呼家源 詹雨

（1.內蒙古科技大學理學院；2.河套學院土木工程系）

英國著名哲學家、數學家、邏輯學家、教育家BertrandArthurWilliamRussell曾指出：“作為社會與政治生活一部分的哲學,是過去的各個時代的各具特色的社會的產物，而遠非只是源于天才閉門造車式的冥思苦想?！睙o論是哪個時代數學思想與數學理論的發(fā)展對哲學的影響都尤其巨大。著名的Pythagoras定理的發(fā)現者，也就是薩摩島人Pythagoras便將數學與神學融合為一體。他主張：“數學是永恒真理的主要來源，數學所依賴的思想比感觀高貴，因而思想的對象比感觀的對象真實”。這也使得無論哪個時代的哲學學派中都富含理性的成分，也使得文明的傳播必不可少地要具備數學、哲學、科學三要素?？v觀數學、哲學、科學的歷史著作也會發(fā)現，數學史的深刻發(fā)展離不開哲學背景，西方哲學史的著作也不得已要關注自然科學史特別是數學史。當我們講授高校中的數學專業(yè)課程中的原理時，通過對數學的思想方法與哲學思想之間聯系的分析，不僅可以幫助學生在學習的過程中更好地理解和掌握數學思想，還可以讓理工科類學生的思維得以拓展，能夠理解一些比較深刻的哲學問題。

一、“?！迸c“變”的辯證關系

中國哲學研究的核心是對人和人生的反思，從入世的角度來講即為探討人存在的意義與價值、人際關系和人事。既然如此，中國哲學必然受到環(huán)境、經濟等因素的影響，這就是影響中國哲學元素中的“?！薄９识谀硞€時期，人們總提及“四海之內”“普天之下”，而沒有考慮到海上國家及海外環(huán)境。另外受農耕文化的影響，中國哲學表述中出現了“本”與“末”“寒往則暑來，暑往則寒來”“日中則昃，月盈則食”等，無不源自于農業(yè)生產。難道中國哲學在“常量”所構系統(tǒng)中注定要被封閉在“四海之內”嗎？當然不是！馮友蘭在《中國哲學簡史》[1]中分析到，“任何民族在任何時代任何制度的哲學里，總有一些內容只對處于當時經濟條件下的大眾有用；但是，除此之外，還會有一部分哲學思想具有持久的價值?！边@便是哲學發(fā)展中所謂的“變”。

數學各個分支中都滲透著“?！迸c“變”。每個數學原理在分析之前必須明確這個問題是放在哪個空間、哪個數域之中?；蛘弋斘覀児潭ㄏ聛砟承┘僭O條件，這個分析問題的系統(tǒng)中的某些元素便成為了常量。也有的時候我們假定某些“變化”的元素為常量，來使得問題的分析更加明確。當這些元素發(fā)生變化時，便使得這個系統(tǒng)動了起來，并且在這個“?！迸c“變”的辯證過程中不斷深入發(fā)展。例如，微分方程模型中最常見的人口模型便是如此。最初Malthus做了基本假設：在人口自然增長的過程中，凈相對增長率是常數，記此常數即生命系數為r，并據此建立了微分方程模型并得到滿足初值條件t=t0時人口數量為N(t0)=N0的解為N(t)=N0er(t?t0)。然而這個Malthus模型中的人口總數并不符合人口增長實際規(guī)律，是呈指數型函數無限增長。數學模型中的“?！苯洺Ｊ菍＜液蛯W者關注的對象，往往要對其修正或進行推廣、優(yōu)化使得數學問題更加豐滿。荷蘭Verhulst引入環(huán)境最大容納量Nm并假設生命系數為據此假定人口增長的模型修正為了著名的Logistic模型這兩個模型中的凈相對增長率是普遍存在的，是共性。而Malthus模型中人口數量增長與地球環(huán)境容納量的矛盾則具有特殊性。馬克思主義哲學中的“靜與動”“矛盾的普遍性和特殊性”也是如此辯證統(tǒng)一?？v觀“數”的起源與發(fā)展，從自然數、整數，到有理數、無理數，再到實數、虛數和復數，數的發(fā)展是一個不斷變化發(fā)展的過程。從計數到數基、進制，即使我們最終普遍接受了10進制，或許源于我們的每只手均有5根手指，但是隨著素數域、橢圓曲線的研究，數及數的運算一次又一次被向前推進，甚至橢圓曲線上的點之間也可以定義加法和標量乘法。

二、聚點思維與聚類思維

所謂聚點式思維,在數學學習中就是嚴格按照定義、定理、公式、法則等思維朝著一個方向思考,使思維規(guī)范化。聚類思維是指從諸多研究對象的性質中挖掘共同的屬性，并以此為基礎歸納整理此類對象的相關性質。數學中的聚點與聚類思維有以下一些通俗的實例。

數論的研究對象是整數特別是素數，例如孿生素數、完美數等。然而在研究整數性質特別是素數的性質時，我們用初等數學的方法去研究[2]，即利用研究對象本身的性質去處理分析便是聚點思維。例如整數的整除、最大公約數理論、同余理論、原根等理論均為整數的初始結構，僅僅關注的是整數結構中的知識節(jié)點或位置。例如孫子定理的證明、存在無窮多個素數的證明，均在整數環(huán)上進行分析。

然而數學發(fā)生著深刻變革，數學研究在經歷的危機和結構性坍塌之后，數學本質及結構的理解與包容發(fā)生了巨大的變化。在不連續(xù)的整數之間，經過引入連續(xù)量，而導出了新的關系系統(tǒng)，用分析的工具來解決數學問題，產生了解析數論這一分支，經過Dirichle、Riemann、華羅庚等數學家的工作，將它發(fā)展起來，這就是聚類思維。例如：將整數的研究放在更大的復數域中，定義三角和，并且在1937年維諾格拉朵利用解析數論工具基本上解決了哥德巴赫猜想中的三素數問題。單一的、相互不關聯的數學知識在聚類思維的作用下聯系起來，數學知識結構更趨于完美、完備。

三、數形結合思想中的抽象與具體

歐內斯特以基礎主義的三大流派的分析中談到，某些直覺的元數學原理以及“原始直覺”的自明公理是絕對真理的可靠基礎之一，直覺主義也在自己假設的基礎上用演繹范式去證明數學定理的真理性，數形結合便是其中之一重要思想方法。在我們學習數學的過程中是普遍存在的。從小學到大學的學習過程中，數形結合就一直伴隨著我們數學知識的學習，它讓問題變得簡單，更加的直觀。數形結合思想就是在解題的過程中結合語言并且利用圖像使問題更加清晰明了。例如，設集合M={?1,0,1}，N={?2,?1,0,1}，求M∩N。

如圖1，我們可以知道M∩N={?1,0,1}。

圖1 Venn圖

例1所用到的數學思想就是數形結合思想，通過Venn圖我們可以直觀的得到結果，使解決問題更加簡單、快捷。

數形結合思想在哲學中所體現的是具體與抽象的辯證統(tǒng)一，集合是抽象的，Venn圖則是具體的。例1中通過畫出Venn圖從而直觀地看出結果，得到抽象的結論，這也是具體到抽象的一個過程。把我們的研究對象看成一個集合，對其共同的性質進行挖掘，并剔除和忽略這些研究對象之間的差異，這樣便得到一個抽象的事物。例如我們在研究整數的加減運算時，在整數集上建立了一種對應關系。我們把這種對應關系抽象出來，可以定義兩個非空集合上的運算，而這個集合的元素也可以是“東、南、西、北”，可以是動物，可以是矩陣等。這種從具體到抽象的上升，也是基于聚類思維的一種哲學活動，我們從中提取出共同的本質來定義更普遍的定律或更一般的原理。像程和祥[3]認為的那樣，“數學對象作為客觀地存在著的個體對象，就應該是所謂的抽象對象，這種抽象對象顯然和具體對象不同，它不是可見的物質”，即“存在但又不存在”。當我們揭示了更一般的規(guī)律，便可以從抽象回歸到具體，解決具體的問題。例如我們在解決不定方程整數解的過程中，一開始是混沌狀態(tài)的，但是可以通過研究一般的代數數論中的有限域、有限擴張、唯一分解定理等抽象的理論，再用這些原理來解決具體的不定方程。因此數學思維從“混沌思維”到“聚類思維”再到“聚點思維”的演變，這也是哲學中從具體到抽象再到具體的辯證過程。

四、極限思想中的顯性思維、隱性思維與創(chuàng)造性思維

諸多學者根據不同歷史時期的數學范式，對數學的發(fā)展的歷程分為古希臘之前的前現代數學和古希臘之后的現代性數學，數學從經驗數學向演繹數學轉換。而19世紀中葉，非歐幾何與非交換代數誕生，是數學思想從現代性逐步轉向超越現代性的深刻變革，數學語言更是上升到了抽象并與普通語言分離。特別是作為微積分學的主要工具之一的極限，讓實數理論更加完備。變速直線運動、曲邊梯形面積、變力沿平面曲線作功、曲頂柱體體積等不均勻的問題中所含的隱性思維需要極限這一數學語言將其準確的刻畫出來即顯性化。

極限思想是我們從有限到無限的質的飛躍。然而抽象的無限接近，是我們高級思維中的隱性思維，如何顯性的將其表示出來呢？當我們表述頭腦中的隱性思維時，不會有能量的衰減，又能嚴格地、準確地將其刻畫出來。對于數列極限，ε?N語言便是顯性思維，是分析極限問題的標準語言，是顯性思維的體現。

極限的符號語言可以將上述的數學隱性思維顯性表述出來，還體現了哲學中量變與質變的辯證關系和對立統(tǒng)一的觀點。然而數學思維與數學知識有能量衰減和失真，哲學的原理與我們表述的理論之間也存在這樣的問題。

其一，量變與質變的辯證關系。當事物在量變時達到一定的程度的時候，就會發(fā)生質的改變。如上例中，項數的無限增多，也就是從有限項變?yōu)闊o限項，也就是由量的變化最后造成了質的變化。又如，求曲線C在點P的切線斜率，首先在曲線C上取一點Q，求出割線PQ的斜率。然后令曲線上的點Q沿曲線無限的靠近于P，則割線斜率的極限就是切線斜率。在此過程中，曲線上的點Q一直沿曲線靠近于P，割線的斜率是一直變化的，接近于切線的斜率，這是量變的過程。而當點Q到達極限位置的時候，才會得到割線的斜率就是切線的斜率，這是質變的結果，也是由量變引起質變。

其二，對立與統(tǒng)一的觀點。極限的作用就是從有限到無限的橋梁，它體現的是有限與無限的對立統(tǒng)一。如上例中，數列中每一項的值不斷發(fā)生變化，項數也是有限的。但是，當項數無限的增多的時候，an無限趨近于常數0。從中我們可以看出，無限是有限發(fā)展得來的，而有限是無限的最終結果，它們是對立統(tǒng)一的。在高中以及大學我們都學習過級數。在高中，我們所學的級數是有限項的，即數列的前n項和，它滿足交換律和結合律。大學所學的級數是無限項的，是不一定滿足交換律和結合律的，因為有一定的限制條件。這也就說明有限的問題中成立的結論在無限的問題中不一定成立。但是無論二者的區(qū)別是什么樣的，它們都是級數。這體現出了二者的對立統(tǒng)一。

五、結論

“理以心得為精，故當沉潛，不然，耳邊口頭也?！蔽覀冸m說利用哲學觀點分析了數學思維，但是也僅僅是五個方面而已，皆淺嘗輒止。在做學問的過程中，不僅僅要體會數學思維中所蘊含的哲學思想，也應該觸類旁通，更深刻地去認識數學哲學所討論的對象之“存在且不存在”性，并體會聚類與聚點思維、顯性與隱性思維、認同與審辯思維、單數與復數思維、解構與建構思維[4-7]等。眾所周知，非歐幾何與非交換代數所觸動的對數學認識論、方法論、數學真理等方面的深刻變革，讓數學學科所研究的結構或者說關系更具備相容性、獨立性和完備性。正如黃秦安[6]所言“一幅嶄新的數學知識結構的畫卷逐步展現在人們面前?！?/p>