嚴(yán)國平，于道航，鐘 飛

（湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖北 武漢 430068）

1 引言

齒輪作為標(biāo)準(zhǔn)加工件，已實現(xiàn)了標(biāo)準(zhǔn)加工。目前，齒形的仿真研究主要基于標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒形進(jìn)行。如文獻(xiàn)［1］對直齒輪動態(tài)嚙合過程中的頻域時域響應(yīng)特性進(jìn)行了仿真分析，文獻(xiàn)［2］通過有限元分析了塑料齒輪動態(tài)嚙合接觸分析，文獻(xiàn)［3］通過有限元仿真探究標(biāo)準(zhǔn)直齒輪嚙合的疲勞強度。但在實際使用過程中，齒輪嚙合存在單齒嚙合與雙齒嚙合交替進(jìn)行的狀態(tài)，在此過程中，輪齒嚙合剛度會發(fā)生改變?？紤]到加工制造誤差，潤滑情況以及溫度等因素影響，齒廓會產(chǎn)生不同程度的變形。為了有效降低齒輪嚙合時的沖擊和噪聲，并提高齒輪的負(fù)載能力與運轉(zhuǎn)的穩(wěn)定性，對輪齒進(jìn)行修形是一個常用的手段。為此，不少研究者也進(jìn)行了大量的研究。文獻(xiàn)［4］在考慮接觸應(yīng)力，軸承等因素的影響下，提出了一種直齒輪復(fù)合修形設(shè)計方法，文獻(xiàn)［5-6］依據(jù)齒輪嚙合的振動模型對目標(biāo)齒輪進(jìn)行修形優(yōu)化，文獻(xiàn)［6］通過實驗認(rèn)證齒輪修形對于改善齒輪疲勞壽命的有效性，文獻(xiàn)［8］通過優(yōu)化齒廓修形研究齒輪副的振動與噪聲，文獻(xiàn)［11-12］依據(jù)不同優(yōu)化目標(biāo)得出最優(yōu)修形曲線，并對修形曲線進(jìn)行了分析，文獻(xiàn)［13］通過建立非線性動力學(xué)方程研究了修行對齒輪振動的影響。以上這些研究，主要集中于標(biāo)準(zhǔn)齒輪的仿真分析及輪齒修形的理論研究，這里基于修形前與修形后的齒輪模型，建立了齒輪動態(tài)嚙合有限元分析模型，用以探究輪齒修形對于齒輪動態(tài)嚙合特性的影響。

2 齒輪修形幾何模型建立

漸開線齒輪輪廓的幾何模型可依據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)與械設(shè)計手冊獲得。在直角坐標(biāo)系下，標(biāo)準(zhǔn)齒輪幾何模型的漸開線表達(dá)式可表示為：

式中：Db—基圓直徑；

θ—漸開線齒廓上任意一點的壓力角。

θ應(yīng)在某一范圍內(nèi)進(jìn)行計算，其最大值θmax表達(dá)式為：

式中：ra，rb—齒頂圓半徑和基圓半徑。

現(xiàn)有齒廓修形一般集中于修形量，修形區(qū)長度和修形曲線等主要參數(shù)進(jìn)行?？紤]齒輪副工作過程中因載荷與工作溫度產(chǎn)生變形，以及生產(chǎn)過程中不可避免的制造誤差等因素，這里采用估算法計算選取修形量進(jìn)行齒廓的修形其計算公式為［5］：

式中：Δmax—輪齒最大修形量；

δ—齒面變形量；

δm—加工誤差；

Ft—輪齒所受周向力；

B—齒寬；

Cr—嚙合剛度。

良好的修型曲線應(yīng)滿足的標(biāo)準(zhǔn)是：在齒輪處于雙齒及單齒嚙合交替時的負(fù)載變化應(yīng)盡量平穩(wěn)；適應(yīng)載荷變動的能力強；較好的工藝性。

在直角坐標(biāo)系下修形后齒廓漸開線方程表達(dá)式如下：

式中：L—修形長度，主要分為長修形與短修形兩種。

3 修形齒輪接觸應(yīng)力的動態(tài)仿真

這里采用顯式動力學(xué)進(jìn)行修形輪齒的動態(tài)仿真，主要研究在標(biāo)準(zhǔn)齒輪，單齒輪修形以及雙齒輪修形三種修形工況下的接觸應(yīng)力效果。并探究齒輪修形參數(shù)中的輪齒最大修形量Δmax對于修形后的接觸應(yīng)力影響。

模型尺寸的精確性以及網(wǎng)格質(zhì)量決定了有限元仿真的精確性。因此考慮導(dǎo)入模型在仿真軟件中的兼容性問題以及網(wǎng)格的便捷劃分，基于APDL 參數(shù)化設(shè)計語言進(jìn)行修形齒輪的精確建模，通過仿真軟件實現(xiàn)的參數(shù)化建模，不僅可以保證計算精度，同時為這里齒輪修形時模型的重塑提供了較為方便的手段。

仿真主要包括三大步驟：建模，前處理以及求解。其具體仿真過程，如圖1所示。

圖1 仿真流程圖Fig.1 Simulation Flow Chart

修形后輪廓漸開線按照式（6）、式（7）繪出，其中關(guān)鍵參數(shù)在僅考慮齒面形變量δ的情況下，根據(jù)機(jī)械設(shè)計手冊得到Δmax=0.02，并參考文獻(xiàn)［5］選取修形長度L=0.8。由于修形區(qū)域較小，只對修形區(qū)域附近繪制輪廓線。如圖2所示。

圖2 修形前后齒廓曲線Fig.2 Profile Curve Before and After Modification

齒輪材料設(shè)置為鋼材料，按相關(guān)特性進(jìn)行定義。齒輪內(nèi)圈表面應(yīng)定義為SHELL單元，并通過剛體材料將齒輪內(nèi)圈表面定義為剛體。輪體部分定義為SOLID單元。為提高輪齒部分的計算精度，對輪齒動態(tài)接觸部分進(jìn)行局部網(wǎng)格劃分。齒輪定義為四個Part，齒輪內(nèi)圈為一個Part，輪齒外部構(gòu)成另一個Part。選用ASTS面面接觸算法，設(shè)定動摩擦系數(shù)及靜摩擦系數(shù)，選取接觸Part為Part2，目標(biāo)Part為Part4。其有限元模型，如圖3所示。

圖3 齒輪有限元模型Fig.3 Gear Finite Element Model

4 實例及結(jié)果分析

齒輪副參數(shù)，如表1所示。按圖1仿真流程圖進(jìn)行參數(shù)化建模，定義接觸與Part，對修形前與修形后的輪齒進(jìn)行顯式動力學(xué)分析，并將其接觸應(yīng)力結(jié)果進(jìn)行了對比。本節(jié)將具體討論單齒輪修形以及雙齒輪均修形工況下的動態(tài)接觸應(yīng)力情況。

表1 齒輪參數(shù)Tab.1 Gear Parameters

為了提高計算效率，只對齒輪動態(tài)嚙合前0.05s內(nèi)的狀態(tài)進(jìn)行仿真。由于修形區(qū)域較小，主要集中在輪齒齒頂兩側(cè)區(qū)域，且齒頂在剛剛進(jìn)入嚙合時十分容易產(chǎn)生沖擊振動，因此選取主動輪輪齒頂點單側(cè)單元為對象，利用Hypermeh取0.0005s的接觸應(yīng)力云圖，如圖4所示。

圖4 分析單元Fig.4 Analysis Element

為了保證仿真數(shù)值的可靠性，可以根據(jù)Hertz接觸理論公式進(jìn)行齒輪接觸面最大應(yīng)力的計算［8］并將計算結(jié)果與仿真結(jié)果進(jìn)行對比：

式中：zE—彈性模量系數(shù)；

K—載荷分配系數(shù)；

Fn—法向力；

b—齒厚；

ρΣ—綜合曲率半徑。

根據(jù)仿真得到的齒面接觸最大應(yīng)力為2500MPa，而根據(jù)Hertz理論公式計算可得齒面最大接觸應(yīng)力為2274MPa，理論與仿真誤差9.04%，理論值與模擬值基本一致，可驗證有限元模型計算結(jié)果的有效性。由于0.0025s后目標(biāo)單元已脫離嚙合狀態(tài)，接觸應(yīng)力趨于0，因此只對其進(jìn)入嚙合狀態(tài)時的應(yīng)力狀況進(jìn)行繪制，取分析單元A接觸應(yīng)力計算結(jié)果并繪制時域圖，如圖5所示。

圖5 接觸應(yīng)力圖Fig.5 Contact Stress Diagram

由圖5可知，隨著齒輪的轉(zhuǎn)動，該單元逐漸進(jìn)入嚙合狀態(tài)，因此在0.001s 前單元接觸應(yīng)力逐漸上升并在0.001s 時達(dá)到峰值。0.001s后單元逐步退出嚙合狀態(tài)，從而接觸應(yīng)力出現(xiàn)了大幅度的降低。在輪齒未修形時，0.001s時單元處于嚙合臨界狀態(tài)，所受接觸應(yīng)力為759MPa。而該單元的最優(yōu)修形模式為雙修形工況，在雙修形工況下輪齒進(jìn)入嚙合所受接觸應(yīng)力峰值最小，接觸應(yīng)力值為489MPa，相比未修形時降低了35.5%。嚙入嚙出時曲線斜率最低，嚙合狀態(tài)變換更加平穩(wěn)。其次為主動輪輪齒修形，其最大接觸應(yīng)力為500MPa。三種修形工況下，齒輪的接觸應(yīng)力峰值以及嚙合平穩(wěn)性均優(yōu)于未修形狀態(tài)?？梢?，輪齒修形有利降低齒輪的接觸應(yīng)力峰值。

參考文獻(xiàn)［9］中涉及的直齒輪的修形仿真結(jié)果中給出了相應(yīng)參數(shù)齒輪修形后的齒面最大接觸應(yīng)力，同時優(yōu)化效果達(dá)到了24%。對于這里所得修形區(qū)域內(nèi)的接觸應(yīng)力變化達(dá)到35.5% 的效果提供了仿真數(shù)據(jù)支持。

在同樣的參數(shù)條件下可以看出雙修形的優(yōu)勢，但參數(shù)對修形效果的影響也需進(jìn)一步討論，保持修形長度不變，探究最大修形量對修形后的接觸應(yīng)力影響。對應(yīng)的接觸應(yīng)力時域圖，如圖6所示。

圖6 考慮參數(shù)變化的接觸應(yīng)力圖Fig.6 Contact Stress Diagram Considering Parameter Variation

由圖6可知，三種修形情況下，其輪齒接觸應(yīng)力曲線具有大致相同的趨勢。當(dāng)Δmax為0.01時，最大接觸應(yīng)力為617MPa，相比未修形的最大應(yīng)力，沒有達(dá)到對單元接觸應(yīng)力的優(yōu)化效果（為什么失去了）。Δmax為0.02 狀態(tài)下最大接觸應(yīng)力為480MPa，但是單元A 退出嚙合狀態(tài)后還存在小段波動情況，Δmax為0.03 時單元A接觸應(yīng)力更小僅為412MPa，且退出嚙合后狀態(tài)曲線較為平穩(wěn)，嚙合更加穩(wěn)定，因此Δmax為0.03的優(yōu)化效果更佳。雖然雙修形效果較好，但對于最佳修形還需對參數(shù)進(jìn)行微調(diào)，從而產(chǎn)生更佳的修形效果。

5 總結(jié)

針對修形齒輪進(jìn)行有限元的動態(tài)接觸分析，可以得到如下結(jié)論：

（1）采用局部細(xì)劃的輪齒動態(tài)顯式分析，更有利于仿真計算的精確性。輪齒動態(tài)接觸過程中，瞬時應(yīng)力會劇烈增大。此時輪齒表面性能會受到較大影響。從嚙入到嚙出這一過程中的應(yīng)力變化，可以作為輪齒修形的一個參考參數(shù)，這將有利于提高齒輪的壽命。

（2）從計算結(jié)果來看，輪齒修形對于齒輪動態(tài)接觸應(yīng)力及穩(wěn)定性有較好的改善效果。從動態(tài)時域接觸應(yīng)力這一指標(biāo)來看，雙修形方式優(yōu)于主動輪修形方式，主動輪修形方式優(yōu)于未修形狀態(tài)。但雖然雙修形效果較好，有時為避免局部的不穩(wěn)定傳動，需對修形參數(shù)進(jìn)行微調(diào)。

（3）這里采用的殼-實體連接用于剛?cè)峤Y(jié)合動態(tài)接觸仿真方法，較好地解決了實體單元無法傳遞力矩的難題，對于這一問題，具有較好的普適性。