對(duì)一道源自課本的高考試題的再探究
2022-08-19 12:24:06周長(zhǎng)春
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年8期
周長(zhǎng)春
(北京市第二中學(xué) 100010)
2016年浙江省高考數(shù)學(xué)理科卷第15題為：已知向量，，||=1，||=2，若對(duì)任意單位向量，均有則·的最大值是．
文[1]對(duì)該題進(jìn)行了深入的探究，不僅給出了5種不同的解法，而且得到了3個(gè)一般化的結(jié)論，讀后讓人深受啟發(fā).筆者對(duì)該題“再”探究，思考如下問(wèn)題：
①該題還有沒(méi)有別的解法？
②如果將改為|·|(其他條件不變)，又該如何求解？即如何求(|·|+|·|)？③將②推廣到一般情形后的結(jié)論又是怎樣的？
筆者通過(guò)挖掘|·|+|·|的幾何意義，借助幾何直觀，得到如下解決過(guò)程．1 利用幾何意義求解
(1)構(gòu)造|·|+|·|的幾何意義設(shè)與的夾角為θ
，，與的夾角分別為θ
，θ
，則·=2cosθ
，因?yàn)榍蟮氖恰さ淖畲笾担手豢紤]又因?yàn)楫?dāng)θ
=0時(shí)，取與,同向，則故只考慮
圖1
如圖1，過(guò)點(diǎn)O
作將繞點(diǎn)O
逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，繞點(diǎn)O
順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，分別得到向量分別作點(diǎn)C
,D
關(guān)于點(diǎn)O
的對(duì)稱點(diǎn)E
,F
,則四邊形CDEF
為平行四邊形.當(dāng)在∠EOF
內(nèi)(含邊界)時(shí)，延長(zhǎng)MO
交CD
于點(diǎn)P
,記∠OPC
=α
,故|·|+|·|=這就是|·|+|·|的幾何意義.(2)求|·|+|·|的最大值下面利用|·|+|·|的幾何意義求 |·|+|·|的最大值.當(dāng)在∠EOF
內(nèi)(含邊界)時(shí)，當(dāng)時(shí)取“=”，事實(shí)上，此時(shí)與+共線.當(dāng)在∠COD
內(nèi)(含邊界)時(shí),由對(duì)稱性知當(dāng)在∠COF
或∠EOD
內(nèi)時(shí),同理知易知△AOB
≌△EOD
,所以所以在△AOB
與△COD
中,由知故此時(shí)綜上，因此原題題意等價(jià)于即·的最大值是.下面考慮和的情形.
易知
當(dāng)時(shí)，
圖2
當(dāng)時(shí)，如圖所以(|·|+|·|)事 實(shí)上，此時(shí)與-共線).由以上分析可知，對(duì)任意給定的θ
∈(0,π)，=max{|+|,|-|}.當(dāng)θ
=0或θ
=π時(shí)，上述結(jié)論也成立.因此，將問(wèn)題一般化，利用|·|+|·|的幾何意義可得出如下結(jié)論：設(shè)，為非零向量，則對(duì)任意單位向量，有(|·|+|·|)=max{|+|,|-|}.設(shè)，為非零向量，||=m
，||=n
，利用上面的方法很容易得到文[1]的3個(gè)結(jié)論，這里就不贅述了.2 幾何意義的應(yīng)用
(1)變式探究
(變式)已知向量，，||=1，||=2，若對(duì)任意單位向量，均有則·的最大值是．對(duì)任意單位向量，均有因此需要求(|·|+|·|).若
θ
∈(0,π)，如圖1，當(dāng)在∠EOF
內(nèi)(含邊界)時(shí)，因?yàn)樗浴?p>ODC<∠OCD
,sin∠ODC
P
與點(diǎn)D
重合，即與同向時(shí)(此時(shí)當(dāng)在∠COD
內(nèi)(含邊界)時(shí),由對(duì)稱性知(|·|+|·|)=sinθ.
當(dāng)在∠COF
或∠EOD
內(nèi)時(shí)，同理知故當(dāng)⊥時(shí)，(|·|+|·|)=sinθ.
若θ
=0或π，則當(dāng)⊥時(shí)，(|·|+|·|)=0=sinθ.
綜上，(|·|+|·|)=sinθ.
對(duì)于上面的變式，因此即·的最大值是此題如果不采取上述方法，解決起來(lái)往往非常麻煩，有興趣的讀者不妨一試.
(2)推廣探究
將上述變式推廣到一般情形，筆者經(jīng)過(guò)探索得到了如下一系列結(jié)論：
結(jié)論1
已知非零向量,，||=m
，||=n
(m
≤n
)，與的夾角為θ
，為任意單位向量，則當(dāng)且僅當(dāng)⊥時(shí)，(|·|+|·|)=m
sinθ.
結(jié)論2
已知非零向量，，||=m
，||=n
(m
≤n
)，若對(duì)任意單位向量，均有|·|+ |·|≥r
，其中r
為正常數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)r
≤m
時(shí)，，存在.結(jié)論3
已知非零向量，，||=m
，||=n
(m
≤n
)，若對(duì)任意單位向量，均有|·|+ |·|≥m
，則⊥.
結(jié)論4
已知非零向量，，||=m
，||=n
(m
≤n
)，若對(duì)任意單位向量，均有|·|+ |·|≥r
，其中常數(shù)r
∈(0,m
)，則·的取值范圍為這些結(jié)論的證明方法與上述變式求解過(guò)程完全相同，這里略去.
本文是對(duì)一道源自課本的高考試題的“再”探究.在探究過(guò)程中，一方面強(qiáng)調(diào)換個(gè)角度思考，深入挖掘|·|+|·|的幾何意義，借助幾何直觀、數(shù)形結(jié)合來(lái)解決問(wèn)題；另一方面強(qiáng)調(diào)變式，并試著做一般化處理.在平時(shí)教學(xué)中，教師如果能在引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問(wèn)題(一題多解)以及對(duì)題目進(jìn)行變式求解(一題多變)方面多花功夫，對(duì)于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，是大有裨益的.猜你喜歡
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