賽 斌, 宋 兵, 譚索怡, 歐朝敏, 周 濤, 張 偉, 呂 欣

(1.國(guó)防科技大學(xué) 系統(tǒng)工程學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410073; 2.電子科技大學(xué) 大數(shù)據(jù)研究中心,四川 成都 611731; 3.四川大學(xué)華西醫(yī)院 華西生物醫(yī)學(xué)大數(shù)據(jù)中心,四川 成都 610041)

1 引言

2019年12月8日，湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)不明原因引起的肺炎，后被證實(shí)該疾病由新型冠狀病毒(SARSCoV-2)引起，2020年2月12日世界衛(wèi)生組織(WHO)將由這一類(lèi)病毒引起的疾病命名為COVID-19。與SARS不同，COVID-19潛伏期具有一定的傳染性，并且存在大量無(wú)癥狀感染者，這給疫情防控工作帶來(lái)了巨大挑戰(zhàn)。截至2022年6月10日，全球COVID-19感染人數(shù)已超5.117億例，累計(jì)死亡人數(shù)超632.8萬(wàn)，眾多國(guó)家的社會(huì)和經(jīng)濟(jì)因此遭受了巨大損害，人類(lèi)社會(huì)也因此面臨著前所未有的挑戰(zhàn)。當(dāng)前我國(guó)疫情處于平穩(wěn)態(tài)勢(shì)，但仍存在著反彈風(fēng)險(xiǎn)，堅(jiān)持“外防輸入，內(nèi)防反彈”的總策略，減少疫情對(duì)社會(huì)各方面的影響，研究如何根據(jù)疫情形勢(shì)制定防疫措施具有重要意義。在面對(duì)突發(fā)傳染病時(shí)，掌握疫情發(fā)展態(tài)勢(shì)，合理有效的防疫政策能夠控制疫情發(fā)展，將影響降到最低，也能夠最大程度地保障社會(huì)各方面的正常運(yùn)轉(zhuǎn)。由此可見(jiàn)，準(zhǔn)確合理地預(yù)測(cè)傳染病發(fā)展趨勢(shì)，提前規(guī)劃應(yīng)對(duì)措施或制定防控策略，才能最大化地實(shí)現(xiàn)“動(dòng)態(tài)清零”策略。

自疫情暴發(fā)以來(lái)，基于傳染病傳播動(dòng)力學(xué)模型分析與預(yù)測(cè)COVID-19的傳播特征及發(fā)展趨勢(shì)成為了研究人員的主流研究方法。在疫情發(fā)生初期，Wu等通過(guò)使用中國(guó)疾病預(yù)防控制中心發(fā)布的2019年12月31日到2020年1月28日期間醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，結(jié)合官方航空指南的每月航班預(yù)訂數(shù)量與騰訊位置大數(shù)據(jù)得到的人口流動(dòng)數(shù)據(jù)構(gòu)建SEIR模型，估計(jì)得到COVID-19的基本再生數(shù)為2.68(95%Crl 2.47～2.86)，疫情倍增時(shí)間為6.4天，推斷COVID-19在中國(guó)內(nèi)地主要城市的感染人數(shù)將呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)并預(yù)測(cè)武漢市將在2020年1月25日會(huì)有75815位新冠肺炎感染患者。Zhou等基于2020年1月25日前的已有的醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)及國(guó)際同行估計(jì)的感染人數(shù)，參考SARS流行病的參數(shù)構(gòu)建SEIR模型估計(jì)COVID-19基本再生數(shù)，得出COVID-19基本再生數(shù)在2.9～3.2之間的結(jié)論。Shen等基于新冠疫情的傳播機(jī)制，考慮了防控措施，建立傳染病傳播動(dòng)力學(xué)模型，預(yù)測(cè)出COVID-19暴發(fā)規(guī)模將在2020年2月5日到達(dá)峰值。Tang等基于似然估計(jì)和模型仿真的估計(jì)結(jié)果表明，武漢市的控制繁殖數(shù)可能高達(dá)6.47(95%CI 5.71～7.23)，該文章也預(yù)測(cè)了在最嚴(yán)格的管控措施下，中國(guó)內(nèi)地將于2020年1月23日起的兩周內(nèi)達(dá)到疫情峰值最小。王聰?shù)壤梦墨I(xiàn)統(tǒng)計(jì)的最新流行病學(xué)數(shù)據(jù)估計(jì)疫情早期基本再生數(shù)，結(jié)果顯示武漢市在2020年1月21日前后的傳染病參數(shù)

R

為2.55(95%CI 2.55～2.65)。

可見(jiàn)，基于病理學(xué)的傳染病傳播動(dòng)力學(xué)模型的COVID-19基本參數(shù)信息分析與疫情發(fā)展態(tài)勢(shì)預(yù)測(cè)研究對(duì)新冠肺炎流行因素的掌握以及防控策略和措施的制定具有重要作用，并且對(duì)于早期疫情的控制具有指導(dǎo)性作用。隨著互聯(lián)網(wǎng)及大數(shù)據(jù)等技術(shù)的迅猛發(fā)展，也有學(xué)者將SEIR模型結(jié)合人口遷徙網(wǎng)絡(luò)或機(jī)器學(xué)習(xí)等方法研究傳染病的傳播機(jī)制，例如，Yang等基于對(duì)潛伏期患者具有感染性的考慮優(yōu)化了SEIR模型，并結(jié)合LSTM深度學(xué)習(xí)方法進(jìn)行建模，預(yù)測(cè)得到中國(guó)內(nèi)地的疫情規(guī)模將于2020年2月28日到達(dá)頂峰，然后在4月底逐漸平緩。Jia等利用手機(jī)定位大數(shù)據(jù)分析人口流動(dòng)時(shí)空特征，然后基于疫情暴發(fā)前武漢輸入到全國(guó)各地的人口流動(dòng)數(shù)據(jù)，構(gòu)建了“時(shí)空風(fēng)險(xiǎn)源模型”，該模型最多可以提前兩周預(yù)測(cè)出新冠疫情暴發(fā)的時(shí)間、強(qiáng)度和地理分布。譚索怡等對(duì)北京市COVID-19的密切接觸者進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時(shí)發(fā)現(xiàn)，新增密切接觸者的增長(zhǎng)率與5～6天后的新增確診病例增長(zhǎng)率變化趨勢(shì)一致，由此推斷中國(guó)內(nèi)地新增確診人數(shù)在2020年2月13日左右開(kāi)始出現(xiàn)下行。但是，由于在疫情暴發(fā)初期醫(yī)學(xué)檢測(cè)能力不足,以及對(duì)新型冠狀病毒肺炎傳播機(jī)制、傳播能力認(rèn)知的不足，導(dǎo)致了研究人員在進(jìn)行COVID-19疫情動(dòng)力學(xué)建模研究時(shí)缺乏足夠的醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)以及對(duì)新冠肺炎傳播機(jī)制的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，因此難以準(zhǔn)確估計(jì)疫情發(fā)展態(tài)勢(shì)。

隨著COVID-19相關(guān)特性研究的不斷深入，有研究表明COVID-19的潛伏期患者也具有感染性，并且存在無(wú)癥狀感染者，而大量已有的建模預(yù)測(cè)研究忽略了這些特征。所以，考慮到各種實(shí)際情況時(shí)，一般都需要在傳統(tǒng)SEIR模型上進(jìn)行必要的修改以貼合新冠肺炎實(shí)際傳播情況，例如，北大統(tǒng)計(jì)學(xué)團(tuán)隊(duì)的Yan等細(xì)分人群種類(lèi)建立vSIADR模型估計(jì)有效再生數(shù)并對(duì)各國(guó)疫情進(jìn)行波次劃分，研究了25個(gè)國(guó)家的控制措施對(duì)COVID-19傳播的效果；López和Rodo等改進(jìn)SEIR模型建立了SEIQRDC模型解釋了潛伏期的感染傳播情況。魏永越等開(kāi)發(fā)SEIR(+CAQ)動(dòng)態(tài)模型較為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)了中國(guó)內(nèi)地主要疫區(qū)的累計(jì)確診病例數(shù)。然而，由于沒(méi)有全面考慮到疫情傳播特征與機(jī)制以及對(duì)疾病的認(rèn)識(shí)的動(dòng)態(tài)變化造成的防控、診斷及治療的優(yōu)化等問(wèn)題，以上研究方法存在或預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率低，或沒(méi)有全面考慮COVID-19傳播特征，或用于擬合數(shù)據(jù)多、預(yù)測(cè)周期短等問(wèn)題。因此，在面對(duì)重大新發(fā)突發(fā)傳染病時(shí)，構(gòu)建更為合理的傳播動(dòng)力學(xué)模型，采用多階段建模方法預(yù)測(cè)疫情發(fā)展趨勢(shì)并分析傳染病傳播機(jī)制勢(shì)在必行，這將有利于相關(guān)部門(mén)制定更為科學(xué)合理的防控措施,各地醫(yī)療衛(wèi)生機(jī)構(gòu)提前做好應(yīng)急準(zhǔn)備工作，有效提升疫情防控效率。

為解決上述問(wèn)題，本文在綜合考慮COVID-19的傳播特性的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了多階段SEIRr模型預(yù)測(cè)COVID-19傳播趨勢(shì)，并基于國(guó)內(nèi)外不同階段真實(shí)醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，驗(yàn)證了模型的有效性、可靠性及普適性。其主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)如下：(1)充分考慮了COVID-19傳播特性，即潛伏期患者傳染性與自治愈等特點(diǎn)，增強(qiáng)了傳染病傳播動(dòng)力學(xué)模型的穩(wěn)健性。(2)創(chuàng)新性地應(yīng)用了梯度下降算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，提升了傳播動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)估計(jì)的有效性。(3)增加了對(duì)模型輸入初始醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)初始值的估計(jì)，降低了模型對(duì)前期數(shù)據(jù)的質(zhì)量要求。本文提出的方法和模型具有很好的可解釋性，可以為相關(guān)部門(mén)制定科學(xué)合理的疫情防控措施提供一定的理論支撐。

2 模型與仿真

2.1 SEIRr模型建模

經(jīng)典的SEIR模型將人群分為了

S

(易感者，未感染但存在感染風(fēng)險(xiǎn)人群)、

E

(潛伏者，感染但不不具有傳染性的未發(fā)病狀人群)、

I

(感染者,已發(fā)病的具有傳染性人群)以及

R

(康復(fù)者，指病愈或因病死亡人群)4類(lèi)。然而，據(jù)現(xiàn)有研究表明：COVID-19的潛伏期人群具有傳染性，且由于疫情初期檢測(cè)力度不足導(dǎo)致部分無(wú)癥狀患者和自治愈人群被選擇性忽略了；另外，現(xiàn)實(shí)情況下并不是每個(gè)人與病毒攜帶者接觸后就一定會(huì)被感染。因此，

E

類(lèi)人群中存在一定比例的無(wú)癥狀感染者、自治愈人群以及無(wú)效接觸者，他們將直接從潛伏期人群中移除出去。

(1)

根據(jù)此次COVID-19疫情的特征，本文做出如下假設(shè):

(1)假設(shè)考察地區(qū)的人口總量

N

不變，即不考慮人群生死及遷移等種群動(dòng)力因素。

(2)假設(shè)考察期間，病毒不發(fā)生變異，疫情防控政策維持相對(duì)穩(wěn)定，即保證傳染率不發(fā)生變化。

(3)假設(shè)COVID-19的傳染率為

β

，則在

t

時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)被感染者感染的人數(shù)為

β

·

I

(

t

)

S

(

t

)

/N

(

t

)。(4)考慮潛伏期人群具有傳染能力，其傳染能力為感染者的

k

倍(

k

<1)。(5)假設(shè)

S

與病毒攜帶者接觸后可以轉(zhuǎn)變?yōu)闊o(wú)癥狀、無(wú)效接觸、自治愈和感染但未被確診四類(lèi)人群中的一種，其中前三類(lèi)人群將以速率

μ

從

E

中移除成為

r

類(lèi)，感染未確診人群將以速率

α

轉(zhuǎn)為感染者

I

，最終被移除成為

R

類(lèi)。則在

t

時(shí)刻由感染者轉(zhuǎn)為康復(fù)者的人數(shù)

R

(

t

)=

γ

·

I

(

t

);由潛伏者轉(zhuǎn)為移除者的人數(shù)

r

(

t

)=

μ

·

E

(

t

)。

基于以上假設(shè)，本文構(gòu)建了考慮疫情防控措施影響的SEIR模型——SEIRr模型，圖1為SEIRr模型的示意圖。模型的微分方程表達(dá)式如公式(1)所示，微分方程中的各個(gè)參數(shù)的取值參考及其具體含義參照表1。

圖1 SEIRr模型示意圖

2.2 參數(shù)設(shè)計(jì)與估計(jì)方法

利用傳染病傳播模型進(jìn)行仿真預(yù)測(cè)的必要前提是得到有效的參數(shù)值，在本模型中需要求解的參數(shù)包括

β

、

k

、

μ

、

α

、

γ

。由于

α

和

γ

分別是潛伏期患者發(fā)病速率(平均潛伏時(shí)長(zhǎng)

T

的倒數(shù))與平均康復(fù)速率(平均治愈時(shí)長(zhǎng)

T

的倒數(shù))，二者受醫(yī)療資源與診療水平限制，本文假設(shè)短時(shí)間內(nèi)二者為常量。據(jù)Li等，Guan等估計(jì)，

T

與

T

分別約為5.4天與13天，故

α

=1

/

5.4，

γ

=1

/

13。因此，待估參數(shù)還有

β

、

k

、

μ

。此外，為進(jìn)一步提高SEIRr模型的預(yù)測(cè)效果，本文在估計(jì)上述未知參數(shù)的同時(shí)通過(guò)梯度下降算法自動(dòng)調(diào)整微分方程輸入初始值

S

(0)、

E

(0)、

I

(0)、

R

(0)，從而有效克服因疫情暴發(fā)初期對(duì)新發(fā)傳染病認(rèn)知不足造成的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)偏差和數(shù)據(jù)不足等問(wèn)題。

為有效、準(zhǔn)確估計(jì)模型參數(shù)，本文采用批量梯度下降算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，各參數(shù)值在梯度下降算法擬合優(yōu)化過(guò)程中損失函數(shù)最小時(shí)取得。梯度下降算法的損失函數(shù)如下

(2)

其中代表實(shí)際值與預(yù)測(cè)值間的均方誤差為L(zhǎng)2正則項(xiàng)(可以有效避免過(guò)擬合問(wèn)題)，

θ

代表

β

,

k

,

μ

,

α

,

γ

等待擬合參數(shù)。

3 實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

本文所采用的用于模型擬合與預(yù)測(cè)的真實(shí)醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)包含國(guó)內(nèi)和國(guó)外兩部分。其中國(guó)內(nèi)數(shù)據(jù)獲取于中國(guó)國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)官方網(wǎng)站及各地方衛(wèi)生健康委員會(huì)官方網(wǎng)站的每日疫情通報(bào)數(shù)據(jù)，國(guó)外數(shù)據(jù)主要來(lái)源于美國(guó)霍普金斯統(tǒng)計(jì)的各國(guó)每日累計(jì)確診人數(shù)、累計(jì)死亡人數(shù)以及累計(jì)治愈人數(shù)等流行病學(xué)數(shù)據(jù)。由于本文研究模型的假設(shè)條件之一為傳播環(huán)境穩(wěn)定，故武漢數(shù)據(jù)取2020年1月23日宣布“封城”以后進(jìn)行研究，其他疫區(qū)的醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)均取自于2020年1月24日全國(guó)各地實(shí)施公共衛(wèi)生安全一級(jí)響應(yīng)措施以后。同理，本文所研究的國(guó)外的醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)也均取自于傳染病傳播環(huán)境相對(duì)穩(wěn)定之后的數(shù)據(jù)。用于模型擬合的數(shù)據(jù)為疫情前期10天左右的每日現(xiàn)有確診人數(shù)，其余數(shù)據(jù)用于檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛿M合效果。

3.2 武漢疫情預(yù)測(cè)分析

首先，考慮到疫情初期病毒檢測(cè)水平的不足而造成確診病例數(shù)堆積，2020年2月12日中國(guó)衛(wèi)生健康委員會(huì)首次將臨床診斷病例納入統(tǒng)計(jì)導(dǎo)致武漢市當(dāng)天累計(jì)確診人數(shù)激增，這使得武漢市在該日前后兩天統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)出現(xiàn)明顯斷層。為消除數(shù)據(jù)問(wèn)題造成的預(yù)測(cè)偏差，本文對(duì)2020年2月12日新增加的臨床診斷病例進(jìn)行平均平滑處理，將其平均分配到1月23日至2月12日期間，圖2a為數(shù)據(jù)處理前后的對(duì)比圖。然后，我們利用梯度下降算法迭代運(yùn)算5000次對(duì)平滑處理后得到的每日確診人數(shù)進(jìn)行擬合，估計(jì)相應(yīng)的傳播動(dòng)力學(xué)參數(shù)。SEIRr模型參數(shù)初始值設(shè)定以及通過(guò)批量梯度下降算法擬合得到的結(jié)果如表1所示。

表1 武漢市SEIRr模型參數(shù)設(shè)置詳情

詳情參數(shù)含義初始值參數(shù)設(shè)置依據(jù)擬合結(jié)果MCMC抽樣N艙室中的接觸人數(shù)2000000文獻(xiàn)[28]2001272-S(0)初始易感染人群1997455S=N-E-I-R1998364-E(0)初始潛伏期人群1500估計(jì)值1502-I(0)初始感染人群991湖北省衛(wèi)健委數(shù)據(jù)再平滑處理1349-R(0)初始移除類(lèi)人群(包括治愈與死亡)54湖北省衛(wèi)健委數(shù)據(jù)57-β易感者與感染者的接觸速率4.5按經(jīng)驗(yàn)隨機(jī)取值4.3081.023kk·β表示易感者與潛伏期人群的接觸速率1按經(jīng)驗(yàn)隨機(jī)取值0.2020.015μ潛伏期人群中的無(wú)效接觸、無(wú)癥狀感染、自治愈人群轉(zhuǎn)化為r的速率2.9按經(jīng)驗(yàn)隨機(jī)取值3.2360.079α潛伏期人群被檢測(cè)為感染者的檢測(cè)速率1/5.4文獻(xiàn)[22,23]1/5.41/5.4γ感染者被治愈速率1/13文獻(xiàn)[23]1/131/13

武漢市現(xiàn)有確診人數(shù)的預(yù)測(cè)如圖2b所示，圖中綠色圓圈為參數(shù)擬合用數(shù)據(jù)，其余真實(shí)數(shù)據(jù)(黑色圓圈)作為對(duì)比評(píng)價(jià)SEIRr模型預(yù)測(cè)效果，最終得到了

R

=0.975的擬合優(yōu)度。從擬合得到的結(jié)果可見(jiàn)：①武漢市每日現(xiàn)有確診人數(shù)的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際基本符合；②潛伏期人群相較于感染期人群的傳染率不高，約為感染者的20

%

左右，這與中國(guó)-世界衛(wèi)生組織新型冠狀病毒肺炎(COVID-19)聯(lián)合考察報(bào)告所描述的“感染者在出現(xiàn)癥狀前1～2天才能檢測(cè)到核酸病毒判斷潛伏期患者在出現(xiàn)癥狀1～2天才具有傳染性”的研究是相吻合的；③從圖2c可以看出后期治愈速率是大于1

/

13的，從而導(dǎo)致疫情進(jìn)度存在10天左右的滯后，這與醫(yī)療資源與診療手段的更新相關(guān)。

圖2 武漢市疫情預(yù)測(cè)

從結(jié)論③中可以看出，隨著各界對(duì)COVID-19認(rèn)知水平的提高，武漢市針對(duì)COVID-19的診斷與治療效果存在顯著提升，然而在新冠肺炎暴發(fā)初期發(fā)表的論文基本都忽略了該因素對(duì)COVID-19發(fā)展態(tài)勢(shì)的影響，這也導(dǎo)致其預(yù)測(cè)COVID-19的發(fā)展趨勢(shì)與實(shí)際情況存在較大的偏差。本文考慮改變后期(2020年2月27日以后)參數(shù)進(jìn)行仿真模擬預(yù)測(cè)疫情發(fā)展態(tài)勢(shì)以驗(yàn)證我們的推測(cè)，當(dāng)后期治愈速率更新為1

/

10時(shí)的預(yù)測(cè)效果最佳，其擬合優(yōu)度提升到

R

=0.996,和圖2d所示。為進(jìn)一步驗(yàn)證SEIRr模型的預(yù)測(cè)效果和批量梯度下降算法可靠性，本文使用控制變量法進(jìn)行了必要的對(duì)比試驗(yàn)。首先進(jìn)行了馬爾科夫蒙特卡洛方法(MCMC)和批量梯度下降算法的參數(shù)估計(jì)效果對(duì)比實(shí)驗(yàn)：為保證與批量梯度下降算法參數(shù)一致，MCMC確定模型輸入初始值以及參數(shù)

α

和

γ

與梯度下降算法一致的基礎(chǔ)上，使用了8000次NUTS采樣，最終確定

k

、

μ

、

β

三個(gè)參數(shù)值，預(yù)測(cè)值如表1所示。結(jié)果表明，與批量梯度下降相比，MCMC僅能估計(jì)三個(gè)參數(shù)，且估計(jì)精度與抽樣次數(shù)相關(guān)，抽樣次數(shù)越多則精度越高；估計(jì)參數(shù)的預(yù)測(cè)效果如圖2(f)所示，批量梯度下降方法的結(jié)果顯然優(yōu)于MCMC方法。然后是SEIR和SEIRr的模型預(yù)測(cè)效果對(duì)比實(shí)驗(yàn)：在該實(shí)驗(yàn)中兩模型的參數(shù)估計(jì)方法均采用批量梯度下降算法迭代運(yùn)算5000次對(duì)武漢市1月23日至3月2日期間的每日確診人數(shù)進(jìn)行擬合并得到模型參數(shù)，然后將參數(shù)代入相應(yīng)模型進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，預(yù)測(cè)效果如圖2(e)所示。結(jié)果表明，SEIR模型存在疫情峰值時(shí)間預(yù)測(cè)偏早，疫情峰值偏高等問(wèn)題，SEIRr模型預(yù)測(cè)效果顯然比傳統(tǒng)SEIR模型更好。

3.3 國(guó)內(nèi)主要地區(qū)疫情預(yù)測(cè)

為了驗(yàn)證模型的普適性，本文用同樣的方法對(duì)國(guó)內(nèi)的廣東、河南、湖南、重慶、浙江等地區(qū)在2020年1月24日至2020年2月3日期間，以及上海在2022年3月11日至2022年6月10日期間每日現(xiàn)有確診人數(shù)進(jìn)行擬合，從而得到相應(yīng)的傳染病傳播動(dòng)力學(xué)方程的參數(shù)。與2020年原始新冠病毒特性不同的是，此輪上海疫情是由變異毒株——“奧密克戎”引起，據(jù)復(fù)旦大學(xué)研究成果表明，其平均潛伏期時(shí)長(zhǎng)和在院治療時(shí)長(zhǎng)分別為1.2天和5.6天。因此，上海疫區(qū)的參數(shù)

α

與

γ

分別設(shè)置為1

/

1.2和1

/

5.6。通過(guò)仿真預(yù)測(cè)得到的結(jié)果如圖3中的紅色實(shí)線(xiàn)所示，各地區(qū)擬合優(yōu)度也都在90

%

以上，與武漢市情況類(lèi)似，國(guó)內(nèi)其他地區(qū)的后期治愈速率同樣得到了提升，治愈速率更新后的擬合效果如圖3中的藍(lán)色實(shí)線(xiàn)所示(其中2022年上海疫情僅用單階段模型即可得到相對(duì)準(zhǔn)確可靠的擬合結(jié)果)。這表明，在傳染病傳播環(huán)境穩(wěn)定的條件下，SEIRr模型的預(yù)測(cè)精度和準(zhǔn)確性具有可靠性；隨著人們對(duì)病毒認(rèn)識(shí)的提高和診療水平的提升，使得COVID-19患者的平均治愈速率能夠提升并維持相對(duì)穩(wěn)定。

圖3 中國(guó)主要地區(qū)疫情發(fā)展趨勢(shì)預(yù)測(cè)

3.4 國(guó)外疫情趨勢(shì)擬合與預(yù)測(cè)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證模型的普適性，本文挑選了傳染病傳播環(huán)境都是較為穩(wěn)定的意大利、德國(guó)、日本、瑞士四個(gè)國(guó)外疫區(qū)疫情發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)。其中意大利和德國(guó)均采取了類(lèi)似于中國(guó)的封城措施，意大利在2020年3月4日宣布全國(guó)學(xué)校停課，3月8日實(shí)施“封城”措施，德國(guó)則是在3月16日由總理默克爾正式宣布實(shí)施“緊急防疫措施”。而日本則是在4月7日實(shí)行“軟封城”措施，該措施更多地是依靠居民的自覺(jué)性。瑞士實(shí)行的是“群體免疫政策”，政府沒(méi)有采取任何強(qiáng)制措施對(duì)COVID-19進(jìn)行限制。

使用同樣的方法對(duì)國(guó)外數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)并預(yù)測(cè)疫情發(fā)展趨勢(shì)，參數(shù)設(shè)置與預(yù)測(cè)結(jié)果如表2與圖4所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，各國(guó)實(shí)際與預(yù)測(cè)每日現(xiàn)存確診人數(shù)之間的擬合優(yōu)度均在0.97以上。這表明，基于前期的公布的少量醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，利用梯度下降算法對(duì)SEIRr模型求解，也可以有效預(yù)測(cè)國(guó)外疫情發(fā)展趨勢(shì)。

表2 國(guó)外疫情SEIRr模型擬合結(jié)果

國(guó)家βkμ第一階段α第二階段α第一階段γ第二階段γ德國(guó)3.6320.6954.2131/5.41/5.41/141/14日本3.3570.03033.1081/5.41/5.41/141/14意大利3.0250.4163.0171/121/101/151/13瑞士4.7660.4123.0861/101/81/161/13

進(jìn)一步，本文對(duì)比了上述四個(gè)國(guó)家擬合所得的傳播動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)?？梢钥闯觯瑢?shí)施“群體免疫”政策的瑞士傳染率最高；而意大利的防控措施效果較好，其傳染率是所有國(guó)家中最低的；德國(guó)和日本的傳染率較為相近；意大利與瑞士的檢測(cè)速率與治愈速率均較小，本文推斷這是由于意大利感染人數(shù)較多所致，瑞士則是因?yàn)閷?shí)行“群體免疫”政策而導(dǎo)致的檢測(cè)水平滯后，康復(fù)周期變長(zhǎng)；但兩參數(shù)值在第二階段是有增大的，這進(jìn)一步佐證了“隨著對(duì)疾病認(rèn)知的提高，醫(yī)療資源也必將得到優(yōu)化”的觀點(diǎn)。

圖4d為意大利疫情趨勢(shì)預(yù)測(cè)結(jié)果，該結(jié)果所用的擬合數(shù)據(jù)為3月21至4月5日之間的每日現(xiàn)有確診人數(shù)。為說(shuō)明使用近期數(shù)據(jù)能夠更好地預(yù)測(cè)疫情發(fā)展的變化趨勢(shì)，本文使用不同時(shí)期的數(shù)據(jù)對(duì)意大利疫情趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，其結(jié)果如圖5所示。由圖5可見(jiàn)，隨著參數(shù)學(xué)習(xí)所用的醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)病例數(shù)所處時(shí)間段的推移，SEIRr模型預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率不斷提升；從總體上來(lái)看，前期預(yù)測(cè)結(jié)果較實(shí)際醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)高但各時(shí)間段所推測(cè)出的疫情峰值與實(shí)際日期均高度重合。這有可能是由于意大利在疫情初期存在檢測(cè)力度不足而導(dǎo)致前期公布的每日現(xiàn)有確診人數(shù)偏低。

圖4 國(guó)外部分國(guó)家疫情發(fā)展趨勢(shì)預(yù)測(cè)

圖5 不同擬合數(shù)據(jù)下的意大利疫情預(yù)測(cè)結(jié)果

4 結(jié)論與展望

本文結(jié)合COVID-19傳播特征提出了一種考慮潛伏期患者傳染性、感染期人群自治愈能力、無(wú)癥狀感染者以及無(wú)效接觸人群的SEIRr模型。模型基于疫情早期少量醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，使用批量梯度下降算法估計(jì)傳播動(dòng)力學(xué)參數(shù)及初始感染人數(shù)從而預(yù)測(cè)疫情發(fā)展趨勢(shì)。研究得到以下的結(jié)論：(1)本文的各項(xiàng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，通過(guò)估計(jì)模型初始值可以有效克服因早期醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)誤差以及對(duì)傳播特征的錯(cuò)誤理解等原因而造成預(yù)測(cè)偏差問(wèn)題。(2)相較于傳統(tǒng)SEIR模型，SEIRr模型假設(shè)更貼合COVID-19實(shí)際傳播情況，實(shí)現(xiàn)了對(duì)國(guó)內(nèi)外多個(gè)地區(qū)的疫情發(fā)展趨勢(shì)的精準(zhǔn)預(yù)測(cè)，其擬合優(yōu)度提高到了0.95以上。(3)相較于基于統(tǒng)計(jì)學(xué)的MCMC抽樣的參數(shù)估計(jì)方法，梯度下降算法具有更好的擬合效果，能夠?yàn)槠渌麄鞑?dòng)力學(xué)參數(shù)估計(jì)提供有效借鑒。

基于本文相關(guān)研究結(jié)果，得到的傳染病防控管理啟示有：(1)從源頭抓起，堅(jiān)決管制隔離病毒攜帶者和密切接觸者，防止疫情擴(kuò)散。(2)降低傳播率

β

，輿論引導(dǎo)民眾做好個(gè)人防護(hù)措施，政府加大監(jiān)管力度，切斷病毒傳播途徑。(3)提高參數(shù)

α

的值，在條件允許的情況下，適當(dāng)增加核酸檢測(cè)強(qiáng)度，及時(shí)發(fā)現(xiàn)病毒攜帶者，盡早隔離。(4)提高治愈速率

γ

，加大相關(guān)科研的投入，研發(fā)疫苗和治療藥物，提升醫(yī)療資源配置，以應(yīng)對(duì)大規(guī)模的疫情反彈風(fēng)險(xiǎn)。