李 寧，陳 浩，李忠獻(xiàn)

(1.天津大學(xué) 建筑工程學(xué)院 濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點(diǎn)實驗室，天津 300350；2.天津大學(xué) 中國地震局地震工程綜合模擬與城鄉(xiāng)抗震韌性重點(diǎn)實驗室，天津 300350)

如何正確計算空間差動地震動對大跨度結(jié)構(gòu)的非一致效應(yīng)及其影響規(guī)律，仍然是抗震研究的熱點(diǎn)問題[1-3]。為了保證結(jié)構(gòu)的安全，考慮到設(shè)計及應(yīng)用的方便，需采用恰當(dāng)?shù)挠嬎惴椒ㄟM(jìn)行結(jié)構(gòu)的非一致動力反應(yīng)分析。通常的多點(diǎn)多維激勵分析方法依據(jù)地震動模擬輸入和等效輸入荷載的方式不同，分為多個類型[4-10]。時域方法不僅適用于結(jié)構(gòu)線性分析，也適用于非線性分析，是當(dāng)前最具有普適性和有效性的計算方法。時域內(nèi)多點(diǎn)激勵計算方法主要有：直接求解法(direct solving method,DSM)、相對運(yùn)動法(relative movement method,RMM)、位移輸入法(displacement input method,DIM)、大質(zhì)量法(large mass method,LMM)[11]和大剛度法(large stiffness method,LSM)。DIM法也是當(dāng)前諸多有限元工具容易實現(xiàn)的一般方法，在多點(diǎn)激勵計算中被廣泛應(yīng)用。而為了考慮零頻信號或地面殘余位移，DIM尤為適合。

DIM通過引入基底位移作為激勵，求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)，不同于加速度場引入慣性效應(yīng)。近年來，有關(guān)學(xué)者針對DIM的計算精度、存在的問題以及解決方法等展開了研究。羅超等通過對DSM、DIM、RMM和LMM的對比研究指出，DIM方法的計算精度可以滿足工程要求?；萦碌纫钥鐢鄬訕蛄簽檠芯繉ο螅懻摿朔且恢录钕翫IM和LMM的適用性以及誤差產(chǎn)生的原因。結(jié)果表明：DIM能夠更好考慮永久地面位移對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，而LMM則無法考慮，但這并不是LMM本身引起的，而是有限元實現(xiàn)方法不同所導(dǎo)致。柳國環(huán)等[12]指出，當(dāng)空間結(jié)構(gòu)底部單元為非經(jīng)典阻尼時，DIM不會存在計算結(jié)果的不收斂問題。而國巍等[13]研究指出，DIM在隔震結(jié)構(gòu)中盲目使用可能會導(dǎo)致嚴(yán)重的錯誤。Wilson等認(rèn)為要使DIM與RMM達(dá)到相同的計算精度，則需要更小的激勵步長和積分時間步長，而田玉基等卻給出了相反的結(jié)論。杜憲亭等在上述研究的基礎(chǔ)上指出：在積分方法和步長相同時，RMM較DIM易得到更好的精度，而在模態(tài)分析方法中則會得到相反的結(jié)論。李永華等[14]研究指出，RMM和DIM中由于阻尼假定的不同，會導(dǎo)致兩個方法的計算結(jié)果存在巨大差異。在Rayleigh阻尼模型下，質(zhì)量比例阻尼部分是導(dǎo)致誤差的主要來源，并與阻尼比的大小、激勵頻率和結(jié)構(gòu)基本頻率的比值有關(guān)，而剛度比例阻尼部分不會產(chǎn)生誤差；在單元阻尼下，兩種方法計算結(jié)果基本一致。柳國環(huán)等也指出，DIM在考慮Rayleigh阻尼時的計算結(jié)果可能不穩(wěn)定和不可靠，并提出了附加無質(zhì)量束縛元和無質(zhì)量剛性元的修正方法。筆者認(rèn)為應(yīng)將結(jié)構(gòu)考慮為Rayleigh假定和非比例阻尼假定兩類體系對待。

本文采用Rayleigh阻尼模型，在對多點(diǎn)激勵分析理論以及現(xiàn)有方法分類探討的基礎(chǔ)上；研究了DIM的適用條件，討論了其計算精度影響因素等，并基于理論分析提出和驗證了適用于空間結(jié)構(gòu)非一致激勵分析方法：改進(jìn)的IDIM方法(improved DIM)，該方法可推廣用于大型結(jié)構(gòu)非一致激勵的動力響應(yīng)計算。

1 DIM和MRE修正方法

1.1 DIM的理論分析

對于在地面上剛性連接的集中質(zhì)量結(jié)構(gòu)分析模型，其地震激勵下增量動力平衡方程為

(1)

(2)

通常，采用集中質(zhì)量進(jìn)行建模，則Mts=0；于是式(2)可以化簡為

(3)

(4)

式(4)即為DIM法求解地震差動結(jié)構(gòu)反應(yīng)的式子。

1.2 MRE修正方法

為了避免改動計算程序降低操作復(fù)雜性，MRE法的分析示意圖如圖1所示。

圖1 MRE建模示意圖Fig.1 Sketch of model adopted in MRE

在采用MRE進(jìn)行建模時，可通過比較設(shè)置無質(zhì)量剛性元前后結(jié)構(gòu)的自振特性是否一致，判斷剛性元的剛度是否足夠。同時，應(yīng)注意附加節(jié)點(diǎn)S處的質(zhì)量為零。MRE修正后，由于DIM中忽略的阻尼力直接通過無質(zhì)量剛性元顯著影響該剛度單元的相對位移和內(nèi)力，對原結(jié)構(gòu)各質(zhì)點(diǎn)的影響甚小，從而巧妙避免了DIM的誤差問題。柳國環(huán)等采用商用軟件，實例分析驗證了MRE的合理性。然而，直觀地可以看出，對剛度比例阻尼系數(shù)β較大的結(jié)構(gòu)，底部剛性元尺度、相對剛性大小可能導(dǎo)致MRE方法并不具有通用性。下面將通過實例進(jìn)行分析并指出具體原因，提出修正思路。

2 算例大跨結(jié)構(gòu)模型及MRE的誤差分析

2.1 算例模型及輸入地震動

為驗證MRE的效果，選取如圖2所示的橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，該橋梁跨徑為10 m+30 m+10 m，墩高6 m，材料彈性模量為2.1×1011N/m2，記為模型1。為驗證MRE對于任意結(jié)構(gòu)的適用性，改變彈性模量為1.0×1010N/m2，橋墩高度為10 m，其余參數(shù)不變，記為模型2。原模型與MRE模型的自振周期特性對比如表1所示(T1約為1.16 s和6.53 s)，可以看出，模型中的無質(zhì)量剛性元未引起體系前幾階變化。

表1 橋梁結(jié)構(gòu)模態(tài)信息Tab.1 The modal information of bridge structure

圖2 橋梁結(jié)構(gòu)有限元模型簡圖(m)Fig.2 Finite element model sketch plot of bridge structure (m)

2.2 MRE法的誤差分析

因DSM可以視為理論上的精確解，因此本文定義計算誤差η為

(5)

式中：f1(t)為DSM計算的結(jié)構(gòu)響應(yīng)；f2(t)為DIM或MRE的計算結(jié)果。

圖3和圖4分別給出了阻尼比為5%時，模型1和模型2采用DIM計算的橋墩1墩頂位移和墩底內(nèi)力的響應(yīng)峰值誤差以及地震動速度增量峰值分布圖。由計算結(jié)果可知，對于模型1，墩頂位移峰值誤差的變化范圍為0.01%～0.42%；墩底剪力變化范圍為113.53%～406.78%。墩底彎矩為15.57%～77.04%；對于模型2，墩頂位移峰值誤差的變化范圍為0.01%～1.29%；墩底剪力誤差的變化范圍為130.79%～1 010.76%；墩底彎矩誤差的變化范圍為11.29%～390.47%?？梢钥闯?，DIM計算的墩底剪力和墩底彎矩相比于墩頂位移有著不可忽略的誤差。

圖3 模型1采用DIM計算反應(yīng)誤差分布Fig.3 Error distribution of model 1 with DIM

圖4 模型2采用DIM計算反應(yīng)誤差分布Fig.4 Error distribution of model 2 with DIM

表2 模型1響應(yīng)峰值誤差與地震動速度增量峰值的相關(guān)性Tab.2 Correlation between the maximum response error of model 1 and the maximum incremental velocity of GMs

表3 模型2響應(yīng)峰值誤差與地震動速度增量峰值的相關(guān)性Tab.3 Correlation between the maximum response error of model 2 and the maximum incremental velocity of GMs

表4給出了2橋梁模型和采用MRE的峰值誤差最大值。對于模型1，MRE法給出的橋墩1墩頂位移、墩底剪力和墩底彎矩的計算誤差最大不超過0.41%，0.76%和1.19%；而對于模型2，MRE法給出的橋墩1墩頂位移、墩底剪力和墩底彎矩的計算誤差最大達(dá)到了1.29%，27.21%和8.95%。上述計算結(jié)果表明：MRE法對相對短周期結(jié)構(gòu)(模型1)具有良好的修正效果；但對于形如模型2的長周期結(jié)構(gòu)，仍存在無法忽略的誤差。需要說明的是，此處使用MRE的剛性元，僅考慮了不導(dǎo)致體系前5階模態(tài)改變，尚未深入考慮模態(tài)截止階數(shù)的影響。因此，MRE方法不具有通用性。

表4 不同模型的計算誤差最大值Tab.4 The maximum analysis error of different models %

2.3 誤差源和模擬方法的進(jìn)一步探討

為尋找MRE方法對于類似模型2所示結(jié)構(gòu)計算的誤差來源，本節(jié)進(jìn)一步分析。對比模型1和模型2發(fā)現(xiàn)，兩模型自振特性不同，進(jìn)而導(dǎo)致剛度比例阻尼系數(shù)β大小不同。對于模型1，阻尼比為5%時，比例阻尼系數(shù)以前兩階模態(tài)進(jìn)行計算，剛度比例阻尼系數(shù)僅為0.007 4，對于模型2，則為0.048 4。此時，剛度很大的無質(zhì)量剛性元的牽連自由度也有較大的剛度比例阻尼反力產(chǎn)生，導(dǎo)致計算誤差。理論上，當(dāng)節(jié)點(diǎn)S1和節(jié)點(diǎn)S處的質(zhì)量為零時，由結(jié)構(gòu)動力學(xué)可知，有式(6)成立

(6)

2.4 MRE法誤差來源的數(shù)值驗證

為驗證上述探討的正確性，圖5給出了模型1和模型2在NGA953地震動(MUL279方向)作用下，結(jié)構(gòu)阻尼比為10%時(為明確誤差來源而設(shè)置)，無質(zhì)量剛性元節(jié)點(diǎn)S和節(jié)點(diǎn)S1處的位移時程、速度時程以及橋墩底部的剪力時程。由圖5可以看出：對于模型1，節(jié)點(diǎn)S1的位移時程和節(jié)點(diǎn)S處的位移時程相吻合；但對于模型2，節(jié)點(diǎn)S1處的位移時程并不等于節(jié)點(diǎn)S處的位移時程。也可以看出，對于模型1和模型2，節(jié)點(diǎn)S1處的速度時程為零，即動力時程只有位移場施加了，程序未考慮牽連速度。由于模型2的S處位移時程存在誤差，導(dǎo)致其速度時程也會存在誤差，最終使得剪力存在誤差，如圖5(c)所示。應(yīng)當(dāng)注意到，S1處的位移時程和速度時程為NGA953地震動的位移和速度時程。

圖5 結(jié)構(gòu)響應(yīng)時程Fig.5 Structural response time histories

3 改進(jìn)DIM方法的提出及數(shù)值驗證

為避免前述所有模擬中可能的誤差源，本節(jié)在MRE法的基礎(chǔ)上，給出僅修正激勵和同時修正模型和激勵兩種修正方法，便于軟件實現(xiàn)和選用。

3.1 同時考慮模型及激勵(I1-DIM)

上述分析指出，MRE方法修正后，DIM計算時，節(jié)點(diǎn)S處的位移和速度時程可能并不等于S1的位移、速度時程，即和原始地震動時程存在差異。本文根據(jù)式(6)，建議對輸入的位移時程進(jìn)行修正，如圖6(a)所示，即

(7)

3.2 僅考慮動力激勵(I2-DIM)

圖6 改進(jìn)的DIM方法Fig.6 Improved DIM methods

3.3 數(shù)值驗證

本節(jié)仍采用前述模型2及地震動。圖7給出了NGA953(MUL279)地震動激勵下，結(jié)構(gòu)阻尼比為20%時，采用二種修正后DIM計算的、無質(zhì)量剛性元節(jié)點(diǎn)S和節(jié)點(diǎn)S1處的位移時程、速度時程以及橋墩底部的剪力時程。

圖7 結(jié)構(gòu)響應(yīng)時程Fig.7 Structural response time histories

由圖7可以看出：當(dāng)采用I1-DIM修正后，盡管約束S1的位移時程不再等于原始地震動位移時程，且速度時程仍恒為零，但橋墩底部S處的位移時程和速度時程均等于原地震動，即，模型非一致激勵輸入是正確的。橋墩底部的剪力時程也和DSM的計算結(jié)果一致，驗證了I1-DIM法的正確性。采用I2-DIM，橋墩底部S處的速度時程不再為零，其位移時程和速度時程也均等于原始地震動時程，且其修正后的墩底剪力也幾乎完全等于DSM結(jié)果。即：采用I2-DIM后的計算結(jié)果也能達(dá)到計算精度的要求。表6給出了在不同阻尼比以及前述所有地震動激勵下，采用I1-DIM和I2-DIM計算的橋墩1墩頂位移、墩底剪力和彎矩的峰值誤差最大值，可以看出，最大誤差不超過2.95%。至此，前述提出的兩種修正方法，對于任意阻尼系數(shù)和任意地震動均具有適用性，且適用于非線性通用計算分析平臺使用。

表6 I1-DIM和I2-DIM的計算誤差最大值Tab.6 Maximum error using I1-DIM and I2-DIM %

I1-DIM方法和I2-DIM方法仍存在較小的計算誤差，根據(jù)本文前述對誤差的探討，此時誤差來源應(yīng)該是信號處理、積分步長不同所致。為了分析這種差異所引入誤差大小，本文計算了在僅輸入加速度和僅輸入速度時程時，模型2在地震動激勵下的峰值誤差最大值，如表7所示。由表7可知：在不同阻尼比下，最大誤差不超過4.21%，僅設(shè)置加速度激勵時誤差最大。同時對比墩底約束處的位移、速度時程可知，原地震動已正確輸入，在此不再贅述。據(jù)此建議，只要能保證橋墩底部的原始地震動時程等于激勵地震動時程，均可達(dá)到較好的計算精度。同時，也可看出，信號處理的差異以及積分步長等的不同所造成的計算誤差一般工程可接受的。

表7 不同時程信號輸入時的誤差最大值Tab.7 Maximum error of different input time history %

圖8給出了TCU068地震動(考慮了2個墩的到時差和加速度幅值比為1∶0.75，2基底處存在不同幅值的殘余位移)激勵下，采用IDIM計算下的模型2橋墩1墩底剪力時程和墩頂位移時程，可以看出，改進(jìn)的DIM也可以考慮殘余位移和內(nèi)力，對于跨斷層橋梁同樣具有適用性。

圖8 結(jié)構(gòu)響應(yīng)時程Fig.8 Structural response time histories

步驟1對有限元模型施加恒荷載、靜風(fēng)壓力或水流擬靜力載荷后，分析非剛體模態(tài)特征是否合理以及恒載效應(yīng)是否可以考慮。若可考慮則進(jìn)行步驟2；若不合理或不能考慮(例如：底部約束釋放引起變形回彈)，執(zhí)行步驟3。理論推導(dǎo)可知，大質(zhì)量法除了如下述大剛度法可能引入舍入誤差外，還有源自式(2)右端第一項誤差，故本文不建議使用。

步驟2明確大剛度法是否會導(dǎo)致計算失效或引入不可接受的舍入誤差(一般施加大剛度取該方向總剛度的106倍)。若結(jié)構(gòu)中無弱連接構(gòu)件(小剛度的支座、支撐等)，也無屈服后可能發(fā)生剛體變位的組件，則可以采用大剛度法計算；否則進(jìn)行步驟3。

步驟3建議采用DIM試算，檢驗程序?qū)顣r程是否考慮了數(shù)值微分(通過對比約束處激勵速度時程是否正確來判斷)。若分析程序未考慮數(shù)值微分，則采用本文提出的IDIM進(jìn)行計算(以I1-DIM分析即可)；若分析程序具備數(shù)值微分功能，尚應(yīng)檢驗是否有不合理的激勵信號分量產(chǎn)生，若有則需要濾波或信號處理后，以I2-DIM形式輸入分析。

步驟4最后驗證原結(jié)構(gòu)底部的激勵時程是否等于原始地震動時程。

4 結(jié) 論

本文針對位移輸入法中存在的問題，為了方便其在有限元軟件中的合理應(yīng)用，在理論分析和對比校核的基礎(chǔ)上得到了如下結(jié)論：

(1) 考慮Rayleigh阻尼，DIM存在不可忽略的計算誤差，誤差大小與輸入地震動的類型和剛度比例阻尼系數(shù)β相關(guān)，且隨著β的增大和脈沖效應(yīng)的增強(qiáng)而增大，在分析中應(yīng)引起注意。

(3) 明確了DIM類型計算誤差——MRE方法對剛度比例阻尼系數(shù)較小的結(jié)構(gòu)具有較好的適用性，但對于剛度比例阻尼系數(shù)較大的結(jié)構(gòu)則不再適用性。本文建議了2種IDIM方法，對大跨度結(jié)構(gòu)非一致激勵反應(yīng)分析均能夠達(dá)到很好的計算精度。

(4) 綜合多種算法的優(yōu)劣，給出了分析空間非一致激勵的結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析流程，可以合理考慮非一致地震動潛在破壞性效應(yīng)，且通用性強(qiáng)，計算準(zhǔn)確度，建議采用。

后續(xù)將進(jìn)一步探索非比例阻尼效應(yīng)和地震動不確定性的影響等研究工作。