葉小華, 莊清渠

(1.黎明職業(yè)大學(xué)通識(shí)教育學(xué)院,福建 泉州 362000;2.華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建 泉州 362021)

0 引 言

譜方法因具有高精度的優(yōu)點(diǎn),已成為求解微分方程數(shù)值解的重要方法之一[1,2].譜方法在無(wú)界區(qū)域問(wèn)題上的應(yīng)用也越來(lái)越廣泛,如對(duì)區(qū)域進(jìn)行截?cái)?引入適當(dāng)?shù)娜斯み吔鐥l件,再用譜方法進(jìn)行數(shù)值求解;通過(guò)區(qū)域映射把無(wú)界區(qū)域問(wèn)題轉(zhuǎn)換為有界區(qū)域問(wèn)題,用有界區(qū)域上的譜方法進(jìn)行求解;直接采用定義在無(wú)界區(qū)域上的正交多項(xiàng)式(函數(shù))進(jìn)行求解,關(guān)于這方面的詳細(xì)介紹可見(jiàn)綜述性文獻(xiàn)[3,4].利用譜方法求解無(wú)界區(qū)域上的四階方程也有一些研究工作,文獻(xiàn)[6]研究了半直線上四階方程的Legendre-Laguerre耦合譜逼近;文獻(xiàn)[5]研究了一維半無(wú)界區(qū)域四階方程的Legendre-Laguerre耦合譜元計(jì)算;文獻(xiàn)[7]則研究了半無(wú)界條狀區(qū)域四階方程的Laguerre-Legendre混合譜逼近;文獻(xiàn)[8,9]分別研究了全直線區(qū)域上的對(duì)角化Legendre有理譜方法以及對(duì)角化Chebyshev有理譜方法.文獻(xiàn)[10]研究了全直線上四階方程的Laguerre-Laguerre復(fù)合譜逼近,數(shù)值結(jié)果說(shuō)明方法對(duì)求解具有衰減緩慢解析解的問(wèn)題具有優(yōu)越性.將進(jìn)一步研究發(fā)展Laguerre-Legendre-Laguerre(Lag-Leg-Lag)復(fù)合譜方法求解全直線上的四階方程,通過(guò)數(shù)值算例說(shuō)明方法的譜精度.

1 問(wèn)題及變分形式

記I=(-∞,∞),考慮如下的四階問(wèn)題,如式(1):

接下來(lái)將對(duì)問(wèn)題(1)用Lag-Leg-Lag復(fù)合譜方法進(jìn)行求解.為此,首先對(duì)區(qū)域進(jìn)行剖分.首先 將（-∞,∞）剖 分 成（-∞,a1］,［a1,a2］,［a2,∞）三部分,然后在三個(gè)區(qū)間上分別采用Laguerre譜方法,Legendre譜方法,以及Laguerre譜方法進(jìn)行逼近.為了敘述方便,不妨設(shè)a1=-1,a2=1,并記I0:=（-∞,-1］,I1:=［-1,1］,I2:=［1,∞）,u Ik:=u Ik,k=0,1,2.此外,記N=（M0,M1,M2）,并令P M1(I1)表示I1上次數(shù)不超過(guò)M1的全體多項(xiàng)式組成的空間.另外記

此時(shí),問(wèn)題(1)的Lag-Leg-Lag復(fù)合逼近形式為:找u N∈V N,如式(2):

2 計(jì)算實(shí)施

詳細(xì)介紹如何對(duì)逼近問(wèn)題(2)進(jìn)行離散計(jì)算.

若記

則由Laguerre函數(shù)以及Legendre多項(xiàng)式的正交性[2],容易驗(yàn)證

滿足這些條件的一組函數(shù)可由如下形式給出

因此與問(wèn)題(2)相關(guān)的線性系統(tǒng)的解可通過(guò)如下過(guò)程求得:

1) 構(gòu)造關(guān)于雙線性形式d（· ,·）的正交補(bǔ).設(shè)是如下問(wèn)題的解,如式(6):

3)求解區(qū)域交面處的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值u N（-1）,u'N（-1）,u N（ 1）,u'N（ 1）,如式(8):

4) 確定問(wèn)題(2)的解:由求(7)與(8)知,對(duì)任意的v N∈V N,

因此(2)的解為

從以上的計(jì)算過(guò)程可知,把問(wèn)題(2)的求解分解成一些相對(duì)獨(dú)立的子問(wèn)題的求解:單元內(nèi)部子問(wèn)題(6)和(7)以及單元交面信息子問(wèn)題(8),因而更容易進(jìn)行求解。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

算例1在問(wèn)題(1)中固定λ1=λ2=1,并取其精確解為解析函數(shù)u(x)=1/（1+x2）h。

將 區(qū) 域 剖 分 為（-∞,-4］,［-4,4］,［4,∞）三部分,然后選取M0=M2=M=324,以使區(qū)間［-4,4］上的計(jì)算誤差不受另兩個(gè)區(qū)間計(jì)算誤差的影響。圖1給出的是半log尺度下,最大誤差隨M1的變化情況。由圖可見(jiàn),誤差隨M1呈指數(shù)e-c M1收斂。其次選取M1=128以使區(qū)間［-4,4］上的計(jì)算誤差不影響另兩個(gè)區(qū)間的計(jì)算誤差。圖2給出的是半log尺度下,最大誤差隨M的變化情況。由圖可見(jiàn),誤差隨M呈指數(shù)e-c M收斂。

圖1 誤差隨M 1的變化情況

圖2 誤差隨M的變化情況

下面對(duì)Lag-Leg-Lag復(fù)合方法和Laguerre函數(shù)法進(jìn)行計(jì)算得到的誤差進(jìn)行比較。在復(fù)合方法中,取M0=M2=128,M1=128,在Laguerre函數(shù)法中,取M=512.圖3給出的是h=1,2時(shí)兩種方法計(jì)算得到的點(diǎn)點(diǎn)誤差.。由圖可見(jiàn),復(fù)合方法用更少的點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算,還能得到比Laguerre函數(shù)法進(jìn)行計(jì)算的效果更好,尤其是h=1時(shí),復(fù)合譜方法在區(qū)間[-4,4]的逼近效果要比Hermite譜方法的逼近效果好得多。

圖3 兩種方法計(jì)算得到的點(diǎn)點(diǎn)誤差;左:h=1;右:h=2

4 結(jié) 語(yǔ)

提出了用Lag-Leg-Lag復(fù)合譜方法來(lái)處理全直線上的四階方程,該方法結(jié)合了Legendre譜方法計(jì)算有界區(qū)域的高精度優(yōu)點(diǎn)及Laguerre函數(shù)法解決無(wú)界區(qū)域的優(yōu)點(diǎn),避免人工邊界的設(shè)置,并且可以靈活設(shè)置a1以及a2的值,是求解全直線上四階方程數(shù)值解的一個(gè)選擇。