3 利用Pappus定理計算旋轉(zhuǎn)體的體積

        古希臘數(shù)學(xué)家Pappus 總結(jié)出了特殊旋轉(zhuǎn)體體積的計算公式,尤其當(dāng)平面圖形為對稱圖形時,計算起來特別簡便。

        定理3設(shè)D是與直線l不相交的平面閉區(qū)域,面積為S。D的形心到直線l的距離為d,則平面圖形D繞直線l旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為Vl=2πdS[4]。

        例4求圓x2+(y-1)2=1 繞直線y=x-1 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

        解由對稱性知,圓的形心坐標(biāo)為(0,1),故由點到直線的距離公式知,形心(0,1)到旋轉(zhuǎn)軸y=x-1 的距離為:

        又圓的面積為π,所以由Pappus 定理知,旋轉(zhuǎn)體的體積為V=。

        所以當(dāng)平面圖形內(nèi)部與旋轉(zhuǎn)軸沒有交點時,求旋轉(zhuǎn)體的體積可以轉(zhuǎn)換成求平面圖形的面積及形心到旋轉(zhuǎn)軸的距離,利用Pappus定理進行計算。

        4 結(jié)論

        利用元素法討論了平面圖形繞坐標(biāo)軸及任意直線旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積,當(dāng)平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)時,用常規(guī)方法及柱殼法兩種方法進行解題,并對比了兩種方法的優(yōu)劣;對于形心坐標(biāo)比較好計算的平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積,可以利用Pappus 定理,轉(zhuǎn)化為計算平面圖形的形心到直線的距離和平面圖形的面積進行計算,從而可以簡化計算過程。

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