朱 瑾，李碧榮

(南寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西 南寧 530100)

1 引言

概率統(tǒng)計(jì)是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，高考對(duì)于高中數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)的考察，題型多種多樣。概率統(tǒng)計(jì)的大多數(shù)概念都比較抽象，讓部分教師在教學(xué)中感到困惑，學(xué)生理解具有一定的難度，以至于學(xué)生解題沒有思路，找不到切入點(diǎn)。概率起源于中世紀(jì)的博弈問題—金幣分配問題，又稱之為“德·美爾”問題。本文主要以高中概率統(tǒng)計(jì)的古典概型中的經(jīng)典問題——“德·美爾”問題為例，通過評(píng)析教學(xué)案例發(fā)現(xiàn)教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)與不足，針對(duì)呈現(xiàn)出的問題，分析出現(xiàn)問題的原因，結(jié)合波利亞解題進(jìn)行比較分析，進(jìn)而提出相應(yīng)的優(yōu)化教學(xué)效果的建議。

2 高中數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)案例評(píng)析

以下案例是作者見習(xí)時(shí)觀摩的一位青年教師的課堂教學(xué)的一個(gè)教學(xué)片段，課題是人教版必修三的古典概型。本文對(duì)該古典概型中的金幣分配問題教學(xué)片段進(jìn)行分析研究。

2.1 案例展示

(1) 創(chuàng)設(shè)情境,故事分享

師：概率的歷史源于中世紀(jì)的博弈問題，后來稱之為“德·美爾”問題：博弈實(shí)力相當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)人甲和乙，每人各押32個(gè)金幣，先贏得對(duì)方三次的人獲得這64個(gè)金幣。博弈進(jìn)行了一段時(shí)間，甲贏了對(duì)方兩次，積2分，乙贏了一次，積1分。如果這時(shí)博弈被迫中斷，那么這兩人應(yīng)該怎么分這64個(gè)金幣呢？[1]

師：是不是按照一人一半去分金幣？

生1：對(duì)于甲來說不公平，甲已經(jīng)贏了兩次，乙才贏了一次。

師：是不是根據(jù)贏的次數(shù)來分呢？

生2：如果甲贏一次，就能贏得全部金幣，而乙還要贏兩次才能贏得全部金幣。這樣分也不公平。

師：那應(yīng)該怎么分才合理公平呢?讓我們一起來探究今天學(xué)習(xí)的主題——古典概型。

(2) 合作探究,探索新知

古典概型(有限的等可能概型)，用公式表示為

師：你能舉出古典概型的例子嗎？

師：你能總結(jié)一下古典概型滿足的條件嗎？

生4：其一，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有限(有限性)；

其二，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等(等可能性)。

師：金幣分配問題是古典概型嗎？思考如何計(jì)算。

(學(xué)生分組，合作探究，教師引導(dǎo))

師：甲在第四局獲勝的概率是多少？

師：甲在第四局落敗，在第五局獲勝的概率又是多少呢？

師：于是金幣“公平”的分配方式是？

師：“公平”一詞在博弈中的含義是什么呢？

師：事實(shí)上，博弈的“公平”性是和概率中的一個(gè)概念“期望”密切有關(guān)，后面再揭曉答案。

2.2 案例評(píng)析

這部分教學(xué)有以下優(yōu)點(diǎn)：整體思路合理，案例最大的亮點(diǎn)是選擇的問題情景——“德·美爾”問題。故事引入吸引了學(xué)生的注意力，進(jìn)而引出金幣分配問題，充分激發(fā)了學(xué)生思考。問題設(shè)計(jì)合理，課題展開自然，教學(xué)過程循循善誘，教學(xué)內(nèi)容娓娓道來，注重師生間的交流合作等。

不足之處有以下幾點(diǎn)：

(1) 對(duì)古典概型思想挖掘不夠，只是輕描淡寫地給出了計(jì)算公式，不利于學(xué)生對(duì)于古典概型概念的理解。面對(duì)高考的壓力，教師往往只重視解題教學(xué)，輕視了系統(tǒng)化知識(shí)的探究性教學(xué)，從而可能導(dǎo)致學(xué)生理解不深刻，很多時(shí)候?qū)W生僅僅記住某個(gè)符號(hào)，卻未能理解符號(hào)所代表的真正含義。案例中教師直接給出古典概型的計(jì)算公式，再總結(jié)滿足公式運(yùn)用的條件。此時(shí)大多數(shù)學(xué)生都無法理解公式的真正含義，進(jìn)而對(duì)于公式的應(yīng)用就更加困難。

(2) 對(duì)于解決金幣問題的難點(diǎn)，教師直接引導(dǎo)提問，沒有從學(xué)生的角度出發(fā)引發(fā)學(xué)生思考，而是把事件發(fā)生的可能情況全部灌輸給學(xué)生。這樣做，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中會(huì)出現(xiàn)主體性不強(qiáng)的情況。此時(shí)學(xué)生的學(xué)習(xí)心態(tài)、學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)習(xí)慣等，還沒有形成一個(gè)良好的體系，在學(xué)習(xí)過程中，過多依賴于教師，學(xué)生的主觀能動(dòng)性就相對(duì)比較薄弱，教師直接把基本事件發(fā)生的可能情況輸出給學(xué)生，學(xué)生沒有思考的空間，無法探索到數(shù)學(xué)的奧秘，久而久之，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣就會(huì)慢慢降低。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生可以容易理解所學(xué)知識(shí)，但是當(dāng)學(xué)生獨(dú)立分析和解題時(shí)，往往無從下手。對(duì)于有些學(xué)習(xí)落后的學(xué)生，可能會(huì)形成惡性循環(huán)，自信心受到打擊，并且沒有養(yǎng)成好的學(xué)習(xí)方法，思維得不到開發(fā)，加上概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)比較抽象，這些學(xué)生難以理解學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，導(dǎo)致數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)往往一知半解，理解不深刻，做題過程中容易出錯(cuò)。

(3) 概率論的解題要旨在于對(duì)未發(fā)生事件進(jìn)行估計(jì)和評(píng)價(jià)，根據(jù)基本事件發(fā)生的概率來解決問題[1]，而教師在教學(xué)過程中沒有充分滲透概率統(tǒng)計(jì)的思想，銜接比較生硬。在概率統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生的邏輯思維能力是關(guān)鍵條件，運(yùn)算能力是基礎(chǔ)條件，然而，在實(shí)際生活中學(xué)生缺乏對(duì)于這方面的敏感性，很難形成關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)的一些直接經(jīng)驗(yàn)。所以，對(duì)于金幣分配可能出現(xiàn)的情況，學(xué)生很難建構(gòu)新學(xué)知識(shí)與已有知識(shí)之間的聯(lián)系，也很難利用綜合、分析、想象、判斷、推理和運(yùn)算進(jìn)行解題。對(duì)于這部分知識(shí)的教學(xué)，教師只是簡(jiǎn)單地求解金幣分配的答案，沒有達(dá)到滲透概率統(tǒng)計(jì)思想的目標(biāo)。

(4) 雖然教學(xué)過程中注重師生間的交流合作，但很多交流和提問都是無效的。對(duì)于事件可能發(fā)生的情況的認(rèn)識(shí)，沒有留給學(xué)生試錯(cuò)的機(jī)會(huì)，而這是學(xué)生突破思維的關(guān)鍵點(diǎn)，教師卻沒有做到真正意義上的引導(dǎo)。有些教師認(rèn)為概率統(tǒng)計(jì)不好教，主要有兩個(gè)方面的原因，一方面，教師自身對(duì)于這部分的專業(yè)知識(shí)雖然掌握，但教學(xué)較少貼合學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)，容易導(dǎo)致教師講不生動(dòng)和學(xué)生不易理解；另一方面，教師沒有根據(jù)學(xué)生的思維和身心發(fā)展情況選用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，導(dǎo)致學(xué)生不能實(shí)質(zhì)性地掌握概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)。案例中，教師就是沒有從學(xué)生的角度出發(fā)，難點(diǎn)部分沒有讓學(xué)生獨(dú)立思考和進(jìn)行小組討論，沒有思維火花的碰撞。教師把正確的思路告知學(xué)生，學(xué)生僅僅順著教師的思路來思考，所以師生之間的提問與交流是無效的，采用的教學(xué)方式也沒有貼合學(xué)生的理解需求。

綜上所述，學(xué)生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)，沒有真正地掌握內(nèi)涵，僅僅記住某個(gè)符號(hào)或概念，并沒有真正地把握問題的實(shí)質(zhì)，做題時(shí)往往考慮不全。 在教學(xué)的過程中，教師要重點(diǎn)講授概念的實(shí)質(zhì)以及概念間的關(guān)系，激發(fā)學(xué)生積極思考，并且在思考過程中允許學(xué)生犯錯(cuò)，根據(jù)具體情況適當(dāng)展開討論，引導(dǎo)學(xué)生一步步逼近正確答案。學(xué)生在做題的過程中，容易受到前攝抑制的影響，學(xué)生面對(duì)簡(jiǎn)單的題目，有時(shí)會(huì)想得比較復(fù)雜；面對(duì)復(fù)雜的題目，其知識(shí)體系又不完善，往往無法運(yùn)用整體知識(shí)進(jìn)行分析。那么如何化解這些問題呢？下面主要利用波利亞解題理論針對(duì)該問題進(jìn)行分析。

3 高中數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)建議

波利亞解題法從問題和已知條件入手，層層深入，找出已知與未知的聯(lián)系，對(duì)于概率統(tǒng)計(jì)概念的理解十分有幫助。對(duì)于大部分概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)都可以進(jìn)行四步法的教學(xué)。我們利用波利亞解題思想針對(duì)以上典型問題進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，提出高中數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)策略，以期為解決上述存在的問題提出改進(jìn)方向，為優(yōu)化高中數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)提供教法參考。

3.1 波利亞解題

在概率統(tǒng)計(jì)解題的過程中，學(xué)生往往獨(dú)立思考難以解決問題。以分金幣問題為例，通過對(duì)該問題的具體分析和解決來滲透概率統(tǒng)計(jì)的思想方法。

運(yùn)用波利亞解題具體分析過程如下。

步驟一 了解問題—關(guān)于題意的思考。

問題1 你需要求解的是什么?(明確求解目標(biāo))

要求解的是分配金幣，實(shí)現(xiàn)“公平”合理。

問題2 已知條件有哪些?

已知條件如表3-1所示。

表3-1 題目已知條件

先積3分者,贏得全部金幣。目前甲得2分，乙得1分。

步驟二 擬定計(jì)劃--關(guān)于已知量和未知量之間聯(lián)系的思考。

問題3 怎樣才能實(shí)現(xiàn)公平呢？

思考1 結(jié)束博弈至多還要2局，結(jié)果有4種等可能情況，如表3-2所示。

(學(xué)生獨(dú)立思考可能出現(xiàn)的情況，再小組討論，最后進(jìn)行匯報(bào)，教師評(píng)價(jià))

表3-2 可能出現(xiàn)情況 局?jǐn)?shù)：2局

表3-3 得分情況

由表可知，可能出現(xiàn)的情況共有四種：

甲甲—甲獲勝。

乙甲—乙先積1分，此時(shí)甲乙各2分，接著第二局，甲獲勝。

甲乙—甲又積1分，共3分，甲獲勝。

乙乙—接下來的2局，都是反面，乙積3分，乙獲勝。

思考2 如果在原來的基礎(chǔ)上再擲一次，會(huì)出現(xiàn)什么情況呢？

有兩種情況：甲獲勝或甲和乙平局。再結(jié)合已知信息進(jìn)行分析。

步驟三 實(shí)行計(jì)劃—注意運(yùn)算過程中每一步的正確性。

根據(jù)以上的分析，寫出具體的解題步驟。

解題方法一

甲甲：甲獲勝。

乙甲：甲獲勝。

甲乙：甲獲勝。

乙乙：乙獲勝。

解題方法二

(1) 若出現(xiàn)正面，甲積 3 分，獲全部金幣；

(2) 若出現(xiàn)反面，甲、乙各積 2 分，平分金幣。

兩種情況可能性相同，平均一下兩種情況：

步驟四 回顧與反思。

(1) 正面檢驗(yàn)每一步，分析合理，具體解題邏輯正確，演算準(zhǔn)確，再思考有沒有特殊情況，如果有再進(jìn)行補(bǔ)充說明。

(2) 回顧反思解題的過程，首先要仔細(xì)讀題，準(zhǔn)確理解題意，明確問題后，了解有用的信息，及時(shí)提取有效信息，將有關(guān)信息資源作合乎邏輯的整合。

(3) 從解題的整個(gè)過程和結(jié)果上看，這是綜合分析法的一次有效運(yùn)用。

(4) 解決問題時(shí)，先考慮一般解法，其次是功能性問題的解決，最后是特殊性問題的解決。

(5) 在心理機(jī)制上呈現(xiàn)出激活擴(kuò)散的基本過程，激活記憶網(wǎng)絡(luò)中的知識(shí)并向外擴(kuò)散。

3.2 比較分析

第一種教學(xué)，教師精心創(chuàng)設(shè)情境，以提高課堂教學(xué)的有效性策略，從數(shù)學(xué)史引出金幣分配問題，把問題情境與學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣緊密聯(lián)系起來，有利于學(xué)生理解問題情境中的數(shù)學(xué)問題。問題的開啟滲透了數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化，但是問題設(shè)計(jì)和交流對(duì)話顯得單薄，學(xué)生參與面和參與度不夠廣、高，無法激發(fā)學(xué)生思考的火花，這是比較遺憾的。第二種教學(xué)，波利亞解題的過程，既依據(jù)了課本，又拓展了課本，注重使學(xué)生“知其然”，更“知其所以然”。波利亞解題注重引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和思考問題，反對(duì)填鴨式地塞給學(xué)生，采用多種有利于學(xué)生發(fā)展的教學(xué)方式，如自主學(xué)習(xí)、探究性學(xué)習(xí)、小組合作。波利亞解題強(qiáng)調(diào)教師應(yīng)該讓“學(xué)生在現(xiàn)有的條件下親自去發(fā)現(xiàn)盡可能多的東西”，思想應(yīng)在學(xué)生的頭腦中產(chǎn)生，這樣有利于學(xué)生親自去發(fā)現(xiàn)，今后一旦需要，學(xué)生便能夠再次利用它。

兩種教學(xué)都能用教材教，而不是教教材，尤其第二種教學(xué)能創(chuàng)造性地使用教材，相同的內(nèi)容,不同的課堂結(jié)構(gòu)，形成對(duì)比。以上針對(duì)第一種教學(xué)，分析上課中展現(xiàn)出的亮點(diǎn)與不足，并對(duì)出現(xiàn)的問題針對(duì)教師和學(xué)生進(jìn)行具體分析；而后通過波利亞解題展示了第二種教學(xué)，波利亞解題的理念在一定程度上可以彌補(bǔ)第一種教學(xué)的不足，強(qiáng)調(diào)引導(dǎo)學(xué)生參與觀察、分析、思考、猜想、判斷、歸納的過程，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和探索知識(shí)，引起學(xué)生思維火花的碰撞，經(jīng)歷初步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)進(jìn)行觀察、分析和判斷的體驗(yàn)過程。

根據(jù)以上的案例，結(jié)合教學(xué)中出現(xiàn)的問題和波利亞解題理念，對(duì)高中生學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)提出幾點(diǎn)優(yōu)化教學(xué)效果的建議。

3.3 教學(xué)建議

3.3.1 循序漸進(jìn)地教學(xué)

以學(xué)生為中心，循序漸進(jìn)地教學(xué)才是上好課的核心因素，只有把過程做好了，才能取得最終的成功。

(1) 學(xué)生對(duì)于概率統(tǒng)計(jì)的基本概念，主要借助生活實(shí)例(比如：生活中常見的拋硬幣游戲、天氣預(yù)報(bào)等)來幫助理解。

(2) 教學(xué)中注意要由易到難、由淺入深、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由具體到抽象，做到步步深入[2]。即教師要先從簡(jiǎn)單的概率統(tǒng)計(jì)題目講起，設(shè)置問題的梯度，然后不斷加大難度?？梢赃x擇具有開放性的題，每位學(xué)生都能發(fā)表自己的看法，切記教師直接引導(dǎo)，扼殺學(xué)生思考的空間，教師要針對(duì)具體問題具體分析，針對(duì)不同的學(xué)生用不同的方法，這樣有助于因材施教。

3.3.2邊理解，邊記憶

傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)往往不太重視概念定理的推導(dǎo)和證明。由于高考的壓力，大多都專注于解題訓(xùn)練，而很多數(shù)學(xué)暫時(shí)落后的學(xué)生，他們往往只記住某個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)或者公式，并不能真正理解它們所代表的真正含義。所以數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該重結(jié)果，但更重過程，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下積極探索，邊理解概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，邊進(jìn)行識(shí)記，有利于學(xué)生更加深入地掌握知識(shí)。

3.3.3 優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式

(1) 課前預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)

(i) 提前預(yù)習(xí)所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，教師幫助學(xué)生把握預(yù)習(xí)的時(shí)間和程度。

(ii) 在預(yù)習(xí)過程中引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，保留自己最真實(shí)的想法，遇到不理解的問題著重標(biāo)出，可以積極地和同學(xué)探討，也可以上課認(rèn)真聽講，和老師進(jìn)行探討。

(iii) 預(yù)習(xí)要有計(jì)劃地進(jìn)行，有重點(diǎn)地進(jìn)行，注重重點(diǎn)和難點(diǎn)的思考，教師要允許學(xué)生犯錯(cuò)，允許學(xué)生預(yù)習(xí)時(shí)有不同的想法和觀點(diǎn)。

(2) 課上學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)

上課是教學(xué)的中心環(huán)節(jié)，是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的主要途徑，因此課上學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)極其重要[3]。

(i) 注重以一定的方法、技巧引入新課。良好的教學(xué)引入可以吸引學(xué)生的注意力，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和主觀能動(dòng)性，保證教學(xué)的效果。

(ii) 注重知識(shí)講解的過程，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，采取適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)節(jié)奏，以便于中學(xué)生可以跟上教學(xué)節(jié)奏，實(shí)現(xiàn)每一位學(xué)生在數(shù)學(xué)上都能得到各自的發(fā)展；

(iii) 在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)與他人交流探討，可以分組進(jìn)行討論。對(duì)于重難點(diǎn)的學(xué)習(xí)，這個(gè)方法尤為適用，學(xué)生之間合作討論，可以相互學(xué)習(xí)，相互促進(jìn)，共同進(jìn)步。

(3) 課后復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)

經(jīng)過課上的學(xué)習(xí)，往往只能形成短時(shí)記憶，要想真正地理解和識(shí)記知識(shí)，必須及時(shí)合理地復(fù)習(xí)。經(jīng)常反復(fù)鞏固所學(xué)的知識(shí)，才能將其內(nèi)化成學(xué)生自己的知識(shí)，為以后綜合運(yùn)用知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。對(duì)于簡(jiǎn)單的知識(shí)，在理解的基礎(chǔ)上適當(dāng)加以運(yùn)用，對(duì)于復(fù)雜難懂的知識(shí)，可以利用比較法進(jìn)行區(qū)分和識(shí)記。

綜上所述，在整個(gè)概率統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的過程中，注意學(xué)生思維的訓(xùn)練，充分運(yùn)用教學(xué)藝術(shù)，教會(huì)他們學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，自覺地完成學(xué)習(xí)能力的鍛煉，并合理設(shè)置學(xué)習(xí)任務(wù)。概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)比較抽象，而學(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)，學(xué)生正處于思維發(fā)展的過渡階段，這就需要從中學(xué)生學(xué)習(xí)思維和身心發(fā)展的規(guī)律出發(fā)，采用科學(xué)的教學(xué)方法來進(jìn)行教學(xué)，即教學(xué)要走在學(xué)生發(fā)展的前面，并且要落在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，這是學(xué)生通過努力可以達(dá)到的效果。此外，教學(xué)的過程中，教師要注意培養(yǎng)學(xué)生建構(gòu)知識(shí)的能力。根據(jù)建構(gòu)主義理論，教師的教學(xué)不能忽視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，要讓學(xué)生以學(xué)生在實(shí)際生活中所積累的直接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的學(xué)習(xí)，這樣有助于學(xué)生更好地理解，對(duì)于練習(xí)和應(yīng)用也更有幫助。根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況適當(dāng)?shù)乩貌ɡ麃喗忸}表，通過學(xué)生和教師共同的改進(jìn)和努力，解決概率統(tǒng)計(jì)教與學(xué)存在的問題，使概率統(tǒng)計(jì)的教與學(xué)能夠如魚得水。