于智澤，于慎波，夏鵬澎，翟鳳晨，竇汝桐

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110870)

0 引言

永磁同步電主軸具有響應(yīng)速度快、加工精度高、結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點(diǎn)，廣泛的應(yīng)用在高速精密數(shù)控機(jī)床中[1]，是我國(guó)制造業(yè)必不可少的核心裝備。齒槽轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生振動(dòng)和噪聲，進(jìn)而影響機(jī)床加工精度和運(yùn)行平穩(wěn)性。齒槽轉(zhuǎn)矩是高精度電主軸最需要考慮的問(wèn)題之一[2]。

目前，國(guó)內(nèi)外降低齒槽轉(zhuǎn)矩的方法主要從定轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)、磁極結(jié)構(gòu)和控制方式3個(gè)方面進(jìn)行研究。降低齒槽轉(zhuǎn)矩的方法有：轉(zhuǎn)子分段斜極[3]、定子開(kāi)輔助槽[4]、定子齒根削角[5]、永磁體分段[6]、永磁體開(kāi)槽[7]及永磁體削角[8]等。

如今，越來(lái)越多學(xué)者將電機(jī)優(yōu)化目標(biāo)與各種群智能優(yōu)化算法相結(jié)合，優(yōu)化電機(jī)最優(yōu)性能。舒鑫東等[9]利用遺傳算法對(duì)一臺(tái)永磁電主軸的永磁體的厚度等參數(shù)進(jìn)行綜合優(yōu)化，結(jié)果顯著削弱了齒槽轉(zhuǎn)矩。

本文利用等效面電流法對(duì)含有定子槽口且永磁體削角的電主軸空載氣隙磁場(chǎng)進(jìn)行建模，利用麻雀搜索法優(yōu)化出最佳削角寬度和削角弧度。通過(guò)與有限元仿真對(duì)照分析，驗(yàn)證了含有定子槽口且永磁體削角的電主軸空載氣隙磁場(chǎng)有效性，同時(shí)也顯著降低了永磁同步電主軸的齒槽轉(zhuǎn)矩。

1 齒槽轉(zhuǎn)矩解析分析

根據(jù)文獻(xiàn)[10]可知，齒槽轉(zhuǎn)矩表達(dá)式為：

(1)

式中，W為磁場(chǎng)能量；α為定轉(zhuǎn)子位置角。

磁場(chǎng)能量可近似為氣隙和永磁體中的能量，表示為：

(2)

(3)

式中，La為電樞鐵心長(zhǎng)度；R1為電樞外半徑；R2為定子內(nèi)徑。

從式(3)可以看出齒槽轉(zhuǎn)矩與Brn、Gn、電樞槽數(shù)等參數(shù)有關(guān)。可以通過(guò)改變磁極結(jié)構(gòu)去改變Brn的幅值，實(shí)現(xiàn)減小齒槽轉(zhuǎn)矩，抑制轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)。

2 空載徑向氣隙磁場(chǎng)建模

2.1 平行充磁削角后永磁體的解析計(jì)算

根據(jù)文獻(xiàn)[11]采用等效面電流法，推導(dǎo)出了永磁體在平行充磁下氣隙磁場(chǎng)的解析計(jì)算公式，本文在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出三種削角后永磁體平行充磁產(chǎn)生的氣隙磁場(chǎng)的解析式。

三種削角后永磁體的電主軸結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中，2η1和2ηk分別為永磁體削角前后的張角；p為永磁體極對(duì)數(shù)；RS為定子內(nèi)半徑；Rr為轉(zhuǎn)子外半徑；hmk為永磁體的厚度；hm1為永磁體削角后厚度。

圖1 三種削角后瓦形永磁體一個(gè)極的尺寸

當(dāng)平行充磁時(shí)，同圓心不同半徑永磁體等效面電流如圖2所示，AB和CD上面電流密度J1=Hcbcosη1，BC和AD上面電流密度分別為J2=Hcbsin2η1和J3=-Hcbsin2η1(Hcb為永磁體的矯頑力)。

圖2 平行充磁時(shí)的等效面電流

平行充磁時(shí)，定子內(nèi)表面由多極永磁體的AB、CD、AD、BC各段所產(chǎn)生的徑向氣隙磁密為：

(4)

式中，

(5)

式中，L和式(4)中相同。

(6)

式中，L和式(4)中相同。

所以定子內(nèi)表面由多極平行充磁永磁體所產(chǎn)生的徑向氣隙磁密為：

(7)

為了削角后永磁體平行充磁產(chǎn)生的氣隙磁場(chǎng)的解析計(jì)算,需要將永磁體兩端部分進(jìn)行模型的等效處理,將永磁體沿著削角方向均勻劃分為k段磁極，當(dāng)k達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，認(rèn)為每段磁極的厚度是均勻的，如圖1所示。理論上k的取值越大，計(jì)算結(jié)果誤差越小，但會(huì)增加計(jì)算量。以下為三種削角后定子內(nèi)表面由多極平行充磁永磁體所產(chǎn)生徑向氣隙磁密。

三角形削角后多極永磁體的磁通密度為：

(8)

圓弧削角把原式中hmt換如下公式：

hmt=hmk+r·sinα

(9)

式中，r為削角圓半徑；α為極坐標(biāo)下角度，其中α∈[3π/2,2π]。

圓弧削角后多極永磁體的磁通密度為：

(10)

矩形削角相當(dāng)于一塊永磁體分成三段所產(chǎn)生的氣隙磁密疊加。

2.2 定子開(kāi)槽的氣隙磁場(chǎng)計(jì)算

當(dāng)定子開(kāi)槽后，氣隙變?yōu)椴灰?guī)則形狀，導(dǎo)致氣隙磁導(dǎo)率和氣隙磁密都會(huì)受其影響。相對(duì)氣隙磁導(dǎo)率是指開(kāi)槽前后的氣隙磁密比值[12]。

把得到開(kāi)槽后的氣隙磁導(dǎo)率通過(guò)傅里葉分解得到：

(11)

式中，QS為電主軸槽數(shù)；λn為傅里葉系數(shù)。

由此得出開(kāi)槽后氣隙徑向磁密為：

(12)

2.3 分析與驗(yàn)證

本文研究對(duì)象為4極18槽的永磁同步電主軸，利用Maxwell軟件繪制永磁電主軸的二維模型并計(jì)算出氣隙磁密，同時(shí)通過(guò)等效面電流法得到圓弧削角后的氣隙磁密，永磁同步電主軸參數(shù)如表1所示。圖3為有限元仿真計(jì)算結(jié)果的二維磁力線分布云圖。

表1 永磁同步電主軸的初始參數(shù)

圖3 磁力線分布云圖

圖4為圓弧削角后解析計(jì)算的氣隙磁密與有限元仿真結(jié)果對(duì)比，兩種波形基本吻合，解析計(jì)算氣隙磁密有效值為0.717 6 T，有限元仿真的氣隙磁密有效值為0.706 7 T，兩種計(jì)算誤差在允許范圍內(nèi)，進(jìn)一步說(shuō)明基于等效面電流法削角永磁體氣隙解析計(jì)算方法的實(shí)用性。同理三角削角和矩形削角一樣符合。

圖4 削角后氣隙磁密對(duì)比圖

3 麻雀搜索算法

麻雀搜索算法(SSA)具有一搜索精度高、收斂速度快且穩(wěn)定性好，不易陷入局部最優(yōu)值等優(yōu)點(diǎn)，此方法均優(yōu)于現(xiàn)有算法，是一種新型群智能優(yōu)化算法[13]。

3.1 優(yōu)化參數(shù)設(shè)計(jì)

利用麻雀搜索法對(duì)一臺(tái)4極18槽三角形削角永磁體的永磁同步主軸進(jìn)行優(yōu)化分析。通過(guò)抑制氣隙磁場(chǎng)諧波畸變率，在合理范圍內(nèi)去搜索永磁體的最佳削角寬度和弧度，達(dá)到降低齒槽轉(zhuǎn)矩的目的。削角后寬度hm1和弧度ηk如圖1所示。

目標(biāo)函數(shù)和約束條件為：

(13)

通過(guò)麻雀搜索算法(SSA)、灰狼優(yōu)化算法(GWO)和粒子群算法(PSO)分別優(yōu)化，設(shè)置最大迭代次數(shù)為100，圓弧削角3種方法的尋優(yōu)迭代曲線如圖5所示。通過(guò)比較可知，SSA算法比目前成熟的PSO和GWO算法能快速、準(zhǔn)確找到最優(yōu)的結(jié)果。優(yōu)化出最優(yōu)參數(shù)為hm1為2.25，ηk為36°。同樣方法得到圓弧削角最優(yōu)參數(shù)r為2.24，矩形削角最優(yōu)參數(shù)hm1為1.5，ηk為37°。

圖5 三種尋優(yōu)曲線對(duì)比

3.3 仿真優(yōu)化結(jié)果驗(yàn)證

將永磁體優(yōu)化前后的永磁同步電主軸用有限元軟件Ansoft進(jìn)行仿真計(jì)算，結(jié)果如下：

(1)空載齒槽轉(zhuǎn)矩分析。電主軸削角優(yōu)化前后空載時(shí)齒槽轉(zhuǎn)矩的峰值由圖6可知，三角削角峰值從156.6 mN·m降低到60.41 mN·m，圓弧削角降到52.11 mN·m，矩形削角降到59.69 mN·m。優(yōu)化前后諧波對(duì)比圖如圖7所示。三角形和圓弧形基波幅值變化不大，諧波幅值明顯降低，尤其5次諧波幾乎消掉。矩形削角雖然諧波幅值明顯下降，但是基波幅值下降也多。說(shuō)明削角永磁體可以有效地降低齒槽轉(zhuǎn)矩。

圖6 優(yōu)化前后空載齒槽轉(zhuǎn)矩對(duì)比

圖7 優(yōu)化前后氣隙磁密諧波分析

(2)負(fù)載轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)分析。電主軸在負(fù)載情況下的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，可以通過(guò)改變永磁體削角參數(shù)進(jìn)一步減小。轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)計(jì)算公式如下：

(14)

永磁同步電主軸優(yōu)化前后轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)對(duì)比如表2所示，在平均轉(zhuǎn)矩變化很小的條件下，三角削角的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)降低了46%，圓弧削角的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)降低44%。矩形削角的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)雖然降了48%，但是平均轉(zhuǎn)矩下降的多。

表2 永磁同步電主軸轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)

綜合上述分析，三種削角都是最優(yōu)結(jié)果情況下，圓弧削角效果最好。削角優(yōu)化后可以更有效地降低轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)。

4 結(jié)論

本文對(duì)削角的永磁同步電主軸空載氣隙磁場(chǎng)建模，利用麻雀搜索算法來(lái)優(yōu)化永磁同步電主軸。研究結(jié)果表明：

(1)通過(guò)基于等效面電流法對(duì)三種永磁體削角的永磁同步電主軸空載氣隙磁場(chǎng)計(jì)算分析。驗(yàn)證了該方法的實(shí)用性。利用麻雀優(yōu)化算法對(duì)氣隙磁場(chǎng)的諧波畸變率進(jìn)行了優(yōu)化，確定了齒槽轉(zhuǎn)矩最低的永磁體結(jié)構(gòu)參數(shù)。

(2)永磁同步電主軸三種永磁體結(jié)構(gòu)優(yōu)化后，綜合考慮，圓弧削角結(jié)果最優(yōu)。圓弧削角永磁體在平均轉(zhuǎn)矩基本未變情況下，其齒槽轉(zhuǎn)矩的峰值從156.6 mN·m降低到52.11 mN·m，轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)降低了44%。有效地抑制齒槽轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，對(duì)提高機(jī)床的壽命和加工精度有重要意義。