楊春霞

(江蘇省南京市第二十九中學(xué)初中部 210003)

諸士金

(江蘇省南京市橫梁初級中學(xué) 211515)

在解題教學(xué)中，部分教師只是教給學(xué)生具體的解法，而對問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)揭示得不夠全面.選取有價值的試題素材，有策略地進(jìn)行解題教學(xué)，讓解題思路有跡可循，讓學(xué)生有法可依、學(xué)會解題通法，應(yīng)是解題教學(xué)的價值訴求.筆者以在中考復(fù)習(xí)教學(xué)中遇到的一道2021年南京市中考填空壓軸題為例，進(jìn)行有關(guān)解題教學(xué)的思考.

1 問題呈現(xiàn)與價值分析

圖1

(2021年南京中考第16題)如圖1，將

ABCD

繞點(diǎn)

A

逆時針旋轉(zhuǎn)到

AB

′

C

′

D

′的位置，使點(diǎn)

B

′落在

BC

上，

B

′

C

′與

CD

交于點(diǎn)

E.

若

AB

=3，

BC

=4，

BB

′=1，則

CE

的長為

.

本題以平行四邊形為基礎(chǔ)圖形，通過旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行構(gòu)圖，呈現(xiàn)形式簡潔優(yōu)美，題小意長.試題立足幾何核心知識，綜合考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、圖形運(yùn)動的相關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及方程(組)思想等初中數(shù)學(xué)的主要知識點(diǎn).考查內(nèi)容較為全面，需要學(xué)生借助幾何直觀和空間想象感知平行四邊形在旋轉(zhuǎn)變換過程中的“變”與“不變”，厘清圖形局部元素中角、線段之間的關(guān)系，并能在較為復(fù)雜的模型中把握圖形整體之間的關(guān)聯(lián)，構(gòu)建解決數(shù)學(xué)問題的有效模型，形成有條理、合乎邏輯的解題路徑.試題在解法上貫徹了求線段長度的通性通法，教師可以通過類似素材的解題教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和理性精神.

2 解法分析與通法探究

圖2

此題是一道填空題，題型雖小，難度卻不小.進(jìn)行小題大做，深挖素材隱含的數(shù)學(xué)知識與解題方法，才能凸顯其教學(xué)價值.本題點(diǎn)

B

′落在

BC

上，則點(diǎn)

D

恰好落在

D

′

C

′上，看似巧合，實(shí)則必然.這點(diǎn)可以利用同一法簡要說明：如圖2，連結(jié)

DD

′，易證△

ABB

′∽△

ADD

′，故∠

B

=∠

AB

′

B

=∠

ADD

′=∠

AD

′

D.

又∠

B

=∠

AB

′

C

′,且∠

AB

′

C

′=∠

AD

′

C

′,所以∠

AD

′

C

′=∠

AD

′

D

,即點(diǎn)

D

在線段

D

′

C

′上.由點(diǎn)

B

和點(diǎn)

D

位置的特殊性，使得圖形整體關(guān)系豐富，能夠產(chǎn)生很多相似圖形.因此本題的構(gòu)圖視野寬、解題路徑廣，宜為教學(xué)所用.下面從相似基本圖形的角度出發(fā)，進(jìn)行解法分析與通法探究.

2.1 基于相似基本圖形“X型”構(gòu)圖

在尋找或構(gòu)造相似三角形模型時，常見的X型構(gòu)圖求線段長是一個思考方向.本題首先可以線段

CE

所在三角形△

B

′

CE

為直接研究對象，嘗試尋找或構(gòu)造與之成X型相似的基本圖形.

圖3 圖4

方法1

如圖3，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知

AB

=

AB

′，

AD

=

AD

′，∠

DAD

′=∠

BAB

′,所以△

ABB

′∽△

ADD

′,從而由

AB

=3，

AD

=4，

BB

′=1，得到易證△

DEC

′∽△

B

′

EC

，得到即解得

方法2

如圖4，過

C

′作

C

′

M

∥

BC

，交

DC

于點(diǎn)

M.

易證△

DMC

′∽△

ABB

′，則即解得因此由

C

′

M

∥

BC

可得△

B

′

CE

∽△

C

′

ME

，所以即解得

圖5

方法3

如圖5，延長

AD

，

B

′

C

′交于點(diǎn)

F.

易證△

ABB

′∽△

FAB

′，所以即解得

AF

=9．易證△

DEF

∽△

CEB

′，所以即解得

分析

本題由旋轉(zhuǎn)容易想到的是△

ABB

′與△

ADD

′相似，從而可得線段

DD

′和

DC

′的長度，后面很多方法都會用到

DD

′和

DC

′的長，不再贅述.方法1以

CE

為研究對象，從直觀上感知△

DEC

′與△

B

′

EC

呈X型相似，根據(jù)相似的性質(zhì)，構(gòu)建比例式進(jìn)行求解.值得注意的是，這里的比例式其實(shí)隱含的是兩個關(guān)于

EC

和

EC

′的二元一次方程，對學(xué)生的代數(shù)推理能力和運(yùn)算能力要求較高，很多學(xué)生會被這兩組比例式困住，難以得解.方法2和方法3均以

CE

所在的△

B

′

CE

為對象，分別過點(diǎn)

C

′和點(diǎn)

D

作輔助線，得到兩組相似.雖然需要構(gòu)造相似，但計算難度比方法1要小，因此各有千秋.

2.2 基于相似基本圖形“A型”構(gòu)圖

A型相似也是常見的相似基本圖形.本題構(gòu)造A型圖可以把

CE

所在的三角形△

B

′

CE

，或

DE

所在的三角形△

DCE

作為研究對象，尋找或構(gòu)造與之成A型相似的基本圖形.

方法4

如圖6，延長

BC

，

DC

′交于點(diǎn)

F

，過

F

作

FM

∥

CD

，交

B

′

C

′的延長線于點(diǎn)

M.

由

DF

=3，可得根據(jù)

FM

∥

CD

，可得△

B

′

EC

∽△

B

′

MF

，△

DEC

′∽△

FMC

′,所以即解得

圖6 圖7

方法5

如圖7，延長

BC

，

DC

′交于點(diǎn)

F

，過

C

作

CM

∥

B

′

C

′，交

DF

于點(diǎn)

M

．易證△

ABB

′∽△

CFM

，所以得到所以根據(jù)

EC

′∥

CM

，可得△

DEC

′∽△

DCM

，所以即解得

圖8

方法6

如圖8，過點(diǎn)

D

′作

D

′

F

∥

DC

，交

B

′

C

′ 于點(diǎn)

F.

易證△

D

′

FC

′≌△

B

′

EC

，所以

FC

′=

CE

，

D

′

F

=

B

′

E

=4-

C

′

E

．根據(jù)

D

′

F

∥

DC

，可得△

DC

′

E

∽△

D

′

C

′

F.

所以即解得

分析

方法4～方法6都是構(gòu)造A型相似，但構(gòu)造的思路不一樣.方法4直接以

CE

邊為研究對象，在△

B

′

EC

的外部，即

B

′

E

和

B

′

C

的延長線上構(gòu)造，其中點(diǎn)

F

的確定是思維上的一個難點(diǎn)，需要結(jié)合圖形整體感知，選擇出這樣的一個特殊點(diǎn).方法5則以與

CE

相關(guān)的線段

DE

為研究對象，在△

DEC

′的兩邊

DE

和

DC

′的延長線上過點(diǎn)

C

構(gòu)造“A型”.與方法5不同之處在于，方法6是在△

DEC

′的另兩邊

C

′

E

和

C

′

D

的延長線上過點(diǎn)

D

′構(gòu)造“A型”.

2.3 基于“一線三等角”模型構(gòu)圖

審題時可以發(fā)現(xiàn)，∠

ABB

′=∠

AB

′

C

，且這兩個角的頂點(diǎn)在同一條直線上，由直觀感知和已有的構(gòu)圖經(jīng)驗，容易想到“一線三等角”模型.因此，可以嘗試從“一線三等角”的基本圖形出發(fā)，構(gòu)造相似來求線段長.

方法7

如圖9，延長

BC

，

DC

′交于點(diǎn)

F.

由∠

ABB

′=∠

AB

′

C

′=∠

B

′

FC

′，易證△

ABB

′∽△

B

′

FC

′，得到即求得所以再由△

B

′

EC

∽△

DEC

′，得到即解得

圖9 圖10

方法8

如圖10，過點(diǎn)

C

作

CF

∥

D

′

C

′交

B

′

C

′于點(diǎn)

F

，則∠

ABB

′=∠

AB

′

C

′=∠

B

′

CF

，所以△

ABB

′∽△

B

′

CF

，得到即求得

CF

=1.因為

CF

∥

D

′

C

′，所以△

DEC

′∽△

CEF

，得到即解得

圖11

方法9

如圖11，過點(diǎn)

E

作

EF

∥

AB

′，交

B

′

C

的延長線于點(diǎn)

F

,則∠

ABB

′=∠

AB

′

C

′=∠

B

′

FE

，所以△

ABB

′∽△

B

′

FE

，得到即所以3+

CF

=3

EF.

易證△

ABB

′∽△

ECF

，所以可得

EF

=

EC

=3

CF

，解得

分析

方法7是從右下角向構(gòu)造一線三等角模型靠攏，形成以

BC

為一線，∠

B

=∠

AB

′

C

′=∠

B

′

FC

′為三等角的模型，得到△

ABB

′與△

B

′

FC

′相似解決問題.方法8和方法9同樣是基于“一線三等角”模型，分別過點(diǎn)

C

和點(diǎn)

E

作平行來構(gòu)造相似.

2.4 基于補(bǔ)全平行四邊形構(gòu)相似

在構(gòu)造“一線三等角”的過程中，“一線”托住了三個“等角”，這樣的直觀構(gòu)圖感知在本題解法探究中還可以帶來不一樣的啟示，比如用“一線”托住凸出的角，將其補(bǔ)全為一個平行四邊形.

圖12

方法10

如圖12，過點(diǎn)

D

′作

MF

∥

AD

，交

BA

的延長線于點(diǎn)

F

，交

CD

的延長線于點(diǎn)

M

,則四邊形

FBCM

為平行四邊形，所以

FM

=

AD

=4，

FA

=

MD.

易證△

ABB

′∽△

DMD

′，所以即解得所以再證△

B

′

CE

∽△

D

′

FA

，所以即解得

圖13

分析

方法10在點(diǎn)

D

′處作平行補(bǔ)全了平行四邊形，往一線三等角模型方向去靠攏，但在靠攏中卻發(fā)現(xiàn)，此處并不是一線三等角，而是一線二等角，柳暗花明又一村，∠

M

=∠

ADD

′為證明三角形相似提供了新的思路.類似地，也可以在點(diǎn)

B

、點(diǎn)

C

及點(diǎn)

C

′處補(bǔ)全平行四邊形，構(gòu)造圖13～ 圖15進(jìn)行解決.這四種方法均是通過構(gòu)造平行四邊形，形成一線二等角的模型，然后再尋找三角形相似，建立線段比例關(guān)系求得

CE

長.

圖14 圖15

2.5 基于平移轉(zhuǎn)化構(gòu)相似

在方法1的分析中，我們知道△

ABB

′∽△

ADD

′是比較容易發(fā)現(xiàn)的，而要求線段

CE

的長，思考

CE

所在△

B

′

CE

與△

ADD

′的關(guān)系也是聯(lián)想的一個自然方向.因此，能否在△

ADD

′內(nèi)尋找或構(gòu)造與△

B

′

CE

相似的圖形呢？這里借助圖形變化中的平移縮放就可以得到如下的方法.

方法11

如圖16，延長

CD

，

AD

′交于點(diǎn)

F

，由△

ABB

′∽△

ADD

′，得再證△

ADF

∽△

B

′

CE

和△

DD

′

F

∽△

DC

′

E

，分別得到和即解得

圖16 圖17

方法12

如圖17，過

D

′作

D

′

F

∥

AB

，交

AD

于點(diǎn)

F.

由△

ABB

′∽△

ADD

′,得易證△

ABB

′∽△

D

′

FD

,得到即解得所以易證△

AD

′

F

∽△

B

′

EC

,得到即解得

分析

方法11與12的解題思路類似，均源于通過平移縮放構(gòu)造與△

B

′

CE

相似的直觀感知.在幾何解題中，與相似的幾種常見基本圖形一樣，平移縮放也是相似構(gòu)圖的一個重要切入點(diǎn).方法11、12都是將△

B

′

CE

往上平移縮放與△

ADD

′進(jìn)行相似構(gòu)圖，不同的是，一個是以

AD

為對應(yīng)邊構(gòu)圖，另一個是以

AD

′為對應(yīng)邊構(gòu)圖.

3 解題啟示與教學(xué)建議

在解題教學(xué)中，既要讓學(xué)生知其然，更要讓學(xué)生知其所以然，注重解題思路的探尋過程，積累思維活動經(jīng)驗.引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷怎樣審題、怎樣想到思路方法、為什么要這樣想、還可以怎樣想的過程，通過對一道題目的講解，達(dá)到做一題通一類的效果，這是解題教學(xué)的價值所在.本題解法豐富，從其中任何一種相似的基本模型出發(fā)，都能自然產(chǎn)生解題路徑.而解法的自然生成，需要我們在平時的幾何解題教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散聯(lián)想、模型意識和結(jié)構(gòu)化思想，讓學(xué)生想得到、想得通、想得妙！

3.1 關(guān)注發(fā)散聯(lián)想，弄清怎么想

怎么做固然重要，怎么想更為重要.波利亞告訴我們，解題離不開最近聯(lián)想，從條件出發(fā)，從問題出發(fā)，從知識點(diǎn)出發(fā)，從數(shù)學(xué)基本模型出發(fā)，都是可以進(jìn)行聯(lián)想的方向.教學(xué)中要多鼓勵并指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從上述方向發(fā)散思維，進(jìn)行聯(lián)想.比如，由本題已知條件出發(fā)進(jìn)行最近聯(lián)想，你可以初步得到哪些結(jié)論？整合條件和問題進(jìn)行進(jìn)一步聯(lián)想，要求線段

CE

的長需要做什么？再比如，從旋轉(zhuǎn)這一知識點(diǎn)出發(fā)，你可以得到什么？從基本模型出發(fā)，本題圖形中你又發(fā)現(xiàn)了哪些常見的基本圖形？由此獲得更多的需知對象.數(shù)學(xué)是思維的體操，解題教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行最近聯(lián)想，學(xué)會用數(shù)學(xué)的方式發(fā)散思維，提高數(shù)學(xué)思維能力，積累解題活動經(jīng)驗.

3.2 關(guān)注數(shù)學(xué)模型，聚焦怎么做

在本題的解法探索過程中可以發(fā)現(xiàn)，解題路徑的自然生成離不開數(shù)學(xué)的基本模型.本題幾乎覆蓋了相似圖形中所有常見的基本圖形，一是基于相似基本模型，往熟悉的基本圖形X型、A型構(gòu)造相似；二是基于相似的經(jīng)典模型，往“一線三等角”構(gòu)造相似；三是基于空間想象，借助補(bǔ)全平行四邊形構(gòu)造相似；四是基于幾何直觀，借助圖形平移變換構(gòu)造相似.從每一種相似基本圖形出發(fā)均可找到解題方向，成功抵達(dá)，從而形成多樣的解法.因此，在平時的教學(xué)中，教師應(yīng)強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識，一方面要共同歸納常見的幾何模型，深刻理解模型的關(guān)鍵特征；另一方面要引導(dǎo)學(xué)生有意識地從復(fù)雜的圖形中分解出或補(bǔ)全為常見的基本圖形，從而把陌生的、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、簡單的問題，提高學(xué)生的模型意識和利用模型解決問題的能力.

3.3 關(guān)注知識結(jié)構(gòu)，重視回頭看

數(shù)學(xué)的解題研究看似解決一個問題，實(shí)則要教給學(xué)生思考問題的方式，由一個問題打通知識間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，將碎片化的知識結(jié)構(gòu)化，形成解決問題的通性通法，從而解決更多問題.本題目標(biāo)是求線段

CE

的長度；對于線段求長問題，在整個初中階段有很多方法，如利用線段和差、倍數(shù)等數(shù)量關(guān)系求長，利用勾股定理三邊關(guān)系求長，利用全等三角形的相等關(guān)系求長，利用相似三角形的比例關(guān)系求長，利用三角函數(shù)邊角關(guān)系求長等，這些方法串聯(lián)起來就形成了一個線段求長的知識鏈條，也就是線段求長的通法.而本題利用相似求線段

CE

的長度即是這個知識鏈條中的一個知識節(jié)點(diǎn).解題教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生梳理這樣的知識與方法鏈條，從而形成知識結(jié)構(gòu)網(wǎng).對于解決問題的通性通法，需要引導(dǎo)學(xué)生不斷地總結(jié)和回顧反思，才能讓學(xué)生在遇到新的問題時有法可想、有路可走，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維，形成自主探究問題的解題經(jīng)驗.

波利亞曾說：“如果你希望從自己的努力中取得最大的收獲，就要從已經(jīng)解決了的問題中找出那些對處理將來的問題可能有用的特征.”本題已經(jīng)塵埃落定，但其解法的探究給幾何解題的教與學(xué)帶來了很多啟示.解題即是縮小差距，縮小差距就是使已知與未知互相靠攏，我們在追求縮小差距的抵達(dá)，我們更是在享受一場互相靠攏的旅程，最終實(shí)現(xiàn)那美妙的雙向奔赴.