畢忠梁，單家正，趙夫超

(安慶職業(yè)技術學院 機電工程學院，安徽 安慶 246003)

0 引言

以增材制造為背景的3D打印技術目前已經(jīng)廣泛運用在智能制造行業(yè)中，3D 打印機種類很多，主要分為桌面級和工業(yè)級兩大類。其中桌面級3D打印機主要以笛卡爾坐標系XYZ機型為主，控制部分大多采用源代碼開放的Marlin固件。而采用雙臂結構的3D打印機還是較為少見[1]。

0.1 研究目的

桌面級3D打印機如果采用XYZ結構則一般體積較大，結構呆板，不便于移動和攜帶。機械臂型3D打印機具有體積小以及移動速度快等優(yōu)點，但是一般SCARA型機械臂為單臂結構，末端承載能力不強，不便于安裝3D打印噴嘴。本文設計一種雙臂結構打印機，增加末端剛性，提高打印精度，同時雙臂可折疊，便于設備攜帶，此改進不失為一種創(chuàng)新。

0.2 研究內容

由于雙臂SCARA運動軌跡規(guī)劃算法比較復雜，目前市面上3D打印機固件多為AVR開發(fā)，其運算能力無法滿足要求。本設計采用Smoothieware固件控制，32位ARM處理器，將雙臂SCARA型機械臂運動軌跡算法融入固件中，使其能夠滿足打印需求[2]。

1 雙臂SCARA機械臂結構

雙臂SCARA型機械結構不同于單臂SCARA，單臂SCARA的大臂和小臂分別由一個電機驅動，兩個臂分別繞大臂的兩個端點旋轉運動。雙臂SCARA機械臂兩個電機分別驅動左右兩組大臂，而小臂在末端鉸鏈，實現(xiàn)機械臂的末端執(zhí)行器在XY二維平面內定位，雙臂SCARA比單臂SCARA的剛性更好，控制精度更高。

圖1 雙臂SCARA型機械臂結構示意圖

如圖1所示，雙臂SCARA型機械臂在水平面上只有兩個自由度，采用四桿等臂長結構關節(jié)臂。其主要機構由底座，左大臂、左小臂、右大臂、右小臂，直線升降滑臺，3D打印噴頭等部分組成。底座固定支撐整個機構，底座的下方安裝打印熱床。直線升降滑臺豎直安裝，可帶動整個機械臂沿著Z方向做升降的直線運動。左右兩組關節(jié)臂分別由上下兩個精密諧波減速電機驅動，左右兩組機械臂均繞同一個樞軸做旋轉運動，兩組關節(jié)臂在末端鉸連合成運動[3]。不用的時候打印臂可以折疊向后收起，減少空間占用。

2 雙臂SCARA型機構運動學分析

要研究雙臂SCARA的控制系統(tǒng)，并修改Smoothieware固件軌跡規(guī)劃算法，就必須先建立雙臂SCARA的運動學模型，求出運動學正解和逆解。運動學正解是將各個關節(jié)之間角度轉化為末端的笛卡爾直角坐標系的坐標值，運動學逆解是已知末端的笛卡爾直角坐標系的坐標值，求解各個關節(jié)的角度，從而驅動電機旋轉。單臂SCARA的機械臂是由兩個連桿通過旋轉的關節(jié)串聯(lián)而成，大臂與小臂的夾角決定了末端的位置，雙臂SCARA不同的是由兩組4個等臂連桿并聯(lián)組成，兩組大臂的夾角決定末端位置，情況比單臂SCARA要復雜很多。

2.1 雙臂SCARA運動學正解

雙臂SCARA的運動學正解是在已知所有連桿臂長和驅動電機關節(jié)角度的情況下，計算出機械臂末端的位置和姿態(tài)。雙臂SCARA的平面運動如圖2所示，在平面直角坐標系XOY下，兩組機械臂四桿采用等臂長連桿，左右兩組機械臂OB和OD均繞O點旋轉，由上下兩個諧波減速電機驅動，將O點設置為坐標系原點。左大臂、左小臂、右大臂和右小臂設計為等臂長結構，長度均為L，左大臂OB由上諧波電機驅動，與基礎坐標系夾角為α2，右大臂OD由下諧波電機驅動，與基礎坐標系的夾角為α1。左小臂和右小臂在A點鉸鏈，A點即為末端執(zhí)行器位置，其在平面坐標系中坐標設置為(Xa，Ya)。

通過簡單的平面幾何計算得到，末端A的X坐標為向量OB與向量AB在X軸上投影之和，末端A的Y坐標為向量OB與向量AB在Y軸上投影之和[4]，所以末端A點在平面坐標系中的位置坐標表達式為：

圖2 運動學正解示意圖

2.2 雙臂SCARA運動學逆解

雙臂SCARA的運動學逆解是在已知機械臂末端A點在平面坐標系中的位置坐標(Xa，Ya)和四桿等臂長L，計算出左大臂OB和右大臂OD的關節(jié)角度α1、α2。由于雙臂SCARA的運動學逆解不是唯一的，因此求解比正解要復雜。如圖3所示，同樣是等臂長四桿結構臂長為L，連接OA過A點做OC垂直O(jiān)B相交與C點。對于三角形ΔOBA，由余弦定理可得：

設k1=cosβ2，式(1)可寫成：

設k2=sinβ2，由式⑵可得，k2有兩個解：

當K2為正值時，機械臂處于一二象限，打印區(qū)間為機器正面區(qū)域；當K2為負值時，機械臂處于三四象限，運動方向為機器背面區(qū)域，由于機器設計時打印區(qū)間均在機器正面，所以K2始終為正。當K2=0時，機械臂處于奇異點，即末端位置在機械臂伸長最遠端和機械臂收縮的最近端，當處于奇異點時β1=kπ(K∈Z)[5]。由于大臂小臂設計時無法重疊，因此K2不能為0，綜上K2∈(0,1]。

由式⑵和⑶可得：

對于ΔOAE，可得：

對于ΔOAC，設|OA|=R，則：

由式(6)和(7)可得：

至此分別求出左大臂OB和右大臂OD的關節(jié)角度α1、α2：

在這里，無論是求解α1還是α2，均采用雙變量反正切函數(shù)atan2計算，而沒有采用反正/余弦函數(shù)asin/acos，這是因為atan2(Y，X)的值域為[-π，π]，雙臂SCARA機械臂無論是左大臂OB還是右大臂OD，其關節(jié)角的取值范圍也都在此之間，因此采用atan2(Y，X)更加的直觀和方便，也避免了額外的角度范圍判斷。另一方面atan2(Y，X)相對于asin(X)或者acos(X)而言，計算精度也更高。因為實際機器人的臂長、零點、減速比等運動學參數(shù)有誤差，asin(X)或者acos(X)會使誤差放大，逆解精度均勻性比atan2(Y，X)差，綜上所述在求解機器人運動學逆解時采用atan2(Y，X)來計算[6]。

3 基于Smoothieware系統(tǒng)軟件設計

目前市面上的桌面級3D打印機大多采用的是基于AVR開發(fā)的Marlin固件，雙臂SCARA機型不同于普通笛卡爾坐標系結構，其運動軌跡算法計算復雜，而且采用諧波減速電機驅動，為滿足定位精度，電機步距角選擇很小，脈沖的細分倍數(shù)較高，對處理器性能要求比較高，使用Marlin固件存在卡頓現(xiàn)象[7]。因此為了滿足使用的要求，本設計采用Smoothieware固件。Smoothieware是一款面向LPC17xx微控制器(ARM Cortex M3體系結構)的基于C++編寫的開源固件，可以在mBed、LPCXpresso、SmoothieBoard、R2C2或任何其他基于LPC17xx的控制卡上運行。采用的是32位Cortex M3主控芯片，100MHZ的主頻，運算能力很強，完全可以滿足雙臂SCARA機型的性能要求。Smoothieware固件已經(jīng)集成了單臂SCARA的算法，要使其能控制雙臂SCARA需要編寫其運動控制部分算法，其運動學逆解部分程序代碼如下：

void dual_armSCARASolution::cartesian_to_actuator( float cartesian_mm[], float actuator_mm[] ) ∥笛卡爾坐標轉換為關節(jié)坐標

{

float SCARA[X_AXIS],SCARA[Y_AXIS]；∥末端噴頭的平面坐標系坐標值

SCARA_COS；∥cosβ2值

SCARA_SIN；∥cosβ2值

SCARA_T1；∥|OC|值

SCARA_T2；∥|AC|值

SCARA_a2；∥左關節(jié)OB與基礎坐標系夾角為α2

SCARA_a1；∥右關節(jié)OD與基礎坐標系夾角為α1

SCARA_COS=(SQ(SCARA[X_AXIS])+SQ(SCARA[Y_AXIS])-2.0f*SQ(this->arm_length)) / (2.0f * SQ(this->arm_length));∥arm_length為配置文件中設置機械臂的臂長

if (SCARA_COS > 0.99f)

SCARA_COS = 0.99f；∥避開機械臂處于奇異點的位置

else if (SCARA_COS <-0.99f)

SCARA_COS = -0.99f；∥避開機械臂處于奇異點的位置

SCARA_SIN = sqrtf(1.0f-SQ(SCARA_COS ));

SCARA_T1 = this->arm_length+this->arm_length*SCARA_COS;

SCARA_T2 = this->arm_length*SCARA_SIN；

SCARA_a2 = (atan2f(SCARA_T1, SCARA_T2)+atan2f(SCARA[X_AXIS],SCARA[Y_AXIS]));

SCARA_a1= (atan2f(SCARA_T1,SCARA_T2))-(atan2f(SCARA[X_AXIS],SCARA[Y_AXIS]);

actuator_mm[ALPHA_STEPPER] = to_degrees(SCARA_a2)；∥將α2弧度換算為上電機角度

actuator_mm[BETA_STEPPER ] = to_degrees(SCARA_a1)； ∥將α1弧度換算為下電機角度

}

將修改好的固件重新刷入控制卡，經(jīng)過調試系統(tǒng)運行正常，測試打印精度較高。

4 結論

本文設計并試制出的這種具有雙臂機構的SCARA3D打印機，相比于傳統(tǒng)的桌面級3D打印機具有體積小、剛性好以及移動速度快等優(yōu)點。但是此結構3D打印機也存在一些不足，主要是連桿的加工裝配精度對機械臂運行軌跡的影響較大，同時原點的初始角度值也會影響打印精度，后期還需要進一步優(yōu)化。