劉 勇，王 騰，杜 喆

（1.合肥工業(yè)大學機械工程學院，安徽 合肥 230009；2.合肥工業(yè)大學宣城校區(qū)，安徽 宣城 242000）

1 引言

與傳統(tǒng)的剛性機械臂相比，柔性機械臂重量輕、載荷大、可操作性強。但由于柔性連桿的剛度低，柔性機械臂在運動過程中的振動會導致機械臂末端定位精度下降，不僅對機械臂操作精度產生負面影響，還會導致運行不穩(wěn)定甚至機械臂損壞。因此，需要對柔性機械臂進行振動抑制。

為抑制柔性臂的殘余振動，文獻［1］提出了采用粒子群算法優(yōu)化插值點位置增量和3次樣條插值擬合優(yōu)化后的軌跡函數(shù)以消除殘余振動的方法。文獻［2］設計了邊界控制策略以驅動機械臂遵循給點軌跡并同時消除振動。文獻［3］以驅動力矩為輸入，末端變形和轉角為輸出建立了柔性機械臂的控制模型，并采用線性二次型（LQR）算法進行振動抑制。文獻［4］提出了一種徑向基（RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡，使得存在輸入死區(qū)的柔性機械臂的振動得到抑制。然而，以上研究對象均是單連桿柔性臂。針對二自由度平面柔性機械臂，文獻［5］利用模糊邏輯控制器和神經(jīng)控制器來產生控制動作，主動抑制振動。文獻［6］通過機械臂關節(jié)角度的測量來進行軌跡跟蹤，然后利用自適應控制神經(jīng)網(wǎng)絡，使得反饋參數(shù)線性化以消除不確定性振動。文獻［7］設計了一種神經(jīng)網(wǎng)絡以應用于力矩控制，通過軌跡跟蹤實現(xiàn)振動的抑制。對于給定的操作任務，當柔性機械臂運行軌跡不同時，其振動狀態(tài)和能量消耗相差較大。

然而上述文獻只是著眼于振動抑制，優(yōu)化指標中只考慮到了柔性振動能量，而并未研究關節(jié)軌跡對機械臂振動狀態(tài)的影響。文獻［8］利用遺傳算法求解了柔性機械臂振動能量最優(yōu)軌跡，但是在處理運動過程中的彈性振動能量和殘余振動能量時，采用的是加權方法，實質上考慮的仍是殘余振動優(yōu)化。為此，對柔性機械臂多目標軌跡優(yōu)化問題進行研究，采用多目標粒子群（MOPSO）算法進行多目標優(yōu)化，同時利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡對柔性機械臂逆動力學方程進行擬合［9］，以得到連續(xù)平滑的關節(jié)力矩，便于進一步施加機械臂振動抑制控制策略，提高柔性機械臂操作的穩(wěn)定性和準確性。

2 柔性機械臂動力學建模

二自由度柔性機械臂，如圖1所示。兩根柔性臂桿均為歐拉梁，并忽略重力影響。由于關節(jié)質量較大，因此第一根柔性臂桿采用了簡支梁模型，而第二根桿則采用懸臂梁模型。

采用拉格朗日動力學方程與假設模態(tài)法對柔性機械臂進行動力學建模，利用經(jīng)典的瑞利-里茨法描述物體上各點的變形向量，自由振動的表達式為：

分別取簡支梁和懸臂梁的前兩階模態(tài)，則前兩根臂桿的橫向位移可以表示為：

式中：a，b—只與時間有關的變量。

式中：q=[θ1，a1，a2，θ2，b1，b2]T—廣義坐標。

U代表系統(tǒng)彈性勢能，對于二自由度柔性機械臂有：

將式（2）代入式（4），則有：

K∈?6×6，式中非零項為：

式中：M—質量矩陣，其具體元素，如式（3）所示；

C—耦合矩陣，可根據(jù)動力學方程求得。

3 柔性機械臂多目標軌跡優(yōu)化

3.1 采用MOPSO求解理想軌跡

以柔性機械臂運動過程中的振動與能量消耗作為優(yōu)化目標，采用MOPSO算法對兩個優(yōu)化目標同時進行優(yōu)化。

對于運動過程中的振動，可以用臂桿2末端最大撓度的絕對值來表征：

而能量的優(yōu)化函數(shù)為：

為了獲得連續(xù)光滑的關節(jié)角度、角速度和角加速度，并且考慮關節(jié)機械限位問題，采用正弦七次多項式的方法對關節(jié)1和關節(jié)2的角度進行插值遍歷，以此求解理想關節(jié)軌跡。由此，可以建立二自由度等效剛性機械臂的關節(jié)角表達式：

式中：qi—關節(jié)i的關節(jié)角；λ—多項式系數(shù)；t0，tf—初始和終止時刻。由初始和終止時刻的約束條件可知：

式中：qini，qend—起始和終止關節(jié)角。

將約束條件式（10）代入式（9）中，λi0，λi1，…，λi5可由λi6，λi7表示，則可定義決策向量λ =[λ16，λ17，λ26，λ27]。各關節(jié)的角度、角速度和角加速度均可由λ求得。

式中：V[k]，P[k]—粒子k的飛行速度和其在種群中的位置；

c1，c2—學習因子；

r1，r2—在[ 0，1]上均勻分布的隨機數(shù)；

R[h]—外部檔案中粒子的位置；

χ= 2∕( | 2 -φ-φ(φ- 4) |)—收斂因子；φ=c1+c2；

pbest—粒子自身經(jīng)歷過的最佳位置。

基于上述多目標軌跡優(yōu)化得到理想關節(jié)軌跡后，利用傳統(tǒng)近似方法求解柔性參考軌跡：利用理想軌跡求得剛性力矩。再用剛性力矩求出對應的柔性變量。再利用理想軌跡與柔性變量求解柔性參考力矩。最后，將柔性參考力矩代入柔性機械臂動力學方程，即可求得機械臂的柔性參考軌跡和實際柔性變量。

3.2 柔性機械臂最優(yōu)軌跡求解

用近似法求得的柔性參考力矩所造成的關節(jié)角度誤差較小。但是，關節(jié)力矩的震蕩明顯，不利于實際工程應用，同時也會對進一步的機械臂振動抑制控制造成困難。針對上述問題，進一步采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡對柔性機械臂逆動力學方程進行擬合，即輸入期望理想軌跡后，通過RBF神經(jīng)網(wǎng)絡直接求得實際關節(jié)力矩［9］。

所采用的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡結構，如圖2所示。其中，Q1，Q2代表關節(jié)1和關節(jié)2的期望理想軌跡，τ1，τ2代表關節(jié)1和關節(jié)2的實際關節(jié)力矩。wij(j= 1，2)代表權重系數(shù)。是高斯類型函數(shù)，ci為第i個徑向基函數(shù)的中心，σ為徑向基函數(shù)的寬度。具體的算法流程，如圖3所示。

圖2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡模型Fig.2 Model of RBF Neural Network

圖3 柔性機械臂動力學算法流程Fig.3 Dynamic Algorithm Flow

4 仿真與結果分析

4.1 參數(shù)設置與仿真結果

利用MATLAB 對兩自由度柔性機械臂進行仿真實驗，機械臂兩個連桿均為柔性連桿，機械臂相關的材料、質量和幾何特性參數(shù)，如表1所示。

表1 二自由度柔性機械臂參數(shù)Tab.1 Parameters of 2-DOF Flexible Manipulator

機械臂的初始關節(jié)角為qini=[ 20°，0°]，終止關節(jié)角為qend=[10°，10°]，規(guī) 劃總 時 間tf= 1.5s。 MOPSO 算法 參 數(shù)設 置為：nλ= 4，[λmin，λmax]=[ -0.1，0.1]，種群規(guī)模nP= 250，外部檔案粒子數(shù)nR= 100，最大迭代次數(shù)Imax= 150以及c1=c2= 2.05。

4.2 仿真結果比較與分析

利用MOPSO求解多目標軌跡優(yōu)化問題，得到的Pareto前沿，如圖4所示。振動指標最小和能量最小的極端解分別記為非支配解A和非支配解B。

圖4 Pareto前沿Fig.4 Pareto Front

非支配解A和非支配解B的代價函數(shù)值以及對應的決策向量，如表2所示。其中，梯形規(guī)劃的參數(shù)設置為：加速時間和減速時間為0.2s，總時間同樣為1.5s。

表2 目標函數(shù)極端解Tab.2 Extreme Solution of Cost Functions

將兩種非支配解A和B的臂桿2末端撓度變化與傳統(tǒng)梯形規(guī)劃的撓度變化進行對比。根據(jù)圖5可知，利用MOPSO算法所得到的兩個極端解的臂桿振動均小于梯形規(guī)劃。且梯形規(guī)劃軌跡消耗能量= 499.50遠遠大于兩個非支配解。非支配解A的最大振幅f1A約比非支配解B的振幅f2B大9.63%，但是能量消耗f2A卻比f2B減小了677.36%。可見在振幅相似的情況下，改變多項式的系數(shù)會對能量消耗產生很大的影響。

圖5 三種軌跡末端撓度變化對比曲線Fig.5 Comparison of Tip Deflection

利用MATLAB神經(jīng)網(wǎng)絡工具箱中的newrb函數(shù)訓練RBF神經(jīng)網(wǎng)絡，SPREAD值設置為1。神經(jīng)網(wǎng)絡訓練前后關節(jié)1和關節(jié)2的力矩，如圖6所示。可以發(fā)現(xiàn)訓練前的力矩變化抖動劇烈，可能會導致關節(jié)運行不平穩(wěn)。然而，通過RBF神經(jīng)網(wǎng)絡對柔性機械臂逆動力學方程進行擬合后，關節(jié)控制力矩變得連續(xù)且平滑。通過RBF神經(jīng)網(wǎng)絡得到的實際關節(jié)力矩代入柔性動力學方程后得到的實際關節(jié)軌跡，如圖7所示。兩個關節(jié)的關節(jié)角均較好的達到了目標要求。機械臂運行終止時，非支配解A關節(jié)1和關節(jié)2的實際關節(jié)軌跡與理想關節(jié)軌跡的誤差分別為：0.046°，0.069°；而非支配解B的誤差分別為：0.029°，0.017°。關節(jié)運行誤差較小，滿足操作任務需求，且有利于后續(xù)的軌跡跟蹤控制。此外，圖8 表明，將擬合后的實際關節(jié)力矩代入柔性機械臂動力學方程后，平滑的關節(jié)驅動力矩會使得機械臂的末端振動進一步得到抑制。

圖6 振動最小解與能量最小解在神經(jīng)網(wǎng)絡擬合前后的關節(jié)驅動力矩對比曲線Fig.6 Comparison Curve of Joint Driving Torque between Minimum Solutions of Vibration and Energy before and after Neural Network Fitting

圖7 振動最小解與能量最小解在神經(jīng)網(wǎng)絡擬合后關節(jié)軌跡對比曲線Fig.7 Joint Trajectories of Minimum Solutions of Vibration and Energy Fitted by Neural Network

圖8 振動最小解與能量最小解在神經(jīng)網(wǎng)絡擬合前后的末端撓度對比曲線Fig.8 Tip Deflections of Minimum Solutions of Vibration and Energy before and after Neural Network Fitting

5 結論

針對雙柔性連桿機械臂振動抑制與能量優(yōu)化問題，提出了一種基于多目標優(yōu)化算法與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡結合的軌跡規(guī)劃方法。該方法能較好的實現(xiàn)振動與能量的優(yōu)化目標，且求解出的驅動力矩連續(xù)平滑。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡擬合得到的力矩不僅能實現(xiàn)理想的關節(jié)運動軌跡，滿足期望的操作任務，還能進一步減小機械臂運動過程中的末端振動，有利于后續(xù)的柔性機械臂振動抑制控制或軌跡跟蹤控制研究。該方案誤差小、計算量低、適應性強，有利于實際工程應用。