陳校鋒，朱 翔，李天勻，毛藝達(dá)，王春旭

（1.華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢 430074；2.高新船舶與深海開(kāi)發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240；3.船舶與海洋水動(dòng)力湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430074；4.中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，武漢 430064）

梁結(jié)構(gòu)在工程中得到廣泛使用，其振動(dòng)中的非線性通常包括物理非線性、幾何非線性和邊界條件的非線性。對(duì)于船舶推進(jìn)軸系等梁類(lèi)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，激振測(cè)試表明軸系與船體結(jié)構(gòu)的橫向振動(dòng)具有強(qiáng)耦合特性，且是接觸耦合，這種接觸耦合一般是非線性的。關(guān)于物理或幾何非線性梁的振動(dòng)已經(jīng)受到眾多學(xué)者的關(guān)注。Pielorz[1]分析了懸臂梁在小應(yīng)變下的大撓度和大轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的有限振動(dòng)，采用伽遼金法求解彈性和黏彈性梁的雙曲或拋物非線性偏微分方程。Barari 等[2]采用變分迭代和參數(shù)攝動(dòng)法研究了軸向載荷作用下Euler-Bernoulli梁的非線性振動(dòng)，將結(jié)果和誤差與四階Runge-Kutta 法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較。劉小靖等[3]提出了一種修正小波伽遼金法，用以解決任意強(qiáng)非線性的梁彎曲問(wèn)題，該方法克服了邊界延拓問(wèn)題，成功用于求解具有非線性特征的梁的大撓度彎曲問(wèn)題。賈布裕等[4]考慮了材料的彈塑非線性對(duì)計(jì)算組合梁的可靠度的影響，結(jié)果表明幾何非線性降低了組合梁結(jié)構(gòu)的可靠度值。祖福興等[5]將配點(diǎn)法與徑向基函數(shù)相結(jié)合，得到了一種適用于求解非線性梁的計(jì)算方法。黃正等[6]借助向量式力學(xué)的思想，提出了一種新的有限質(zhì)點(diǎn)法來(lái)描述梁的非線性變形。張年梅等[7]研究了受軸向載荷作用的非線性彈性梁的混沌運(yùn)動(dòng)，采用Melnikov 法確定系統(tǒng)發(fā)生混沌的臨界條件。

典型的邊界條件非線性包括結(jié)構(gòu)構(gòu)件間的接觸或間隙，各構(gòu)件間的相互碰撞、分離及摩擦容易引發(fā)機(jī)械振動(dòng)和噪聲，導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降等一系列問(wèn)題[8]。目前，已有部分學(xué)者針對(duì)接觸或間隙邊界條件下非線性梁的振動(dòng)問(wèn)題開(kāi)展了相關(guān)的研究。Turner[9]采用多尺度法研究了赫茲接觸邊界條件下懸臂梁的非線性振動(dòng)問(wèn)題，通過(guò)推導(dǎo)證明了非線性幅頻關(guān)系取決于模態(tài)數(shù)和線性接觸剛度。Sedighi等[10－11]針對(duì)死區(qū)非線性問(wèn)題，提出了一種新的有效的精確等效函數(shù)，并采用參數(shù)展開(kāi)法研究了存在死區(qū)非線性邊界條件懸臂梁的非線性振動(dòng)。翟國(guó)富等[12]對(duì)含有非線性赫茲接觸條件的雙梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了沖擊特性分析，其結(jié)果相比于線性模型更能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)接觸系統(tǒng)的耐沖擊能力。相關(guān)學(xué)者也進(jìn)行了試驗(yàn)研究，Praveen 等[13]從實(shí)驗(yàn)和數(shù)值兩方面研究了懸臂梁雙側(cè)碰撞的振動(dòng)問(wèn)題，考慮了接觸剛度、間隙和接觸材料對(duì)結(jié)果的影響。曹妍妍等[14]同樣以具有間隙約束的懸臂梁為試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，分析了系統(tǒng)在不同激勵(lì)參數(shù)和接觸剛度下響應(yīng)狀態(tài)隨系統(tǒng)參數(shù)的變化規(guī)律。萬(wàn)雨婷等[15]采用掃頻的方式研究了含間隙限位約束梁結(jié)構(gòu)的一階頻響特征，考慮了激勵(lì)幅值和間隙大小對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響。

從以上研究可見(jiàn)，針對(duì)梁與彈性支撐在接觸狀態(tài)下的研究還相當(dāng)匱乏，相關(guān)研究尚難以揭示梁和彈性支撐在接觸狀態(tài)下的非線性動(dòng)力學(xué)特性。本文將彈性梁與支撐彈簧的非線性接觸簡(jiǎn)化為用一種分段線性模型表示，通過(guò)能量法建立三支撐彈性接觸梁的動(dòng)力學(xué)模型，采用Runge-Kutta法分析模型在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)特性，并討論了激勵(lì)參數(shù)和支撐剛度對(duì)結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)特性的影響。

1 彈性接觸支撐梁橫向振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型

考慮三支撐彈性接觸梁模型，模型中假設(shè)支撐彈簧只能壓縮而不能伸長(zhǎng)，以此來(lái)模擬梁和支撐彈簧的接觸行為，如圖1所示。以彈性梁的左端面作為x軸的原點(diǎn)，梁剛接觸彈簧即彈簧無(wú)壓縮時(shí)的位置為初始位置和z軸的原點(diǎn)。梁的長(zhǎng)度為l，橫截面寬為b，厚為h。材料密度為ρ，楊氏模量為E。支撐彈簧分別位于x1、x2、x3處，其剛度分別為k1、k2、k3。在梁的左端x0處作用垂向動(dòng)態(tài)激勵(lì)力F。

圖1 三支撐彈性接觸梁模型示意圖

為了求解接觸支撐梁在受到激勵(lì)后的響應(yīng)，采用假定振型法來(lái)確定接觸支撐梁的運(yùn)動(dòng)方程，假設(shè)接觸支撐梁的橫向位移為：

式中的形函數(shù)假設(shè)為：

其中：γi-2=且 1-cosλlcoshλl=0，可近似取λi-2=其中形函數(shù)的前兩項(xiàng)φ1(x)和φ2(x)為兩端自由梁運(yùn)動(dòng)的剛體模態(tài)，描述梁垂向的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。

假設(shè)梁為線彈性材料，則梁的動(dòng)能和應(yīng)變能可以分別表示為：

其中：A為橫截面面積，I為慣性矩。忽略支撐彈簧的質(zhì)量，則其彈性勢(shì)能為：

考慮重力的影響，梁的重力勢(shì)能為：

激勵(lì)力做功：

根據(jù)哈密頓原理：

由此得到接觸支撐梁的運(yùn)動(dòng)方程為：

假設(shè)系統(tǒng)的阻尼形式為瑞利阻尼，即：

其中：α和β是比例系數(shù)，假設(shè)彈簧只能壓縮，則：

由此可以看出，本文將彈性接觸支撐梁的振動(dòng)等效為一種分段線性振動(dòng)。

引入2N維狀態(tài)向量p(t)=，則運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)成1階微分方程組[16]：

采用經(jīng)典的4 階Runge-Kutta 法對(duì)q(t) 的值進(jìn)行求解，再代回假定位移的表達(dá)式中，即可得到該時(shí)刻梁在任意位置處的橫向位移。

當(dāng)分析模型被簡(jiǎn)化為線性模型時(shí)，支撐彈簧與梁之間不產(chǎn)生分離，此時(shí)可以通過(guò)改變梁與彈簧的連接條件，即可得到線性彈簧支撐梁模型，可同樣采用Runge-Kutta法進(jìn)行時(shí)域響應(yīng)分析，或者采用能量法進(jìn)行頻域響應(yīng)分析。

2 算例分析

在算例分析中，取以下參數(shù)進(jìn)行計(jì)算：梁的材料密度為ρ=7 850 kg/m3，楊氏模量為E=2.1×1011Pa，梁長(zhǎng)l=2 m，寬b=0.05 m，厚h=0.05 m，支撐彈簧的剛度分別為k1=k2=k3=1×106N/m，位置坐標(biāo)分別為x1=0.5 m，x2=1 m，x3=1.5 m。激勵(lì)位置坐標(biāo)x0=0.2 m，重力加速度g=9.8 m/s2。

形函數(shù)的截?cái)囗?xiàng)數(shù)N取10，通過(guò)對(duì)式(9)的求解，得到彈性支撐梁的前3 階固有頻率分別為30.27 Hz、40.52 Hz、75.52 Hz。

根據(jù)下式計(jì)算瑞利阻尼的比例系數(shù)[17]：

由于主要考慮梁的低頻振動(dòng)，取f1=10 Hz、f2=100 Hz，阻尼比取ξ=0.03，得到α=3.427 s-1，β=8.681×10-5s。

在x0處施加垂向的簡(jiǎn)諧激勵(lì)力，激勵(lì)幅值為150 N，頻率為10 Hz，進(jìn)行時(shí)域響應(yīng)分析，分析時(shí)長(zhǎng)為t=10 s。接觸支撐梁在x1處的響應(yīng)結(jié)果如圖2所示，其中圖2(c)和圖2(d)是根據(jù)接觸支撐梁在6 s～10 s時(shí)間內(nèi)的位移及速度響應(yīng)所繪制的相平面圖和龐加萊截面圖。

圖2 接觸支撐梁在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的時(shí)域響應(yīng)(F=150 N，f=10 Hz)

計(jì)算結(jié)果表明，在該激勵(lì)下的梁和彈簧的接觸行為處于接觸(u(xs)≥0)與不接觸(u(xs)＜0)交替進(jìn)行的狀態(tài)。位移響應(yīng)幅值譜的峰值頻率點(diǎn)中并沒(méi)有出現(xiàn)彈性支撐梁的固有頻率點(diǎn)，而是出現(xiàn)了非線性振動(dòng)中所特有的超諧波共振和次諧波共振。從相平面圖和龐加萊截面圖則可以更明顯地看出接觸支撐梁的響應(yīng)不是簡(jiǎn)單的周期或準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，而是一種有界的不規(guī)則的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)形式，說(shuō)明彈性接觸支撐梁的運(yùn)動(dòng)是非線性振動(dòng)。

3 驗(yàn)證分析

3.1 有限元模型

為了驗(yàn)證本文計(jì)算方法的正確性，采用了有限元分析軟件ANSYS 對(duì)三支撐彈性接觸梁進(jìn)行建模分析。彈性梁采用BEAM188 梁?jiǎn)卧M。進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)，不考慮梁與彈簧的接觸行為，即支撐梁模型的彈簧采用COMBIN14彈簧單元模擬；進(jìn)行時(shí)域響應(yīng)分析時(shí)考慮接觸的情況，即接觸支撐梁模型的彈簧采用COMBIN40彈簧單元模擬，該單元的物理模型如圖3所示。

圖3中的GAP 表示間隙的大小，當(dāng)u(J)-u(I)+GAP≥0 時(shí)，間隙打開(kāi)，此時(shí)彈簧不受力，當(dāng)u(J)-u(I)+GAP＜0時(shí)，間隙閉合，彈簧受壓。在本文中，可將GAP設(shè)置為一個(gè)足夠小的小量，用以模擬梁和彈簧的接觸行為。設(shè)置梁?jiǎn)卧拇笮〔澐志W(wǎng)格，約束彈簧下端點(diǎn)處的所有位移，得到接觸支撐梁的有限元模型，如圖4所示。

圖3 COMBIN40單元

圖4 三支撐彈性接觸梁有限元模型

3.2 結(jié)果對(duì)比

當(dāng)不考慮梁與彈簧的接觸行為時(shí)，計(jì)算彈性支撐梁的固有頻率，如表1所示。可以看出，在形函數(shù)的截?cái)囗?xiàng)數(shù)N=10 時(shí)，本文的求解結(jié)果已經(jīng)收斂，且前5 階固有頻率與有限元結(jié)果的誤差均在1.5%以內(nèi)，說(shuō)明形函數(shù)取N=10進(jìn)行計(jì)算分析是較為準(zhǔn)確可靠的。

表1 彈性支撐梁的固有頻率/Hz

考慮梁與彈簧的接觸行為，對(duì)彈性接觸支撐梁有限元模型施加激勵(lì)幅值為150 N，頻率為10 Hz的簡(jiǎn)諧激勵(lì)，選用Newmark-β直接計(jì)算法進(jìn)行瞬態(tài)分析，對(duì)比本文和有限元的計(jì)算結(jié)果，如圖5所示。可以看出兩種方法的計(jì)算結(jié)果吻合較好，表明本文所采用的計(jì)算方法是可行的，準(zhǔn)確的。

圖5 彈性接觸支撐梁時(shí)域響應(yīng)結(jié)果對(duì)比(x1處的位移幅值譜)

4 參數(shù)討論

對(duì)于非線性系統(tǒng)，其初始狀態(tài)對(duì)振動(dòng)的特性有較大影響。尤其是當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入混沌后，系統(tǒng)對(duì)初始值十分敏感，即初值的微小擾動(dòng)會(huì)使系統(tǒng)的長(zhǎng)期運(yùn)動(dòng)發(fā)生很大變化，其運(yùn)動(dòng)是一種有界的不規(guī)則的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)[18]。其中有界是指混沌運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)變量(如：位移、速度)是在某個(gè)區(qū)間內(nèi)變動(dòng)的，不規(guī)則指的是其運(yùn)動(dòng)軌跡沒(méi)有規(guī)律可循，類(lèi)似于隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。本節(jié)通過(guò)分岔圖研究彈性接觸支撐梁系統(tǒng)中所施加激振力的幅值、頻率和彈簧剛度對(duì)接觸支撐梁運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響。分岔圖是由狀態(tài)變量和分岔參數(shù)所構(gòu)成的圖形空間，表示狀態(tài)變量隨參數(shù)的變化。

以接觸支撐梁在支撐位置x1處的位移作為狀態(tài)變量，激勵(lì)力的幅值作為分岔參數(shù)繪制接觸支撐梁關(guān)于激勵(lì)幅值的分岔圖，如圖6所示。其中，激勵(lì)頻率為10 Hz，激勵(lì)幅值的變化范圍是50 N～300 N。在F＜138 N 時(shí)，分岔圖表現(xiàn)為1 條隨激勵(lì)幅值變化的曲線，表明接觸支撐梁在該激勵(lì)下的運(yùn)動(dòng)為周期運(yùn)動(dòng)。當(dāng)F≥138 N時(shí)，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)突然改變，進(jìn)入了混沌運(yùn)動(dòng)，在分岔圖上表現(xiàn)為一個(gè)分岔參數(shù)對(duì)應(yīng)無(wú)限個(gè)狀態(tài)變量點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的突然改變可能是因?yàn)榧?lì)幅值增大到一定的值，梁和彈簧的接觸行為一直處于接觸與不接觸交替進(jìn)行的狀態(tài)，從而進(jìn)入了混沌。而激勵(lì)幅值小于這個(gè)值時(shí)，梁和彈簧最終會(huì)處于接觸的狀態(tài)，不再分離，此時(shí)結(jié)構(gòu)為線性系統(tǒng)，故梁的運(yùn)動(dòng)為周期運(yùn)動(dòng)。

圖6 接觸支撐梁關(guān)于激勵(lì)幅值的分岔圖

固定激勵(lì)力幅值為200 N，以x1處的位移作為狀態(tài)變量繪制分岔圖，激勵(lì)的頻率范圍為10 Hz～100 Hz，如圖7所示。分岔圖中某個(gè)分岔參數(shù)下的狀態(tài)變量為有限個(gè)(k個(gè))孤立點(diǎn)，可以表示系統(tǒng)在該分岔參數(shù)下的周期k運(yùn)動(dòng)[18]。從圖7可見(jiàn)，接觸支撐梁在激勵(lì)頻率f小于76.5 Hz的大部分區(qū)間內(nèi)均作混沌運(yùn)動(dòng)，而在46 Hz～48 Hz 和60 Hz～68 Hz 之間，接觸支撐梁分別發(fā)生了周期2和周期1運(yùn)動(dòng)。最后，接觸支撐梁的振動(dòng)大約在77 Hz處從混沌運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)為周期2運(yùn)動(dòng)，并在79.5 Hz處進(jìn)入周期1運(yùn)動(dòng)。此外，隨著激勵(lì)頻率的增大，狀態(tài)變量的變化區(qū)間呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)。因此，當(dāng)激勵(lì)頻率較低時(shí)，接觸支撐梁的運(yùn)動(dòng)更有可能進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)。

圖7 接觸支撐梁關(guān)于激勵(lì)頻率的分岔圖

改變支撐彈簧k1的剛度系數(shù)，令F=150 N，f=10 Hz，以x1處的速度作為狀態(tài)變量繪制分岔圖，如圖8所示。在彈簧剛度k1小于1.3×107N/m的區(qū)間內(nèi)，接觸支撐梁作混沌運(yùn)動(dòng)，但在[0.66,0.8]×107N/m 的區(qū)間內(nèi)則突然變?yōu)橹芷?運(yùn)動(dòng)。之后便進(jìn)入了周期運(yùn)動(dòng)，其中在約1.64×107N/m處進(jìn)入周期2運(yùn)動(dòng)，并最終在3.3×107N/m處重新進(jìn)入周期1運(yùn)動(dòng)。這說(shuō)明了支撐彈簧的剛度系數(shù)對(duì)接觸支撐梁的振動(dòng)狀態(tài)也會(huì)產(chǎn)生較大的影響。

圖8 接觸支撐梁關(guān)于彈簧剛度k1的分岔圖

5 結(jié)語(yǔ)

工程中某些情況下梁和彈性支撐之間并不是理想的線性耦合關(guān)系，本文考慮了彈性梁與支撐彈簧之間的接觸行為，假設(shè)梁的支撐彈簧僅能承受壓縮，探討非線性邊界條件對(duì)接觸支撐梁的振動(dòng)特性的影響。建立了三支撐彈性接觸梁的分段線性動(dòng)力學(xué)模型，采用Runge-Kutta法求解結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)特性。通過(guò)與有限元軟件的仿真結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了該方法的有效性。

本文還討論了激勵(lì)參數(shù)和彈簧剛度系數(shù)對(duì)接觸支撐梁非線性振動(dòng)特性的影響。結(jié)果表明，激勵(lì)幅值較大或激勵(lì)頻率較低時(shí)，都有可能會(huì)使接觸支撐梁的振動(dòng)從周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，彈簧剛度系數(shù)也會(huì)對(duì)接觸支撐梁的振動(dòng)狀態(tài)產(chǎn)生一定的影響。得到彈性接觸支撐梁在不同參數(shù)下的振動(dòng)特性后，可以通過(guò)合理的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)來(lái)避免系統(tǒng)進(jìn)入混沌等不穩(wěn)定的振動(dòng)狀態(tài)，以上研究可為梁類(lèi)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制提供參考。