對一道2022年全國高考試題的探究與思考
2022-08-19 12:24:06張鵠
中學數(shù)學雜志 2022年8期
張 鵠
(湖北省武漢市第二中學 430010)
孔 峰
(湖北省武漢市教育科學研究院 430022)
2022年高考數(shù)學全國乙卷理科第21題是一道函數(shù)與導數(shù)的壓軸題．題設中函數(shù)結(jié)構(gòu)簡潔明了，是由基本的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型整合而成；設問內(nèi)容更是司空見慣，是師生常見的切線方程求解和已知零點個數(shù)求參數(shù)的問題類型．為此，筆者就該題的解答情況對即將進入新高三的學生進行了問卷，發(fā)現(xiàn)大部分學生對第(2)問不知從何處入手分析．這讓筆者在思考，如何幫助學生透過試題表象找準切入點，進而對“冰冷美麗”的試題進行一番“火熱”的思考．下面，以美籍匈牙利裔著名數(shù)學家波利亞的“怎樣解題”表為指引，開啟我們的探究思考過程．
1 基于“怎樣解題”表的試題探究
1.1 理解題目
題目1
已知函數(shù)f
(x
)=ln(1+x
)+ax
e-，其中a
∈R
．(1)當a
=1時，求曲線y
=f
(x
)在點(0,f
(0))處的切線方程；(2)若f
(x
)在區(qū)間(-1,0)和(0,+∞)內(nèi)各恰有一個零點，求a
的取值范圍．問題1
題目1第(2)題是一個什么問題？預設 這是已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍的問題．
問題2
條件是什么？預設f
(x
)在(-1,0)和(0,+∞)內(nèi)各有一個零點．1.2 擬定方案
問題3
你以前見過它嗎？或者你見過以稍有不同的形式呈現(xiàn)的類似題目嗎？你知道與它有關的題目嗎？預設 我們見過一道與它類似的題目，即2017年新高考全國Ⅰ卷理科第21題：
題目2
已知函數(shù)f
(x
)=a
e2+(a
-2)e-x
．(1)討論f
(x
)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f
(x
)有兩個零點，求a
的取值范圍．問題4
題目2的第(2)題與題目1的第(2)題有關，你能利用題目2的求解方法解答題目1的問題嗎？預設 形式上類似．不過，題目1限定了零點存在的區(qū)間，即兩個斷開的區(qū)間．
問題5
為什么不把兩個區(qū)間合成一個區(qū)間(-1,+∞)？預設 合成一個區(qū)間就暴露了與題目2的聯(lián)系．命題者也許為了推陳出新，通常會在問題形式上設計新意，但萬變不離其宗．
問題6
為什么要在x
=0處將區(qū)間斷開？這里有沒有命題者想要表達而又有所隱藏的信息？能否分析一下？預設f
(x
)在x
=0處的函數(shù)值等于0，即0是函數(shù)f
(x
)的零點．若把0放在區(qū)間內(nèi)，那就有3個零點，與題意不符．另外，函數(shù)f
(x
)在(-1,+∞)上的圖象穿過原點，意味著滿足題意的圖象特征可能如下面圖1和圖2所示．
圖1 圖2
問題7
在上面的圖象中，你能判斷題目1第(2)問對應的圖象是哪一個嗎？把握函數(shù)圖象特征一般應從哪些方面進行分析？預設 就本題而言，可以從定義域、值域、單調(diào)性、極值以及零點等方面分析．由于f
(0)=0，f
′(0)=1+a
均存在，為使f
(x
)的圖象在區(qū)間(-1,0)及(0,+∞)上各恰好穿過x
軸一次，函數(shù)f
(x
)的變化情況只能如圖1和圖2所示．為了進一步找到題設函數(shù)對應的圖象，還可以先動態(tài)定性研究較容易的局部圖象特征：首先，基于零點附近兩側(cè)的函數(shù)值要么為正，要么為負．于是，我們不妨先研究x
=0右側(cè)的情況．因為當x
>0時，ln(1+x
)>0，x
e->0，所以，若a
≥0，則f
(x
)>0，與題意不符．從而a
<0．其次，對函數(shù)進行求導，得令φ
(x
)=e+a
(1-x
)，則對a
<0，借助極限工具可得到：當x
→+∞時，φ
(x
)>0，從而f
′(x
)>0，函數(shù)f
(x
)在相應區(qū)間上單調(diào)遞增．這樣由局部圖象的特征不難推測整體圖象的特征，從而，基本確認題目1第(2)問對應的圖象為圖1．問題8
借助圖1，你能分析一下函數(shù)f
(x
)在(-1,0)及(0,+∞)上各有一個零點的含義嗎？預設 函數(shù)f
(x
)在(-1,0)上先增后減，在(0,+∞)上先減后增．這需要函數(shù)f
(x
)在兩個區(qū)間上各有一個極值點．這樣，把零點轉(zhuǎn)化為極值點來討論，體現(xiàn)了數(shù)學的轉(zhuǎn)化與化歸思想．問題9
你能找到這兩個極值點嗎？又準備采用什么工具和方法？你之前有過這方面的經(jīng)驗嗎？預設 記得之前是這樣做的，先對函數(shù)求導，若導函數(shù)的零點可以直接求出，就接著討論這些零點附近兩側(cè)的導函數(shù)符號；若不能，則利用函數(shù)零點存在定理將零點限定在適當區(qū)間，有時為找到這樣的區(qū)間，可能還會用到找點技巧如借助函數(shù)不等式進行放縮的方法．
分析到這里，我們就可以著手解決問題了．
1.3 實施方案
首先，對函數(shù)進行求導，得為分析導函數(shù)f
′(x
)的符號，記φ
(x
)=e+a
(1-x
)．若a
≥0，則當x
>0時，ln(1+x
)>0，ax
e-≥0，從而f
(x
)>0，與題意不符．若a
<0，則對φ
(x
)求導得，φ
′(x
)=e-2ax
，當x
>0時，因為e單調(diào)遞增，2ax
遞減，所以φ
′(x
)遞增，從而φ
′(x
)>φ
′(0)=1>0，因此φ
(x
)在(0,+∞)上遞增，φ
(x
)>φ
(0)=1+a
．糖皮質(zhì)激素和丙種球蛋白對暴發(fā)性心肌炎的治療安全性和有效性良好，建議所有暴發(fā)性心肌炎患者盡早使用[1]。免疫調(diào)節(jié)劑輸注時護理人員需謹慎給藥。丙種球蛋白屬于高張液體，靜脈滴注時，需先確保靜脈通路安全通暢。由于大劑量使用該藥可增加心室前負荷，加重心力衰竭，所以必須在24小時內(nèi)緩慢輸注[3]。輸液過程中，嚴密觀察輸液血管狀況，發(fā)現(xiàn)液體外滲、過敏及心力衰竭癥狀加重時，立即處理。使用大量甲潑尼龍可能引起消化道應激性潰瘍，骨質(zhì)疏松及精神神經(jīng)異常，水電解質(zhì)失衡，建議每日檢查血電解質(zhì)[6]，遵醫(yī)囑使用護胃抑酸藥物，且密切觀察有無消化道出血癥狀[3]。
若-1≤a
<0，則φ
(x
)≥0，f
′(x
)>0，故f
(x
)在(0,+∞)上遞增，f
(x
)>f
(0)=0，也與題意不符．若a
<-1，則φ
(0)<0，φ
(1)>0，而φ
(x
)在(0,+∞)上遞增，故由函數(shù)零點存在定理知，在(0,+∞)上存在唯一x
∈(0,1)，使φ
(x
)=0．當x
∈(0,x
)時，φ
(x
)<0，即f
′(x
)<0；x
∈(x
,+∞)時，φ
(x
)>0，即f
′(x
)>0，所以f
(x
)<f
(0)=0．又x
<1+x
x
=e-，則f
(e-)>ln(1+e-)+a
>ln e-+a
=0，從而存在唯一x
∈(x
,e-)，使f
(x
)=0，即f
(x
)在(0,+∞)上恰有一個零點x
．由=1>0，φ
′(x
)=e-2ax
在(-1,0)上遞增，則存在唯一x
∈(-1,0)，使φ
′(x
)=0．當x
∈(-1,x
)時，φ
′(x
)<0，φ
(x
)遞減；當x
∈(x
,0)時，φ
′(x
)>0，φ
(x
)遞增．故φ
(x
)<φ
(0)=1+a
<0，而φ
(-1)=e>0，由函數(shù)零點存在定理知，存在唯一x
∈(-1,x
)，使φ
(x
)=0．當x
∈(-1,x
)時，φ
(x
)>φ
(x
)=0，f
′(x
)>0，f
(x
)遞增；當x
∈(x
,x
)時，φ
(x
)<φ
(x
)=0，f
′(x
)<0，f
(x
)遞減；又x
∈(x
,0)時，φ
′(x
)>0，φ
(x
)遞增，從而φ
(x
)<φ
(0)<0，f
′(x
)<0．即x
∈(-1,x
)時f
′(x
)>0，f
(x
)遞增；x
∈(x
,0)時，f
′(x
)<0，f
(x
)遞減；且x
∈(x
,0)時，f
(x
)>f
(0)=0．所以f
(x
)>f
(0)=0．又對求導，得從而在(-1,0)上遞增，所以又ln(1+e3-1)=3a
，所以f
(e3-1)<3a
+(-a
e)=a
(3-e)<0，由函數(shù)零點存在定理知存在唯一x
∈(e3-1,x
)，使f
(x
)=0．綜上可得，a
<-1．1.4 回顧
問題10
你能檢驗一下這個結(jié)果嗎？有沒有直觀的驗證方法？預設 能．畫出函數(shù)f
(x
),φ
(x
),φ
′(x
)的圖象，并結(jié)合圖3～圖5進行分析驗證發(fā)現(xiàn)上述過程正確．
圖3 圖4 圖5
問題11
你能結(jié)合圖象給出新的方法嗎？若a
≥0，則當x
∈(-1,0)時，φ
(x
)>0，f
′(x
)>0，f
(x
)遞增，f
(x
)<f
(0)=0，f
(x
)在(-1,0)內(nèi)無零點，不符合題意．若-1≤a
<0，則當x
>0時，φ
′(x
)>0，φ
(x
)遞增，φ
(x
)>φ
(0)=1+a
≥0，即f
′(x
)>0，f
(x
)遞增，從而f
(x
)>f
(0)=0，f
(x
)在(0,+∞)內(nèi)無零點，不符合題意．若a
<-1，則又φ
′(x
)=e-2ax
在(-1,0)上遞增，從而存在唯一x
∈(-1,0)，使φ
′(x
)=0．當x
∈(-1,x
)時，φ
(x
)遞減；當x
∈(x
,0)時，φ
(x
)遞增．又a
<0，所以存在唯一x
∈(-1,x
)，使φ
(x
)=0．當x
∈(-1,x
)時，φ
(x
)>0，f
′(x
)>0，f
(x
)遞增；當x
∈(x
,x
)時，φ
(x
)<0，f
′(x
)<0，f
(x
)遞減；x
∈(x
,0)時，φ
(x
)<φ
(0)<0，f
′(x
)<0，f
(x
)遞減，即x
∈(x
,0)時，φ
(x
)<0，f
′(x
)<0，f
(x
)遞減，從而f
(x
)>f
(0)=0．易知在(-1,0)上遞增，從而又a
<-1，則所以f
(x
)a
e)．令ln(1+x
)-a
e<0，則x
f
(ee-1)<0，由函數(shù)零點存在定理知，在(ee-1,x
)上存在唯一x
，使f
(x
)=0．當x
∈(0,+∞)時，φ
(0)=1+a
<0，φ
(1)=e>0，而φ
(x
)=e-a
(1-x
)在(0,+∞)上遞增，由函數(shù)零點存在定理知，在(0, +∞)上存在唯一x
∈(0,1)，使φ
(x
)=0．當x
∈(0,x
)時，φ
(x
)<φ
(x
)=0，即f
′(x
)<0，f
(x
)遞減，故f
(x
)<f
(0)=0．當x
∈(x
,+∞)時，φ
(x
)>φ
(x
)=0，即f
′(x
)>0．又x
<1+x
x
=e--1>1，則f
(e--1)>ln(1+e--1)+a
=0，從而存在唯一x
∈(x
,e--1)，使f
(x
)=0，即f
(x
)在(0,+∞)上恰有一個零點x
．綜上，a
<-1．問題12
你能借助圖象從新的角度解釋題設條件的含義嗎？預設 所謂函數(shù)f
(x
)的零點，就是函數(shù)f
(x
)的圖象與x
軸交點的橫坐標．有時為便于利用圖象尋找交點，也可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象之間的交點問題．因此，分別構(gòu)造函數(shù)g
(x
)=ln(1+x
)，h
(x
)=-ax
e-，再畫出這兩個函數(shù)的圖象(圖6)．可以看出，除原點外，這兩個函數(shù)圖象若還能再有兩個交點，需要考慮原點附近圖象特征及變化趨勢．從而又轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)在原點處的切線斜率-a
與1的大小比較，結(jié)合圖象不難得到，當-a
>1即a
<-1時，滿足題意．
圖6 圖7
問題13
你還能借助圖象從切線的角度再次給出恰有兩個零點的新的解釋嗎？預設 構(gòu)造兩個新的函數(shù)m
(x
)=eln(1+x
)及y
=-ax
．f
(x
)在(-1,0)和(0,+∞)上各有一個零點?方程eln(1+x
)=-ax
在區(qū)間在(-1,0)和(0,+∞)內(nèi)各有一個實根(圖7)．由m
(x
)=eln(1+x
)，知令則當-1<x
<0時，t
′(x
)<0，t
(x
)遞減；當x
>0時，t
′(x
)>0，t
(x
)遞增．所以t
(x
)>t
(0)=1>0，m
′(x
)>0，m
(x
)在(-1,+∞)上遞增．又x
≥0時，e≥1，所以m
′(x
)≥1．又m
′(0)=1，所以m
(x
)在(0,0)處的切線方程為y
=x
．記n
(x
)=m
(x
)-x
=eln(1+x
)-x
，則因為1+x
≤e，所以x
>0時，n
′(x
)>0，n
(x
)>n
(0)=0，即eln(1+x
)>x
．又則當x
>0時，m
″(x
)>0，m
(x
)為下凸函數(shù).當-1<x
<0時，令則遞增，x
→-1時，r
(x
)→ -∞；x
→0時，r
(x
)→1，所以存在唯一α
∈(-1,0)，使r
(α
)=0，且x
∈(-1,α
)時，r
(x
)<0，m
″(x
)<0，m
(x
)為上凸函數(shù)；x
∈(α
,0)時，r
(x
)>0，m
″(x
)>0，m
(x
)為下凸函數(shù).又x
→-1時，時，故y
=m
(x
)與y
=x
僅在(-1,0)內(nèi)有一個公共點，從而要使f
(x
)在區(qū)間(0,+∞)上恰有一個零點，則-a
>1，即a
<-1．又a
<-1時，y
=m
(x
)與y
=-ax
在(-1，0)上也有一個交點，因此，a
<-1為所求．問題14
你能對上面的探究過程作個總結(jié)嗎？預設 借助函數(shù)圖象進行直觀分析，從局部入手，把握特殊點、關鍵點處函數(shù)性態(tài)的刻畫，然后再拓展到整體全面的分析判斷．
2 若干思考
2.1 借助波利亞“怎樣解題表”解題
“怎樣解題表”的4個步驟和程序組成了一個完整的解題教學系統(tǒng)．當我們對一個比較難的高考導數(shù)壓軸題按照波利亞“怎樣解題表”進行解答時，會發(fā)現(xiàn)在由淺入深的問題串引導下，能夠讓分析逐漸進行下去直至順利完成解答過程．因此，我們需要加深對波利亞“怎樣解題表”的理解和掌握．
2.2 多角度深入研究高考試題
高考全國卷導數(shù)壓軸題盡管年年求新求異，但我們透過近幾年試題仍然可以發(fā)現(xiàn)，高考命題的原則是整體穩(wěn)定，適度創(chuàng)新．命題始終圍繞導數(shù)部分的主線內(nèi)容，聚焦學生對重要數(shù)學概念、定理、方法、思想的理解和應用，強調(diào)基礎性、綜合性；注重數(shù)學本質(zhì)、通性通法，淡化解題技巧，突出數(shù)學學科核心素養(yǎng)的考查．
在高三復習備考教學中，要深入研究近幾年高考試題，并對其作系統(tǒng)全面的梳理與研究，把握試題的變化趨勢，挖掘高考試題的潛在功能價值；積極引導學生從知識的本質(zhì)出發(fā)，對導數(shù)壓軸題進行多角度剖析；運用函數(shù)圖象等直觀想象分析工具，對定義區(qū)間邊界點或區(qū)間內(nèi)特殊點附近的圖象進行微觀分析，利用局部到整體、特殊到一般等思想方法多角度領悟題目的隱含條件，充分暴露命題意圖，簡化思維過程，優(yōu)化解題方法，降低運算難度．從而在分析問題的過程中提升學生的直觀想象、邏輯推理等學科核心素養(yǎng)．
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